2026年人教版数学五年级下册《公倍数与最小公倍数》一课一练（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2026年人教版数学五年级下册《公倍数与最小公倍数》一课一练（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-11 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年人教版数学五年级下册《公倍数与最小公倍数》一课一练
一、单选题
1．若(M和N为非0自然数)，则M，N的最小公倍数是( )。
A．M B．N C．1 D．MN
2．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数不可能的是( )。
A．4和24 B．8和12 C．8和24D．不能确定
3．有两个非零自然数a和b，若a=b+1，则下列说法错误的是（ ）。
A．a和b的积是奇数 B．是最简分数
C．a和b的和是奇数 D．a和b的最小公倍数是 ab
4．如果a与b都是质数，那么a与b的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．a C．b D．ab
5．下面四组数中，公因数只有1，又都是合数，且最小公倍数是120的是( )。
A．6和20 B．10和12 C．8和15 D．5和24
6．若a＝2×3×5，b＝2×2×3，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．6 B．30 C．60D．不能确定
7． M和N是两个自然数且M÷N=6，那么M和N的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
A.M B.N C.6D．不能确定
8．若a=bc(a、b、c均为非零自然数)，则a 和b的最大公因数为 ，最小公倍数为 。
A. 1 B. a C. b D. c
9．甲=2×3×2×3， 乙=2×3×3×5， 最小公倍数是( )。
A．180 B．120 C．90 D．60
10．a和b是相邻的非0自然数，那么a和b的最小公倍数是( )。
A．1 B．a C．b D．ab
二、判断题
11．两个合数的最小公倍数不可能是它们的乘积。
12．两个自然数的最小公倍数一定比这两个数都大。（ ）
13．如果a和b的最大公因数是b，则它们的最小公倍数是a。（ ）
14．如果a和b的最大公因数是1，则它们的最小公倍数是ab。（ ）
15．两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。（ ）
16．两个数的积一定是这两个数的公倍数。（
）
17．两个数的最大公因数都小于这两个数的最小公倍数。（ ）
18．12是2的倍数，也是6的倍数，所以12是2和6的最小公倍数。（ ）
19．两个数的最小公倍数一定比这两个数小。（ ）
20．一个数的倍数一定比这个数的约数大。（ ）
三、填空题
21． 一座喷泉由内外两层构成，外层每6分钟喷水一次，内层每8分钟喷水一次。12：45同时喷过一次水后，下次同时喷水是 时 分。
22．a和b是两个非零自然数，它们的关系如下图，那么a和b的最小公倍数是 ，最大公因数是 。
23．已知na-b=1(a、b均是非零自然数)，那么a和b的最大公因数是 ，a和b的最小公倍数是 。
24．如果A=2×2×b×5， B=2×3×b×5， A和B的最大公因数是30， 那么b= ，A和B的最小公倍数是 。
25．有a、b两数(均是不为0的自然数)，已知a比b大1，则a与b的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
26．已知非零自然数A和B有以下关系：A÷B=12(B>12)，A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
27．已知A=2×3×m，B=3×5×m，A、B的最大公因数是21，m是 ，它们的最小公倍数是 。
28．a=2×3×5，b=2×5×7，则a与b的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
29．如果甲数=2×3×5，乙数=2×3×7， 那么甲、乙两数的最大公因数是 ，
最小公倍数是 。
30．a和m满足式子a+1=m，a和m的最大公因数是 ，a和m的最小公倍数是 。
四、计算题
31．用短除法求下各组数的最大公因数和最小公倍数。
24和36 45 和60 20和18 16和72
32．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
24和36 7和19 16和80
33．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
9和14 45和15 21和14
34．用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
30和40
24和42
35．求出下列每组数的最小公倍数。
20和30 9和15 7和11
15和35 10和12 4和24
36．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
15和60 52和78
37．用短除法求下列每组数的最小公倍数。
45和30 14和21
23和46 36和24
38．求各组数的最大公因数和最小公倍数。
（1）15和25
（2）24和42
39．五(1)班全体学生去野炊，每人用一个饭碗，每3人用一个菜碗，每4人用一个汤碗，最后统计下来，他们一共用了76个碗。参加野炊的学生共有多少人？
40．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
16 和 24
34 和 51
15 和 45
五、解决问题
41．请用你的方法说明：两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积。写出你的说明过程，尽可能让这个结论可信。
42．五(1)班开展“我是厨艺小达人”的劳动实践活动，同学们一起制作了若干个小蛋糕(总数在40~50之间)，现需要对它们进行分盒包装，请根据妙妙的描述，判断同学们制作的小蛋糕有多少个？
43．两个数和最大公约数是 16，最小公倍数是480，且这两个数的差是16，则这两个数各是多少
44．一条环形小路的周长是96米，甲、乙、丙三人从同一地点、同时、同方向骑车而行，甲每秒骑行8米，乙每秒骑行6米，丙每秒骑行4米。至少经过多长时间，三人再次从原出发点同时出发
45．王师傅将两个面团揉成两根同样长的长条，将其中一根切成每段5cm长的小段，另一根切成每段7cm长的小段，两根长条都正好切完。切成的这两种小段至少共有多少段
46．浙式月饼是浙江省衢州市的传统特色月饼，其外观小巧玲珑，口感清香酥软，甜而不腻。幼儿园在中秋节这天为小朋友们准备了一些浙式月饼，这些浙式月饼的个数在90和100之间，无论平均分给24个小朋友，还是平均分给16个小朋友都正好分完。这些浙式月饼至少有多少个
47．
（1）48和16的差是8的倍数吗？请你仿照上面的形式说明理由。
（2）我发现：如果a、b(a>b)是c的倍数(a、b、c均为非零自然数)，那么a+b，a-b 也都是c 的 。
