5.2平面直角坐标系同步练习（含答案）

5.2
平面直角坐标系
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　）
A．（3，﹣2）
B．（﹣2，3）
C．（﹣3，2）
D．（2，﹣3）
3．如图，正五边形ABCDE放入某平面直
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A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
4．坐标平面上有一个二元一次方程式的图形，
( http: / / www.21cnjy.com )此图形通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点．判断此图形与下列哪一个方程式的图形的交点在第三象限？（　　）
A．x﹣4=0
B．x+4=0
C．y﹣4=0
D．y+4=0
5．平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（　　）
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
6．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
7．已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是　　．
8．点A（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是　　．
9．点P（2，﹣3）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P′的坐标是　　．
10．如图，点A1的坐标为（1，0），A2
( http: / / www.21cnjy.com )在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　　．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标
( http: / / www.21cnjy.com )系中xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m＞0，1＜a＜3，点P（n﹣m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n﹣m的值．
13．类似于平面直角坐标系，如图1，在
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（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为　　；
（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
参考答案
1．（2016 荆门）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，
∴a＞0，﹣b＞0，
∴b＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．
故选D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标
( http: / / www.21cnjy.com )的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）
2．（2016 柳州）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　）
A．（3，﹣2）
B．（﹣2，3）
C．（﹣3，2）
D．（2，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系以及点的坐标的
定义写出即可．
【解答】解：点P的坐标为（3，﹣2）．
故选A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的表示是解题的关键．
　
3．（2016 滨州）如图，正五边
( http: / / www.21cnjy.com )形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（　　）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．
【解答】解：∵点A坐标为（0，a），
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标为（3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征
( http: / / www.21cnjy.com )及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴．
　
4．（2016 台湾）坐标
( http: / / www.21cnjy.com )平面上有一个二元一次方程式的图形，此图形通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点．判断此图形与下列哪一个方程式的图形的交点在第三象限？（　　）
A．x﹣4=0
B．x+4=0
C．y﹣4=0
D．y+4=0
【分析】分别作出各选项中
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【解答】解：作出选项中x﹣4=0，x+4=0，y﹣4=0，y+4=0的图象，以及通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点直线方程，
根据图象得：通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点直线与y+4=0的交点在第三象限，
故选D
【点评】此题考查了坐标与图形性质，作出相应的图象是解本题的关键．
　
5．（2016 赤峰）平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（　　）
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．
【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
　
6．（2016 菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，
故a+b=2．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平
( http: / / www.21cnjy.com )移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2016 梅州）已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是　m＞3　．
【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，求解即可．
【解答】解：∵点P（3﹣m，m）在第二象限，
∴解得：m＞3；
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符
( http: / / www.21cnjy.com )号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
　
8．（2016 淮安）点A（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是　（3，2）　．
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．
【解答】解：点A（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
　
9．（2016 梧州）点P（2，﹣3）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P′的坐标是　（﹣2，﹣2）　．
【分析】根据点的平移特点直接写出结论
【解答】解：点（2，﹣3），向左平移4个单位，横坐标：2﹣4=﹣2，向上平移1个单位，纵坐标：﹣3+1=﹣2，
∴点P'（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）
【点评】此题是坐标与图形变化﹣﹣﹣
( http: / / www.21cnjy.com )平移，熟记平移的特征是解本题的关键，特征：上加，下减，右加，左减，其实图形平移也有这个特点，抓住图形的几个特殊点，也能达到目的．
　
10．（2016 威海）如图，点A1的坐
( http: / / www.21cnjy.com )标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　﹣（）2015　．
【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．
【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2016÷4=504，
∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．
故答案为﹣（）2015．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
11．（2016 聊城）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；
（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；
（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋
( http: / / www.21cnjy.com )转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
　
12．（2016 厦门）如图，在平面直
( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m＞0，1＜a＜3，点P（n﹣m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n﹣m的值．
【分析】过点P作x轴的平行线P
( http: / / www.21cnjy.com )E交BC于点E，根据点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合点P的坐标即可得出点E的坐标，根据三角形的面积公式结合△PAD与△PBC的面积相等，即可得出关于n﹣m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：过点P作x轴的平行线PE交BC于点E，如图所示．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B（a，m+1）、C（3，m+3）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y=x+m+．
当y=n时，x=，
∴E（，n），PE=﹣（n﹣m）=．
∵A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），P（n﹣m，n），
∴AD=a﹣1，
∴S△PAD=AD （xP﹣xA）=（a﹣1） （n﹣m﹣1），S△PBC=PE （yC﹣yB）=×2=．
∵S△PAD=S△PBC，
∴（a﹣1） （n﹣m﹣1）=，
解得：n﹣m=2．
【点评】本题考查了三角形的面积以及解一
( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程，解题的关键是根据三角形面积相等找出关于n﹣m的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形的面积相等找出方程是关键．
　
13．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面
( http: / / www.21cnjy.com )内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．
（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；
（2）如图3，在斜坐标系xO
( http: / / www.21cnjy.com )y中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为　3x+4y=12　；
（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【分析】（1）作AM∥y轴，AM与x轴
( http: / / www.21cnjy.com )交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与
( http: / / www.21cnjy.com )x轴、y轴交于点M、N，则
PN=x，PM=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式=、=；再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知+==1；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时
PN=﹣x，PM=y，证明过程同（2）．
【解答】解：（1）如图1作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，
则四边形AMON为平行四边形，且OM=ON，
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy=60°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等边三角形，
∴OA=OM=2；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，
则
PN=x，PM=y，
由PN∥OB，得=即=；
由PM∥OC，得=，即=；
∴+==1，
即
3x+4y=12；
故答案为：3x+4y=12；
（3）（2）中的结论仍然成立，如图3，当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时
PN=﹣x，PM=y，
与（2）类似，
=，
=．
又∵﹣=1