山西省吕梁市2025-2026学年高二上学期2月期末总结考试数学试题（扫描版，含答案）

2025～2026 学年高二年级 2 月期末总结考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教 A 版选择性必修第一册，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．一作直线运动的质点的位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 ，则该质点在
时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
3．函数 的导数 （ ）
A． B． C． D．
4．已知平面 的一个法向量 ，点 为 上一点，则点 到平面 的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
5．已知函数 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知数列 满足 ， ，则 的前 2026 项和 （ ）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2137
7．直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D.5
8．已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为 C 上一点，Q 为 l 上一点， ，若
，则点 P 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知直线 ， （ ），则（ ）
A． B．存在 a，使得
C．直线 过定点 D．直线 过定点
10．记 为等差数列 的前 n 项和，若 ， ，则（
A． B．
C． 与 的公差相等 D． 取得最小值时
11．如图，在棱长为 2 的正方体 中，动点 P 满足 ，其中 ， ，
则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则直线 一定不与平面 垂直
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．若圆 的半径为 1，则 __________．
13．已知双曲线 的左焦点为 F，P 为 C 上在第一象限内的一点，则直线 FP 的斜率的取值范围
为__________．
14．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 __________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）求 的极值及在 上的值域．
16．（本小题满分 15 分）已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若等比数列 的公比为 3，且 ，求 的前 n 项和 ．
17．（本小题满分 15 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，D，
E 分别为棱 ， 的中点，F 为棱 上一点， ．
（1）证明： 平面 BDF；
（2）求平面 BDF 与平面 的夹角的余弦值．
18．（本小题满分 17 分）
已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）若 ，函数 恰有三个零点，求实数 的取值范围．
19．（本小题满分 17 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，B 分别为 C
的上、下顶点，四边形 的面积为 2，C 的离心率为 ．
（1）求 C 的方程；
（2）已知过 的直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，且 l 不过 C 的任何一个顶点．
（ⅰ）若 l 的倾斜角为 ，求 的面积；
（ⅱ）若点 P 在 x 轴的上方，直线 AP，AQ 的斜率分别为 ， ，且 ，求直线 l 的方程．
2025~2026 学年高二年级 2 月期末总结考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意得 ，所以 ，即该质点在 时的瞬时速度为 ．故选 A．
2．B 设 的公比为 ，所以 ，所以 ，所以 。故选 B。
3．D 由题意知 ．故选 D．
4．C 由题意得 ，所以点 到平面 的距离 。故选 C．
5．B 由题意得 ，所以 ，所以 ．故选 B．
6．D 由 ，得 ， ， ，
，所以 ，所以 是以 3
为周期的周期数列，又 ，所以 ．故选 D．
7．C 由题意得圆心 在直线 上，直线 ，二者之间的距离 ，所以圆心
到直线 的距离为 ，所以直线 被圆 所截得的弦长 ．故选 C．
8．A 不妨设 在 轴上方，由抛物线定义得 ，所以 ，所以直线 的倾
斜角为 ，所以直线 的斜率为 ，又 ，所以直线 的方程为 ，令
，得 ，代入抛物线方程，得 ，所以 ，即点 的横坐标为 ．故选 A．
9．AC 若 ， ， ， 显然成立，若 ， 的斜率为 ， 的斜率为
， ，所以 ，所以无论 为何值， ，故 A 正确，B 错误； 的方程可化为
，所以 过定点 ， 过定点 ，故 C 正确，D 错误。故选 AC。
10．AD 因为 ， ，所以 ， ，故公差 ，所以
，故 A 正确；又 ，所以 ，故 B 错误；
，则 ，所以 也是等差数列，公差为 ，又
，故二者的公差不相等，故 C 错误；因为 ，所以 ，则 取得
最小值时 ，故 D 正确．故选 AD．
11．ABC 若 ，则点 为 的中点，易求 ，故 A 正确；若 ，则点 在线段 上，
易证 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 ，故点
到平面 的距离不变，又 的面积为定值，故三棱锥 的体积为定值，故 B 正确；若
，则 ， ， 三点共线，连接 ， ， ，易知 ，所以当 为
的中点时， ， 最小，此时 ，故 C 正确；若 ，则点 为棱
上的点，当点 与点 重合，即 时， 平面 ，故 D 错误．故选 ABC．
12． 原方程可化为 ，所以 ，所以 ．
13． 由渐近线的定义知，当 的横坐标 时，点 无限接近于渐近线 ，故 的斜
率趋近于 ，当 趋近于右顶点时， 的斜率趋近于 0，所以 的斜率的取值范围为 。
14． 由 ，得当 时， ，当 时，
，两式相减，得 ，即 ，所以
（ ），所以 ，所以 ，当 ，不满足上式，所以
15．解：（1）由题意得 的定义域为 ，
，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
（2）由（1）知 ．
令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
又 ， ，
显然 ， ，所以 在 上的值域为 ．
16．解：（1）设 的公差为 ，由题意得 ， ，
解得 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
由题意得 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
所以 ，
两边同乘以 3，得 ，
两式相减，得
，
所以 ．
17．（1）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，易证 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图
所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量 ，则 即 令 ，得 ，
，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：由（1）知，平面 的一个法向量 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 即 令 ，得 ， ，所
以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18．解：（1）当 时， ，则 ，所以 ，
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2） ，
①当 时， ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
③当 时，令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
④当 时，令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减。
（3）函数 的零点个数等价于曲线 与直线 的公共点的个数，
当 时，由（2）得 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
又 ，
，
所以要使曲线 与 有三个公共点，必有 ，
即符合条件的实数 的取值范围为 ．
19．解：（1）记 ，由题意知 ，
解得 ， ，所以 的方程为 ．
（2）（ⅰ）由（1）得 ， ， ，因为直线 的倾斜角等于 ，
所以 的斜率为 ，所以 的方程为 ，
由 得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 的面积
．
（ⅱ）由题意知 的斜率不为 0 且 不过 ， 点，故设 的方程为 ， ，
，
由 ，得 ，
则 ，且 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以
，
所以 ，所以 的方程为 ，即 ．