（3）猜一猜：在第2题的条件下，a×b还是c的倍数吗？请用你的方法验证一下，并记录你的思考过程。(可采用举例，结合字母推导等方法验证)
猜想：
验证：
48．为打造书香校园，涵养师生文化自信，花园小学在图书角新设了一个四层书架，方便学生随时阅读。根据下面的对话，请你算一算这个书架最多放了多少本图书。
49．有一袋糖果，4颗4颗地数多了2颗，5颗5颗地数多了3颗，6颗6颗地数多了4颗，这袋糖果的数量为160~200颗。这袋糖果共有多少颗
50． 一个长方形，把它分成若干个边长为8cm的小正方形或若干个边长为10cm的小正方形，都恰好分完。已知这个长方形的长在50cm和100cm之间，则这个长方形的长是多少厘米
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：因为
所以M和N之间存在倍数关系。
所以M和N的最小公倍数就是M。
故答案为：A
【分析】本题考查最小公倍数的定义和性质，当两个数存在倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A：因为4=2×2，24=2×2×2×3，所以，4和24的最大公因数是2×2=4，最小公倍数是2×2×2×3=24，不符合题意；
B：因为8=2×2×2，12=2×2×3，所以，8和12的最大公因数是2×2=4，最小公倍数是2×2×2×3=24，不符合题意；
C：因为8=2×2×2，24=2×2×2×3，所以，8和24的最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×3=24，符合题意。
故答案为：C。
【分析】最大公因数找法：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再找到相同个数的质因乘积即为最大公因数，注意找相同质因数的乘积时相同质因数的个数也要相同；
最小公倍数找法：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再把相同的质因数与不同质因数相乘，积即为最小公倍数。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：有两个非零自然数a和b，若a=b+1，则a和b是连续自然数，
选项A，因为a和b是一个奇数一个偶数，根据奇数与偶数的乘法运算性质，奇数乘偶数的积是偶数，所以a和b的积是偶数，不是奇数，此说法错误；
选项B，由于a和b是两个连续的非零自然数，相邻的两个非零自然数是互质数，互质数组成的分数就是最简分数，所以是最简分数，此说法正确；
选项C，这两个数必然是一个奇数一个偶数，比如2和3，3和4等，根据奇数与偶数的运算性质，奇数加偶数的和是奇数，所以a+b的和是奇数，此说法正确；
选项D，因为a和b是互质数，互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积，所以a和b的最小公倍数是ab，此说法正确。
故答案为：A。
【分析】相邻的两个自然数相差1，由此根据条件“ 有两个非零自然数a和b，若a=b+1”可以推断：a和b是连续自然数，能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，据此判断；
相邻的两个非零自然数是互质数，互质数组成的分数就是最简分数；
互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积，据此判断。
4．【答案】D
【解析】【解答】如果a与b都是质数，那么a与b的最小公倍数是ab。
故答案为：D。
【分析】如果a与b都是质数，则a与b为互质数，那么a与b的最小公倍数是这两个数的乘积，据此解答即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A：公因数包括1和2（不互质），6和20均为合数，最小公倍数为60，A错误；
B：公因数包括1和2（不互质），10和12均为合数，最小公倍数为60，B错误；
C：公因数只有1（互质），8和15均为合数，最小公倍数为8×15=120，C正确；
D：公因数只有1（互质），5是质数，24是合数，最小公倍数为120，D错误。
故答案为：C。
【分析】根据题目给出的三个要求，逐一检验ABCD选项是否满足这三个条件，找出符合要求的选项； 质数是只有1和它本身两个因数， 合数是除了1和它本身还有别的因数， 两个数都有的因数叫做这两个数的公因数（其中最大的那个叫做最大公因数）， 两个数都有的倍数叫做它们的倍数（其中最小的那个叫做最小公倍数）。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：2×2×3×5＝60。
故答案为：C。
【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘；A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。
7．【答案】B；A
【解析】【解答】解：M和N是两个自然数且M÷N=6，那么M和N的最大公因数是N，最小公倍数是M。
故答案为：B；A。
【分析】较大数是较小数的倍数，较小数就是他们的最大公因数，较小数是他们的最小公倍数。
8．【答案】C；B
【解析】【解答】解：因为，说明b是a的因数。当一个数是另一个数的因数时，它们的最大公因数就是这个较小的数（即因数本身）。因此，a和b的最大公因数为b。
同样由于，a是b和c的乘积，因此a是b的倍数。当一个数是另一个数的倍数时，它们的最小公倍数就是较大的那个数（即倍数本身）。因此，a和b的最小公倍数为a。
故答案为：C；B。
【分析】根据题目条件（其中a、b、c均为非零自然数），我们需要找到a和b的最大公因数和最小公倍数。由于a是b和c的乘积，可以推断出b是a的一个因数，因此最大公因数和最小公倍数的计算可以基于因数和倍数的关系直接得出。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：2×3×3×2×5=180。
故答案为：A。
【分析】甲和乙的最小公倍数=甲和乙公有的质因数×各自独有的质因数。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由于a和b是相邻的
可以确定a和b为两个连续的整数。
对于两个相邻的自然数a和b，它们的最小公倍数为它们的乘积ab，
因为它们之间没有共同的因子（除了1），所以它们的最小公倍数就是它们的乘积。
故答案为：D
【分析】本题考查的是最小公倍数的概念和计算方法，特别是当两个数是相邻的非零自然数时，它们的最小公倍数的确定方式。根据相邻自然数的特性，可以得出它们的最小公倍数为它们的乘积。
11．【答案】错误
【解析】【解答】解：如：合数4和9的最小公倍数是：4×9=36
故答案为：错误。
【分析】互为互质数的两个数的最小公倍数是它们的积。
12．【答案】错误
【解析】【解答】解：两个自然数的最小公倍数不一定比这两个数都大，原题说法错误；
故答案为：错误。
【分析】最小公倍数是能同时被两个自然数整除的最小正整数，取自然数2和4，最小公倍数为4，与较大数4相等，不比4大，所以原题说法错误。
13．【答案】正确
【解析】【解答】解：如果a和b的最大公因数是b，则它们的最小公倍数是a。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】a和b的最大公因数是b，说明a是b的倍数，那么较大数就是他们的最小公倍数。
