4.1从问题到方程同步练习（含答案）

4.1
从问题到方程
　
一．选择题（共8小题）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x+2y=5
B．
C．x=0
D．4x2=0
2．在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班人数的2倍，设从乙班调往甲班x人，可列方程（　　）
A．54+x=2（48﹣x）
B．48+x=2（54﹣x）
C．54﹣x=2×48
D．48+x=2×54
4．已知（3﹣2a）x+2=0是关于x的一元一次方程，则|a﹣|一定（　　）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
5．一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）
A．x+1=（30﹣x）﹣2
B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2
D．x﹣1=（15﹣x）+2
6．某车间有26名工人，每人每天可以生产
( http: / / www.21cnjy.com )800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×1000（26﹣x）=800x
B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x
D．1000（26﹣x）=800x
7．小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：
( http: / / www.21cnjy.com )每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　）
A．5x+4（x+2）=44
B．5x+4（x﹣2）=44
C．9（x+2）=44
D．9（x+2）﹣4×2=44
8．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）
A．0.8x﹣10=90
B．0.08x﹣10=90
C．90﹣0.8x=10
D．x﹣0.8x﹣10=90
　
二．填空题（共6小题）
9．如果﹣3x2a﹣1+6=0是关于x的一元一次方程，那么a=　　．
10．一个数x的2倍减去7的差，得36，列方程为　　．
11．在方程①3x﹣y=2，②，③，④x=0，⑤x2﹣2x﹣3=0，⑥中，是一元一次方程的有　　（填写序号）．
12．关于x的方程（k+1）x2+4kx﹣5k=0是一元一次方程，则方程的解是　　．
13．某公司承担了制作600个道路交通指引
( http: / / www.21cnjy.com )标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：　　．
14．“五一”节期间，某电器按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，如果仍能获利12元，设这种电器的进价为x元，则可列出方程为　　．
　
三．解答题（共7小题）
15．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．
16．已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
（1）求m和x的值．
（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值．
17．有一位旅客携带了30
( http: / / www.21cnjy.com )kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？
18．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
成本
标价
售价
x
　　
　　
（2）根据相等关系列出方程：　　．
19．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水
( http: / / www.21cnjy.com )泥80吨，要全部运动A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币）
（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用x表示出其他未知量．
甲仓库
乙仓库
A工地
x
　　
B工地
　　
x+10
（2）用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为　　元．（写出化简后的结果）
（3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程．（只列出方程即可，写成ax+b=0的形式，不用解）
20．七年级（2）班的一个综合实践
( http: / / www.21cnjy.com )活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五 一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，求A、B两个超市“五 一”期间的销售额（只需列出方程即可）．
21．如图为一梯级平面图，一只老鼠
( http: / / www.21cnjy.com )沿长方形的两边A﹣B﹣C的路线逃跑，一只猫同时沿梯级（折线）A﹣C﹣D的路线追，结果在距离C点0.6m的D点处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的，求梯级（折线）A﹣C的长度，
（1）请将下表中每一句话“译成”数学语言（在表格中写出对应的代数式）：
设梯级（折线）A→C的长度为
xm
AB+BC的长度为
　　
A→C→D的长度为
　　
A→B→D的长度为
　　
设猫捉住老鼠所用时间为
ts
猫的速度是
　　
老鼠的速度是
　　
（2）根据表格中代数式列出一个你认为正确的方程（不要求解）：　　．
　
参考答案与解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x+2y=5
B．
C．x=0
D．4x2=0
【分析】一元一次方程中只有一个未知数，且该未知数的指数是1的整式方程．
【解答】解：A、x+2y=0，该方程中含有两个未知数，故A错误；
B、方程的分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B错误；
C、x=0符合一元一次方程的定义，故C正确；
D、4x2=0，该方程中未知数的指数是2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程的未知数的指数为1．
　
2．在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据一元一次方程的定义，即可解答．
【解答】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；
②﹣3x=9，是分式方程；
③x=0，是一元一次方程；
④3﹣=2，是等式；
⑤=y+是一元一次方程；
一元一次方程的有2个，故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．
　
3．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班人数的2倍，设从乙班调往甲班x人，可列方程（　　）
A．54+x=2（48﹣x）
B．48+x=2（54﹣x）
C．54﹣x=2×48
D．48+x=2×54
【分析】表示出调人后甲班学生的数量，乙班学生的数量，由甲班人数是乙班人数的2倍，可得出方程．