14．【答案】正确
【解析】【解答】解：如果a和b的最大公因数是1，则它们的最小公倍数是ab。原来说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的最大公因数是1，这两个数是互质数，那么他们的最小公倍数是两个数的乘积。
15．【答案】正确
【解析】【解答】解：举例：2和6的最小公倍数是6，最大公因数是2，6是2的3倍，
两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘；两个数的最小公倍数是把这两个数公有的质因数和它们各自独有的质因数相乘。
16．【答案】正确
【解析】【解答】解：两个数的积一定是这两个数的公倍数，原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的公倍数是这两个数公有的倍数，两个数的乘积是每个因数的倍数，也是这两个数的公倍数。
17．【答案】错误
【解析】【解答】解：如：4和4的最大公因数是4，最小公倍数也是4。
故答案为：错误。
【分析】当这两个数是不同的数时，它们的最大公因数小于这两个数的最小公倍数；如果这两个数相同，则两个数的最大公因数等于这两个数的最小公倍数。
18．【答案】错误
【解析】【解答】解：12是2的倍数，也是6的倍数，所以12是2和6的公倍数。
故答案为：错误。
【分析】12是2的倍数，也是6的倍数，所以12是2和6的公倍数，而非最小公倍数。
19．【答案】错误
【解析】【解答】解：如6和12的最小公倍数是12，
故答案为：错误。
【分析】两个数的最小公倍数不一定比这两个数都小，也有可能与其中一个数相等。
20．【答案】错误
【解析】【解答】解：一个数的最小倍数和这个数的最大约数相等。
故答案为：错误。
【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
21．【答案】13；9
【解析】【解答】解：8=2×2×2
6=2×3
8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24。
12时45分+24分=13时9分
故答案为：13；9。
【分析】求出10和6的最小公倍数，用12：55加上最小公倍数，即可求出下次同时喷水的时间。
22．【答案】24；2
【解析】【解答】解：a和b是两个非零自然数，它们的关系如下图，那么a和b的最小公倍数是24，最大公因数是2。
故答案为：24；2。
【分析】两个圈内重叠部分内的数字就是它们的公倍数，然后找出最小公倍数。根据两个数最小的倍数判断出这两个数是8和6，然后确定最大公因数。
23．【答案】1；ab
【解析】【解答】解：已知a-b=1(a、b均是非零自然数)，a和b是相邻的两个数，那么a和b的最大公因数是1，a和b的最小公倍数是ab。
故答案为：1；ab。
【分析】相邻两个自然数是互质数，互质数的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。
24．【答案】3；180
【解析】【解答】解： 如果A=2×2×b×5， B=2×3×b×5， A和B的最大公因数是2×b×5=10b，
已知A和B的最大公因数是30，则
10b=30
10b÷10=30÷10
b=3
A和B的最小公倍数是2×3×5×2×3=180。
故答案为：3；180。
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数；
用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，它们的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
25．【答案】1；ab
【解析】【解答】解：有a、b两数(均是不为0的自然数)，已知a比b大1，则a与b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
故答案为：1；ab。
【分析】a比b大1，说明a、b是相邻的两个自然数，相邻两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。
26．【答案】B；A
【解析】【解答】解：因为A÷B=12（B>12），所以A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。
故答案为：B；A。
【分析】根据因数与倍数的含义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0），可知B是A的因数，同时B也是它本身最大的因数，所以A和B的最大公因数是B，A是B的倍数，且A也是它本身最小的倍数，所以A是A和B的最小公倍数。
27．【答案】7；210
【解析】【解答】解：3m=21
m=7
2357
=635
=210
故答案为：7，210。
【分析】将两个数分解质因数，两个数的最大公因数就是所有相同因数的乘积，两个数的最小公倍数就是两个数所有因数的乘积（相同的因数乘一次），据此解答即可。
28．【答案】10；210
【解析】【解答】解：a的质因数为2、3、5；
b的质因数为2、5、7。
两者的公共质因数为2和5，因此最大公因数为。
最小公倍数为。
故答案为：10；210。
【分析】首先，题目给出了a和b的质因数分解式，要求求出它们的最大公因数和最小公倍数。最大公因数是两个数共有质因数的最低次幂的乘积，而最小公倍数则是所有质因数的最高次幂的乘积。通过对比a和b的质因数分解，可以快速确定这两个数值。
29．【答案】6；210
【解析】【解答】解：最大公因数：2×3=6；
最小公倍数：2×3×5×7=210。
故答案为：6；210。
【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数。把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘就是两个数的最小公倍数。
30．【答案】1；am
【解析】【解答】解：a+1=m，a和m的最大公因数是1；
a和m的最小公倍是a×m=am。
故答案为：1；am。
【分析】a+1=m，说明a和m是相邻的自然数，即a和m是互质数，则互为互质数的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。
31．【答案】解：
最大公因数：2×2×3=12，最小公倍数：2×2×3×2×3=72；
最大公因数：3×5=15，最小公倍数：3×5×3×4=180；
最大公因数2，最小公倍数2×10×9=180；
最大公因数：2×2×2=8，最小公倍数：2×2×2×2×9=144。
【解析】【分析】用短除法时从两个数最小的质因数开始除，直到两个数只有公因数1为止。把两个数公有的质因数相乘就是他们的最大公因数；把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘就是他们的最小公倍数。
32．【答案】解：24=2×2×2×3 36=2×2×3×3
24和36的最大公因数是2×2×3=12，最小公倍数是2×2×3×2×3=72。
7和19是互质数，7和19的最大公因数是1，最小公倍数是7×19=133。
16是80的因数，16和80的最大公因数是16，最小公倍数是80。
【解析】【分析】要求出最大公因数，首先对一组数中的两个数字进行因式分解，找到其中共有质因数相乘即可；要求出最小公倍数，两个数的质因数相乘， 其中每个质因数的次数取两个数中较大的那个。
33．【答案】解：9和14的最大公因数是1，最小公倍数是9×14=126，
45是15的倍数，45和15的最大公因数是15，最小公倍数是45，
21=3×7，14=2×7，21和14的最大公因数是7，最小公倍数是3×2×7=42。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有的质因数和独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数。两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的积。较大数是较小数的倍数，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。
34．【答案】解：30=2×3×5，
40=2×2×2×5，
最大公因数是2×5=10，
最小公倍数是2×2×2×3×5=120；
24=2×2×2×3，
42=2×3×7，
最大公因数是2×3=6，
最小公倍数是2×2×2×3×7=168；
答：30和40的最大公因数是10，最小公倍数是120；24和42的最大公因数是6，最小公倍数是168。
【解析】【分析】短除法通过连续用公因数去除两个数，直到商互质为止；最大公因数是所有公因数的乘积，最小公倍数则是所有公因数与最后商的乘积；据此求解即可。
35．【答案】解：20和30 20=2×2×5 30=2×3×5 20和30的最小公倍数是2×2×3×5=60
9和15 9=3×3 15=3×5 9和15的最小公倍数是3×3×5=45
7和11是互质数，7和11的最小公倍数是7×11=77
15和35 15=3×5 35=5×7 15和35的最小公倍数是3×5×7=105
10和12 10=2×5 12=2×2×3 10和12的最小公倍数是2×2×3×5=60
4和24 24是4的倍数，最小公倍数是24。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，把公有的质因数和独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。公因数只有1的两个数的最小公倍数是两个数的乘积。较大数是较小数的倍数，最小公倍数是较大的数。
36．【答案】解：
15和60的最大公因数是5×3=15，
最小公倍数是5×3×4=60；
52和78的最大公因数是2×13=26；
52和78的最小公倍数是2×13×2×3=156。
【解析】【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，先用这两个数公有的质因数去除，一直除到商互质为止，除数相乘的积是最大公因数，除数和商连乘起来，就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
37．【答案】解：
[45，30]=3×5×3×2=90；
[14，21]=7×2×3=42；
[23，46]=23×1×2=46；
[36，24]=2×2×3×3×2=72；
【解析】【分析】短除法的计算方法：将两个数每次都除以它们的公有质因数，一直除到两个的商只有公因数1为止。两个数的最小公倍数等于这两个数的所有公有质因数和独有质因数的乘积，据此计算。
38．【答案】（1）15和25的最大公因数是5，最小公倍数是75。
（2）24和42的最大公因数是6，最小公倍数是168。
【解析】【分析】最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。求解方法可以通过分解质因数来进行，先分别找出两个数的质因数，然后根据质因数来确定最大公因数和最小公倍数。
39．【答案】解：因为1、3、4的最小公倍数是12，所以野炊人数应是12的倍数。
12÷1+12÷3+12÷4=19(个)
76÷19=4(组)
12×4=48(人)
答：参加野炊的学生共有48人。
【解析】【分析】因为1、3、4的最小公倍数是12，所以参加野炊的学生人数应该是12的倍数。又因为12÷1=12(个)，12÷3=4(个)，12÷4=3(个)，所以如果我们以这12人作为一组，那么他们就得用12个饭碗、4个菜碗和3个汤碗，一共19个碗。这样可以将这76个碗平均分成76÷19=4(组)，而每组有12人，因此一共有12×4=48(人)
40．【答案】解：16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，16和24的最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×2×3=48。
34=2×17，51=3×17，34和51的最大公因数是17，最小公倍数是2×3×17=102。
45是15的倍数，15和45的最大公因数是15，最小公倍数是45。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，把两个数公有的质因数相乘就是它们的最大公因数，把公有的质因数和独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。
41．【答案】解：设A=a×c，B=b×c，a、b互质。A和B的最小公倍数是a×b×c，A和B的最大公约数是c. A和B的最小公倍数×A和B的最大公约数=a×b×c×c. A×B= a×c×b×c. 由以上可得：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的积。
【解析】【分析】两个数公有的质因数和独有的质因数的积就是它们的最小公倍数；两个数公有的质因数的积就是它们的最大公因数。
42．【答案】解：3和4的公倍数是3×4=12，
12的倍数有：12、24、36、48、60……
40~50之间是数是48，
所以，同学们制作的小蛋糕有48个。
【解析】【分析】先求出3和4的公倍数，然后找出40~50之间公倍数的倍数即可。
43．【答案】解：因为480=16×30
由此可知，两个数除以16得到的商的乘积等于30
又30=2×15=3×10=5×6
所以这两个数是：5×16=80和6×16=96
答：这两个数是80和96。
【解析】【分析】最大公约数和最小公倍数之间的关系：对于两个数，它们的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积，利用这个关系，结合题目给出的条件，逐步求解出这两个数。
44．【答案】解：96÷8=12(秒)
96÷6=16(秒)
96÷4=24(秒)
12，16和24的最小公倍数是48
答：至少经过48秒，三人再次从原出发点同时出发
【解析】【分析】先计算出甲、乙、丙三人各自完成一圈所需的时间，然后找到这三个时间的最小公倍数，该最小公倍数即为三人再次从原出发点同时出发所需的最短时间。
45．【答案】解：5×7=35cm
5和7的最小公倍数是35
35÷5=7(段)
35÷7=5(段)
7+5=12(段)
答：切成的这两种小段至少共有12段。
【解析】【分析】先找到5和7的最小公倍数来确定两根长条切割成小段的数量，从而得出总的小段数量。
46．【答案】解：24=2×2×2×3
16=2×2×2×2
2×2×2×2×3=48