【解答】解：设从乙班调x人到甲班，则甲班人数为（54+x）人，乙班人数为：（48﹣x）人，
由题意得：54+x=2（48﹣x）．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，表示出调人后两班的人数．
　
4．已知（3﹣2a）x+2=0是关于x的一元一次方程，则|a﹣|一定（　　）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
【分析】根据一元一次方程的定义得到a≠，根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，3﹣2a≠0，
解得，a≠，
则|a﹣|＞0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的概念，只含有
( http: / / www.21cnjy.com )一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．
　
5．（2016 绥化）一个
( http: / / www.21cnjy.com )长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）
A．x+1=（30﹣x）﹣2
B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2
D．x﹣1=（15﹣x）+2
【分析】根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等得出等式即可．
【解答】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm，
∴长方形的宽为（15﹣x）cm，
∵这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，
∴x﹣1=15﹣x+2，
故选D．
【点评】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是表示出长方形的宽．
　
6．（2016 哈尔滨）
( http: / / www.21cnjy.com )某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×1000（26﹣x）=800x
B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x
D．1000（26﹣x）=800x
【分析】题目已经设出安排x名工人生产螺
( http: / / www.21cnjy.com )钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得
1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确，
故选C
【点评】本题是一道列一元一次方程解的应用题，考查了列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．
　
7．（2016 曲靖）小明所在城市的“
( http: / / www.21cnjy.com )阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　）
A．5x+4（x+2）=44
B．5x+4（x﹣2）=44
C．9（x+2）=44
D．9（x+2）﹣4×2=44
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
5x+（9﹣5）（x+2）=5x+4（x+2）=44，
故选A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
　
8．（2016 南宁）超市店庆促销
( http: / / www.21cnjy.com )，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）
A．0.8x﹣10=90
B．0.08x﹣10=90
C．90﹣0.8x=10
D．x﹣0.8x﹣10=90
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得：0.8x﹣10=90，
故选A
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．
　
二．填空题（共6小题）
9．如果﹣3x2a﹣1+6=0是关于x的一元一次方程，那么a=　1　．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：由﹣3x2a﹣1+6=0是关于x的一元一次方程，得
2a﹣1=1．
解得a=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
　
10．一个数x的2倍减去7的差，得36，列方程为　2x﹣7=36　．
【分析】根据文字表述得到等量关系为：x的2倍﹣7=36，根据此等式列方程即可．
【解答】解：x的2倍减去7即2x﹣7，
根据等式可列方程为：2x﹣7=36．
【点评】本题比较简单，注意代数式的正确书写．
　
11．在方程①3x﹣y=2，②，③，④x=0，⑤x2﹣2x﹣3=0，⑥中，是一元一次方程的有　③④⑥　（填写序号）．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：方程①3x﹣y=2，②，③，④x=0，⑤x2﹣2x﹣3=0，⑥中，是一元一次方程的有③④⑥，
故答案为：③④⑥
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
　
12．关于x的方程（k+1）x2+4kx﹣5k=0是一元一次方程，则方程的解是　x=　．
【分析】由一元一次方程的定义可知k+1=0，k≠0，从而可解得k的值．
【解答】解：∵方程（k+1）x2+4kx﹣5k=0是一元一次方程，
∴k+1=0，k≠0．
解得：k=﹣1．将k=﹣1代入得：﹣4x+5=0．
解得：x=．
故答案为：x=．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
　
13．某公司承担了制作600个道路交通指
( http: / / www.21cnjy.com )引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：　﹣=10　．
【分析】根据实际每天多制作的个数﹣原计划每天多制作的个数=10，列出方程即可．
【解答】解：∵根据实际每天多制作的个数﹣原计划每天多制作的个数=10，
∴﹣=10．
故答案为﹣=10．
【点评】本题考查实际问题的应用题，解
( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是正确寻找等量关系，记住应用题的步骤，分式方程的应用题除了分式方程本身要检验，还要检验是否符合实际意义，属于中考常考题型．
　
14．
“五一”节期间，某电器按进价提
( http: / / www.21cnjy.com )高40%后标价，然后打八折卖出，如果仍能获利12元，设这种电器的进价为x元，则可列出方程为　x（1+40%）×80%﹣x=12　．
【分析】本题是一道销售问题的应用题．解答本题的关键是由打八折后仍然获利12元来建立等量关系，根据等量关系建立起方程就解决问题了．
【解答】解：设这种电器的进价为x元，则标价为x（1+40%）元，
由题意，得x（1+40%）×80%﹣x=12，
故答案为x（1+40%）×80%﹣x=12．
【点评】本题考查的是列一元一次方程解答的销售问题的应用题步骤和数量关系，解答本题的关键是用利润12元建立等量关系．
　
三．解答题（共7小题）