16和24的最小公倍数是48
48×2=96(个)
答：这些浙式月饼至少有96个。
【解析】【分析】无论是平均分给24个小朋友还是平均分给16个小朋友，月饼都能正好分完，说明月饼的总数是24和16的公倍数。先找到24和16的最小公倍数，并确定这个数正好在90和100之间的范围内即可得到答案。
47．【答案】（1）解：因为48=6×8，16=2×8
48－16=6×8－2×8=（6－2）×8=4×8。
所以48和16的差是8的倍数。
答：48和16的差是8的倍数。
（2）倍数
（3）解：
猜想：a×b还是c的倍数。 验证：48、16都是8的倍数，48×16=(6×8)×(2×8)=(6×8×2)×8，48×16一定是8的倍数，所以a×b 还是c的倍数。
【解析】【解答】解：（2）我发现：如果a、b（a>b）是c的倍数（a、b、c均为非零自然数），那么a+b，a-b也都是c的倍数。
故答案为：（2）倍数。
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）；据此根据题意只要找到两数的差、和、积中有这个因数，则两数的差、和、积就都是这个数的倍数。
48．【答案】解：同时是2和3的倍数的数有6，12，18，24，30，36，42，48，54……，其中不超过50的最大的数是48，即每层放了48本；
48×4=192(本)
答：这个书架最多放了192本图书。
【解析】【分析】根据题意可知每层书架放的图书本数是50以内2和3的最大公倍数，最大公倍数×书架层数=这个书架最多放的图书本数。
49．【答案】解：4，5，6的最小公倍数是60
60×3-2=178(颗)
答： 这袋糖果共有178颗。
【解析】【分析】本题需要找出糖果数量的规律，即糖果数量加上2颗后可以被4、5、6同时整除。即4、5、6的最小公倍数减去2，最后在160~200这个范围内，找出60的倍数，然后从中减去2即可。
50．【答案】解：8=2×2×2
10=2×5
2×2×2×5=40cm
40×2=80(cm)
答： 这个长方形的长是80厘米
【解析】【分析】长方形的长必须同时是边长8cm和边长10cm的公倍数，才能被这两个尺寸的小正方形完整分割。由于长方形的长在50cm到100cm之间，找到这一范围内的公倍数，即可得到答案。
一、单选题
1．若(M和N为非0自然数)，则M，N的最小公倍数是( )。
A．M B．N C．1 D．MN
2．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数不可能的是( )。
A．4和24 B．8和12 C．8和24D．不能确定
3．有两个非零自然数a和b，若a=b+1，则下列说法错误的是（ ）。
A．a和b的积是奇数 B．是最简分数
C．a和b的和是奇数 D．a和b的最小公倍数是 ab
4．如果a与b都是质数，那么a与b的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．a C．b D．ab
5．下面四组数中，公因数只有1，又都是合数，且最小公倍数是120的是( )。
A．6和20 B．10和12 C．8和15 D．5和24
6．若a＝2×3×5，b＝2×2×3，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．6 B．30 C．60D．不能确定
7． M和N是两个自然数且M÷N=6，那么M和N的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
A.M B.N C.6D．不能确定
8．若a=bc(a、b、c均为非零自然数)，则a 和b的最大公因数为 ，最小公倍数为 。
A. 1 B. a C. b D. c
9．甲=2×3×2×3， 乙=2×3×3×5， 最小公倍数是( )。
A．180 B．120 C．90 D．60
10．a和b是相邻的非0自然数，那么a和b的最小公倍数是( )。
A．1 B．a C．b D．ab
二、判断题
11．两个合数的最小公倍数不可能是它们的乘积。
12．两个自然数的最小公倍数一定比这两个数都大。（ ）
13．如果a和b的最大公因数是b，则它们的最小公倍数是a。（ ）
14．如果a和b的最大公因数是1，则它们的最小公倍数是ab。（ ）
15．两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。（ ）
16．两个数的积一定是这两个数的公倍数。（
）
17．两个数的最大公因数都小于这两个数的最小公倍数。（ ）
18．12是2的倍数，也是6的倍数，所以12是2和6的最小公倍数。（ ）
19．两个数的最小公倍数一定比这两个数小。（ ）
20．一个数的倍数一定比这个数的约数大。（ ）
三、填空题
21． 一座喷泉由内外两层构成，外层每6分钟喷水一次，内层每8分钟喷水一次。12：45同时喷过一次水后，下次同时喷水是 时 分。
22．a和b是两个非零自然数，它们的关系如下图，那么a和b的最小公倍数是 ，最大公因数是 。
23．已知na-b=1(a、b均是非零自然数)，那么a和b的最大公因数是 ，a和b的最小公倍数是 。
24．如果A=2×2×b×5， B=2×3×b×5， A和B的最大公因数是30， 那么b= ，A和B的最小公倍数是 。
25．有a、b两数(均是不为0的自然数)，已知a比b大1，则a与b的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
26．已知非零自然数A和B有以下关系：A÷B=12(B>12)，A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
27．已知A=2×3×m，B=3×5×m，A、B的最大公因数是21，m是 ，它们的最小公倍数是 。
28．a=2×3×5，b=2×5×7，则a与b的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
29．如果甲数=2×3×5，乙数=2×3×7， 那么甲、乙两数的最大公因数是 ，
最小公倍数是 。
30．a和m满足式子a+1=m，a和m的最大公因数是 ，a和m的最小公倍数是 。
四、计算题
31．用短除法求下各组数的最大公因数和最小公倍数。
24和36 45 和60 20和18 16和72
32．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
24和36 7和19 16和80
33．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
9和14 45和15 21和14
34．用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
30和40
24和42
35．求出下列每组数的最小公倍数。
20和30 9和15 7和11
15和35 10和12 4和24
36．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
15和60 52和78
37．用短除法求下列每组数的最小公倍数。
45和30 14和21
23和46 36和24
38．求各组数的最大公因数和最小公倍数。
（1）15和25
（2）24和42
39．五(1)班全体学生去野炊，每人用一个饭碗，每3人用一个菜碗，每4人用一个汤碗，最后统计下来，他们一共用了76个碗。参加野炊的学生共有多少人？
40．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
16 和 24
34 和 51
15 和 45
五、解决问题
41．请用你的方法说明：两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积。写出你的说明过程，尽可能让这个结论可信。
42．五(1)班开展“我是厨艺小达人”的劳动实践活动，同学们一起制作了若干个小蛋糕(总数在40~50之间)，现需要对它们进行分盒包装，请根据妙妙的描述，判断同学们制作的小蛋糕有多少个？
43．两个数和最大公约数是 16，最小公倍数是480，且这两个数的差是16，则这两个数各是多少
44．一条环形小路的周长是96米，甲、乙、丙三人从同一地点、同时、同方向骑车而行，甲每秒骑行8米，乙每秒骑行6米，丙每秒骑行4米。至少经过多长时间，三人再次从原出发点同时出发
45．王师傅将两个面团揉成两根同样长的长条，将其中一根切成每段5cm长的小段，另一根切成每段7cm长的小段，两根长条都正好切完。切成的这两种小段至少共有多少段
46．浙式月饼是浙江省衢州市的传统特色月饼，其外观小巧玲珑，口感清香酥软，甜而不腻。幼儿园在中秋节这天为小朋友们准备了一些浙式月饼，这些浙式月饼的个数在90和100之间，无论平均分给24个小朋友，还是平均分给16个小朋友都正好分完。这些浙式月饼至少有多少个
47．
（1）48和16的差是8的倍数吗？请你仿照上面的形式说明理由。
（2）我发现：如果a、b(a>b)是c的倍数(a、b、c均为非零自然数)，那么a+b，a-b 也都是c 的 。
（3）猜一猜：在第2题的条件下，a×b还是c的倍数吗？请用你的方法验证一下，并记录你的思考过程。(可采用举例，结合字母推导等方法验证)
猜想：
验证：
48．为打造书香校园，涵养师生文化自信，花园小学在图书角新设了一个四层书架，方便学生随时阅读。根据下面的对话，请你算一算这个书架最多放了多少本图书。
49．有一袋糖果，4颗4颗地数多了2颗，5颗5颗地数多了3颗，6颗6颗地数多了4颗，这袋糖果的数量为160~200颗。这袋糖果共有多少颗
50． 一个长方形，把它分成若干个边长为8cm的小正方形或若干个边长为10cm的小正方形，都恰好分完。已知这个长方形的长在50cm和100cm之间，则这个长方形的长是多少厘米
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：因为
所以M和N之间存在倍数关系。
所以M和N的最小公倍数就是M。
故答案为：A
【分析】本题考查最小公倍数的定义和性质，当两个数存在倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A：因为4=2×2，24=2×2×2×3，所以，4和24的最大公因数是2×2=4，最小公倍数是2×2×2×3=24，不符合题意；
B：因为8=2×2×2，12=2×2×3，所以，8和12的最大公因数是2×2=4，最小公倍数是2×2×2×3=24，不符合题意；
C：因为8=2×2×2，24=2×2×2×3，所以，8和24的最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×3=24，符合题意。
故答案为：C。
【分析】最大公因数找法：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再找到相同个数的质因乘积即为最大公因数，注意找相同质因数的乘积时相同质因数的个数也要相同；
最小公倍数找法：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再把相同的质因数与不同质因数相乘，积即为最小公倍数。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：有两个非零自然数a和b，若a=b+1，则a和b是连续自然数，
选项A，因为a和b是一个奇数一个偶数，根据奇数与偶数的乘法运算性质，奇数乘偶数的积是偶数，所以a和b的积是偶数，不是奇数，此说法错误；
选项B，由于a和b是两个连续的非零自然数，相邻的两个非零自然数是互质数，互质数组成的分数就是最简分数，所以是最简分数，此说法正确；
选项C，这两个数必然是一个奇数一个偶数，比如2和3，3和4等，根据奇数与偶数的运算性质，奇数加偶数的和是奇数，所以a+b的和是奇数，此说法正确；
选项D，因为a和b是互质数，互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积，所以a和b的最小公倍数是ab，此说法正确。
故答案为：A。
【分析】相邻的两个自然数相差1，由此根据条件“ 有两个非零自然数a和b，若a=b+1”可以推断：a和b是连续自然数，能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，据此判断；
相邻的两个非零自然数是互质数，互质数组成的分数就是最简分数；
互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积，据此判断。
4．【答案】D
【解析】【解答】如果a与b都是质数，那么a与b的最小公倍数是ab。
故答案为：D。
【分析】如果a与b都是质数，则a与b为互质数，那么a与b的最小公倍数是这两个数的乘积，据此解答即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A：公因数包括1和2（不互质），6和20均为合数，最小公倍数为60，A错误；
B：公因数包括1和2（不互质），10和12均为合数，最小公倍数为60，B错误；
C：公因数只有1（互质），8和15均为合数，最小公倍数为8×15=120，C正确；
D：公因数只有1（互质），5是质数，24是合数，最小公倍数为120，D错误。
故答案为：C。
【分析】根据题目给出的三个要求，逐一检验ABCD选项是否满足这三个条件，找出符合要求的选项； 质数是只有1和它本身两个因数， 合数是除了1和它本身还有别的因数， 两个数都有的因数叫做这两个数的公因数（其中最大的那个叫做最大公因数）， 两个数都有的倍数叫做它们的倍数（其中最小的那个叫做最小公倍数）。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：2×2×3×5＝60。
故答案为：C。
【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘；A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。
7．【答案】B；A
【解析】【解答】解：M和N是两个自然数且M÷N=6，那么M和N的最大公因数是N，最小公倍数是M。
故答案为：B；A。
【分析】较大数是较小数的倍数，较小数就是他们的最大公因数，较小数是他们的最小公倍数。
8．【答案】C；B
【解析】【解答】解：因为，说明b是a的因数。当一个数是另一个数的因数时，它们的最大公因数就是这个较小的数（即因数本身）。因此，a和b的最大公因数为b。
同样由于，a是b和c的乘积，因此a是b的倍数。当一个数是另一个数的倍数时，它们的最小公倍数就是较大的那个数（即倍数本身）。因此，a和b的最小公倍数为a。
故答案为：C；B。