15．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．
【分析】由一元一次方程的定义可知|a|﹣1=1且a﹣2≠0，从而可求得a的值，然后将a的值代入求解即可．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，
∴|a|﹣1=1且a﹣2≠0．
∴a=﹣2．
将a=﹣2代入得：﹣4x+8=0．
解得：x=2．
【点评】本题蛀牙考查的是一元一次方程的定义和一元一次方程的解法，根据一元一次方程的定义求得a的值是解题的关键．
　
16．已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
（1）求m和x的值．
（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值．
【分析】（1）由一元一次方程的定义可知3m﹣4=0，从而可求得m的值，将m的值代入得到关于x的方程，从而可求得x的值；
（2）将m的值代入，然后依据绝对值的性质得到关于n的一元一次方程，从而可求得n的值．
【解答】解：（1）∵方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
∴3m﹣4=0．
解得：m=．
将m=代入得：﹣x﹣=﹣．
解得x=﹣．
（2）∵将m=代入得：|2n+|=1．
∴2n+=1或2n+=﹣1．
∴n=﹣或n=﹣．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义和解法，依据一元一次方程的定义求得m的值是解题的关键．
　
17．有一位旅客携带了30kg
( http: / / www.21cnjy.com )重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？
【分析】设飞机票价格应是x元，根据该旅客购买了180元的行李票，列方程求解．
【解答】解：设飞机票价格应是x元，
由题意得：（30﹣20）×1.5%
x=180，
解之得：x=1200，
答：飞机票价格应是1200元．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
　
18．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
成本
标价
售价
x
　x+60　
　0.8x+48　
（2）根据相等关系列出方程：　（0.8x+48）﹣x=24　．
【分析】（1）设这件衬衫的成本是x元，根据题意列出代数式即可；
（2）设这件衬衫的成本是x元，根据题意列出方程．
【解答】解：（1）可得：标价为：x+60；售价为：0.8x+48，
故答案为：x+60；0.8x+48；
（2）根据题意可得：（0.8x+48）﹣x=24，
故答案为：（0.8x+48）﹣x=24．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
　
19．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水
( http: / / www.21cnjy.com )泥80吨，要全部运动A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币）
（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用x表示出其他未知量．
甲仓库
乙仓库
A工地
x
　70﹣x　
B工地
　100﹣x　
x+10
（2）用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为　﹣10x+15000　元．（写出化简后的结果）
（3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程．（只列出方程即可，写成ax+b=0的形式，不用解）
【分析】（1）根据题意填写表格即可；
（2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可；
（3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可．
【解答】解：（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为（100﹣x）吨，
乙仓库运到A工地水泥的吨数为（70﹣x）吨，则运到B地水泥的吨数为（x+10）吨，
补全表格如下：
甲仓库
乙仓库
A工地
x
70﹣x
B工地
100﹣x
x+10
（2）运送甲仓库100吨水泥的运费为140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，
故答案为：﹣10x+15000；
（3）140x+150（100﹣x）+200（70﹣x）+80（x+10）=25900，
整理得：﹣130x+3900=0．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到相等关系是解本题的关键
　
20．七年级（2）班的一个综合实践活动小组
( http: / / www.21cnjy.com )去A、B两个超市调查去年和今年“五 一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，求A、B两个超市“五 一”期间的销售额（只需列出方程即可）．
【分析】因为今年两超市的销售
( http: / / www.21cnjy.com )额都是在同去年进行比较，那么先分别表示出去年的两超市各自的销售额，再根据关系表示出今年两超市的各自的销售额，然后根据等量关系列出方程．
【解答】解：设A超市去年的销售额为x万
( http: / / www.21cnjy.com )元，则去年B超市的销售额为（150﹣x）万元，今年A超市的销售额为（1+15%）x万元，今年B超市的销售额为（1+10%） （150﹣x）万元，以今年两超市销售额的和共170万，可得方程：
（1+15%）x+（1+10%）（150﹣x）=170
解出x，然后可得到A超市的销售额（1+15%）x万元和B超市的销售额（1+10%） （150﹣x）万元．
【点评】此题的关键是理解两个超市有同一年中的销售额的关系，及不同年份中A，B两个超市今年的销售额与去年的销售额之间的关系．
　
21．如图为一梯级平面图，一只老鼠沿长
( http: / / www.21cnjy.com )方形的两边A﹣B﹣C的路线逃跑，一只猫同时沿梯级（折线）A﹣C﹣D的路线追，结果在距离C点0.6m的D点处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的，求梯级（折线）A﹣C的长度，
（1）请将下表中每一句话“译成”数学语言（在表格中写出对应的代数式）：
设梯级（折线）A→C的长度为
xm
AB+BC的长度为
　x　
A→C→D的长度为
　x+0.6　
A→B→D的长度为
　x﹣0.6　
设猫捉住老鼠所用时间为
ts
猫的速度是
　　
老鼠的速度是
　　
（2）根据表格中代数式列出一个你认为正确的方程（不要求解）：　×=　．
【分析】（1）把楼梯的各条线段进行平移，
( http: / / www.21cnjy.com )可得AB+BC=楼梯A→C的总长；猫捉鼠的路程之和为楼梯A→C的总长+线段CD长；老鼠逃窜的路程为AB+BC﹣线段CD长；猫的速度=猫的路程÷猫用的时间；老鼠的速度=老鼠走的路程÷老鼠逃跑的时间，把相关数值代入即可求解；
（2）根据“老鼠的速度是猫的”可得方程．
【解答】解：（1）如题中表格所示
设梯级（折线）A→C的长度为
xm
AB+BC的长度为
x
A→C→D的长度为
x+0.6
A→B→D的长度为
x﹣0.6
设猫捉住老鼠所用时间为
ts
猫的速度是
老鼠的速度是