【分析】根据题目条件（其中a、b、c均为非零自然数），我们需要找到a和b的最大公因数和最小公倍数。由于a是b和c的乘积，可以推断出b是a的一个因数，因此最大公因数和最小公倍数的计算可以基于因数和倍数的关系直接得出。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：2×3×3×2×5=180。
故答案为：A。
【分析】甲和乙的最小公倍数=甲和乙公有的质因数×各自独有的质因数。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由于a和b是相邻的
可以确定a和b为两个连续的整数。
对于两个相邻的自然数a和b，它们的最小公倍数为它们的乘积ab，
因为它们之间没有共同的因子（除了1），所以它们的最小公倍数就是它们的乘积。
故答案为：D
【分析】本题考查的是最小公倍数的概念和计算方法，特别是当两个数是相邻的非零自然数时，它们的最小公倍数的确定方式。根据相邻自然数的特性，可以得出它们的最小公倍数为它们的乘积。
11．【答案】错误
【解析】【解答】解：如：合数4和9的最小公倍数是：4×9=36
故答案为：错误。
【分析】互为互质数的两个数的最小公倍数是它们的积。
12．【答案】错误
【解析】【解答】解：两个自然数的最小公倍数不一定比这两个数都大，原题说法错误；
故答案为：错误。
【分析】最小公倍数是能同时被两个自然数整除的最小正整数，取自然数2和4，最小公倍数为4，与较大数4相等，不比4大，所以原题说法错误。
13．【答案】正确
【解析】【解答】解：如果a和b的最大公因数是b，则它们的最小公倍数是a。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】a和b的最大公因数是b，说明a是b的倍数，那么较大数就是他们的最小公倍数。
14．【答案】正确
【解析】【解答】解：如果a和b的最大公因数是1，则它们的最小公倍数是ab。原来说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的最大公因数是1，这两个数是互质数，那么他们的最小公倍数是两个数的乘积。
15．【答案】正确
【解析】【解答】解：举例：2和6的最小公倍数是6，最大公因数是2，6是2的3倍，
两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘；两个数的最小公倍数是把这两个数公有的质因数和它们各自独有的质因数相乘。
16．【答案】正确
【解析】【解答】解：两个数的积一定是这两个数的公倍数，原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的公倍数是这两个数公有的倍数，两个数的乘积是每个因数的倍数，也是这两个数的公倍数。
17．【答案】错误
【解析】【解答】解：如：4和4的最大公因数是4，最小公倍数也是4。
故答案为：错误。
【分析】当这两个数是不同的数时，它们的最大公因数小于这两个数的最小公倍数；如果这两个数相同，则两个数的最大公因数等于这两个数的最小公倍数。
18．【答案】错误
【解析】【解答】解：12是2的倍数，也是6的倍数，所以12是2和6的公倍数。
故答案为：错误。
【分析】12是2的倍数，也是6的倍数，所以12是2和6的公倍数，而非最小公倍数。
19．【答案】错误
【解析】【解答】解：如6和12的最小公倍数是12，
故答案为：错误。
【分析】两个数的最小公倍数不一定比这两个数都小，也有可能与其中一个数相等。
20．【答案】错误
【解析】【解答】解：一个数的最小倍数和这个数的最大约数相等。
故答案为：错误。
【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
21．【答案】13；9
【解析】【解答】解：8=2×2×2
6=2×3
8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24。
12时45分+24分=13时9分
故答案为：13；9。
【分析】求出10和6的最小公倍数，用12：55加上最小公倍数，即可求出下次同时喷水的时间。
22．【答案】24；2
【解析】【解答】解：a和b是两个非零自然数，它们的关系如下图，那么a和b的最小公倍数是24，最大公因数是2。
故答案为：24；2。
【分析】两个圈内重叠部分内的数字就是它们的公倍数，然后找出最小公倍数。根据两个数最小的倍数判断出这两个数是8和6，然后确定最大公因数。
23．【答案】1；ab
【解析】【解答】解：已知a-b=1(a、b均是非零自然数)，a和b是相邻的两个数，那么a和b的最大公因数是1，a和b的最小公倍数是ab。
故答案为：1；ab。
【分析】相邻两个自然数是互质数，互质数的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。
24．【答案】3；180
【解析】【解答】解： 如果A=2×2×b×5， B=2×3×b×5， A和B的最大公因数是2×b×5=10b，
已知A和B的最大公因数是30，则
10b=30
10b÷10=30÷10
b=3
A和B的最小公倍数是2×3×5×2×3=180。
故答案为：3；180。
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数；
用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，它们的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
25．【答案】1；ab
【解析】【解答】解：有a、b两数(均是不为0的自然数)，已知a比b大1，则a与b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
故答案为：1；ab。
【分析】a比b大1，说明a、b是相邻的两个自然数，相邻两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。
26．【答案】B；A
【解析】【解答】解：因为A÷B=12（B>12），所以A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。
故答案为：B；A。
【分析】根据因数与倍数的含义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0），可知B是A的因数，同时B也是它本身最大的因数，所以A和B的最大公因数是B，A是B的倍数，且A也是它本身最小的倍数，所以A是A和B的最小公倍数。
27．【答案】7；210
【解析】【解答】解：3m=21
m=7
2357
=635
=210
故答案为：7，210。
【分析】将两个数分解质因数，两个数的最大公因数就是所有相同因数的乘积，两个数的最小公倍数就是两个数所有因数的乘积（相同的因数乘一次），据此解答即可。
28．【答案】10；210
【解析】【解答】解：a的质因数为2、3、5；
b的质因数为2、5、7。
两者的公共质因数为2和5，因此最大公因数为。
最小公倍数为。
故答案为：10；210。
【分析】首先，题目给出了a和b的质因数分解式，要求求出它们的最大公因数和最小公倍数。最大公因数是两个数共有质因数的最低次幂的乘积，而最小公倍数则是所有质因数的最高次幂的乘积。通过对比a和b的质因数分解，可以快速确定这两个数值。
29．【答案】6；210
【解析】【解答】解：最大公因数：2×3=6；
最小公倍数：2×3×5×7=210。
故答案为：6；210。
【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数。把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘就是两个数的最小公倍数。
30．【答案】1；am
【解析】【解答】解：a+1=m，a和m的最大公因数是1；
a和m的最小公倍是a×m=am。
故答案为：1；am。
【分析】a+1=m，说明a和m是相邻的自然数，即a和m是互质数，则互为互质数的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。
31．【答案】解：
最大公因数：2×2×3=12，最小公倍数：2×2×3×2×3=72；
最大公因数：3×5=15，最小公倍数：3×5×3×4=180；
最大公因数2，最小公倍数2×10×9=180；
最大公因数：2×2×2=8，最小公倍数：2×2×2×2×9=144。
【解析】【分析】用短除法时从两个数最小的质因数开始除，直到两个数只有公因数1为止。把两个数公有的质因数相乘就是他们的最大公因数；把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘就是他们的最小公倍数。
32．【答案】解：24=2×2×2×3 36=2×2×3×3
24和36的最大公因数是2×2×3=12，最小公倍数是2×2×3×2×3=72。
7和19是互质数，7和19的最大公因数是1，最小公倍数是7×19=133。
16是80的因数，16和80的最大公因数是16，最小公倍数是80。
【解析】【分析】要求出最大公因数，首先对一组数中的两个数字进行因式分解，找到其中共有质因数相乘即可；要求出最小公倍数，两个数的质因数相乘， 其中每个质因数的次数取两个数中较大的那个。
33．【答案】解：9和14的最大公因数是1，最小公倍数是9×14=126，
45是15的倍数，45和15的最大公因数是15，最小公倍数是45，
21=3×7，14=2×7，21和14的最大公因数是7，最小公倍数是3×2×7=42。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有的质因数和独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数。两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的积。较大数是较小数的倍数，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。
34．【答案】解：30=2×3×5，
40=2×2×2×5，
最大公因数是2×5=10，
最小公倍数是2×2×2×3×5=120；
24=2×2×2×3，
42=2×3×7，
最大公因数是2×3=6，
最小公倍数是2×2×2×3×7=168；
答：30和40的最大公因数是10，最小公倍数是120；24和42的最大公因数是6，最小公倍数是168。
【解析】【分析】短除法通过连续用公因数去除两个数，直到商互质为止；最大公因数是所有公因数的乘积，最小公倍数则是所有公因数与最后商的乘积；据此求解即可。
35．【答案】解：20和30 20=2×2×5 30=2×3×5 20和30的最小公倍数是2×2×3×5=60
9和15 9=3×3 15=3×5 9和15的最小公倍数是3×3×5=45
7和11是互质数，7和11的最小公倍数是7×11=77
15和35 15=3×5 35=5×7 15和35的最小公倍数是3×5×7=105
10和12 10=2×5 12=2×2×3 10和12的最小公倍数是2×2×3×5=60
4和24 24是4的倍数，最小公倍数是24。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，把公有的质因数和独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。公因数只有1的两个数的最小公倍数是两个数的乘积。较大数是较小数的倍数，最小公倍数是较大的数。
36．【答案】解：
15和60的最大公因数是5×3=15，
最小公倍数是5×3×4=60；
52和78的最大公因数是2×13=26；
52和78的最小公倍数是2×13×2×3=156。
【解析】【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，先用这两个数公有的质因数去除，一直除到商互质为止，除数相乘的积是最大公因数，除数和商连乘起来，就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
37．【答案】解：
[45，30]=3×5×3×2=90；
[14，21]=7×2×3=42；
[23，46]=23×1×2=46；
[36，24]=2×2×3×3×2=72；
【解析】【分析】短除法的计算方法：将两个数每次都除以它们的公有质因数，一直除到两个的商只有公因数1为止。两个数的最小公倍数等于这两个数的所有公有质因数和独有质因数的乘积，据此计算。
38．【答案】（1）15和25的最大公因数是5，最小公倍数是75。
（2）24和42的最大公因数是6，最小公倍数是168。
【解析】【分析】最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。求解方法可以通过分解质因数来进行，先分别找出两个数的质因数，然后根据质因数来确定最大公因数和最小公倍数。
39．【答案】解：因为1、3、4的最小公倍数是12，所以野炊人数应是12的倍数。
12÷1+12÷3+12÷4=19(个)
76÷19=4(组)
12×4=48(人)
答：参加野炊的学生共有48人。
【解析】【分析】因为1、3、4的最小公倍数是12，所以参加野炊的学生人数应该是12的倍数。又因为12÷1=12(个)，12÷3=4(个)，12÷4=3(个)，所以如果我们以这12人作为一组，那么他们就得用12个饭碗、4个菜碗和3个汤碗，一共19个碗。这样可以将这76个碗平均分成76÷19=4(组)，而每组有12人，因此一共有12×4=48(人)
40．【答案】解：16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，16和24的最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×2×3=48。
34=2×17，51=3×17，34和51的最大公因数是17，最小公倍数是2×3×17=102。
45是15的倍数，15和45的最大公因数是15，最小公倍数是45。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，把两个数公有的质因数相乘就是它们的最大公因数，把公有的质因数和独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。
41．【答案】解：设A=a×c，B=b×c，a、b互质。A和B的最小公倍数是a×b×c，A和B的最大公约数是c. A和B的最小公倍数×A和B的最大公约数=a×b×c×c. A×B= a×c×b×c. 由以上可得：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的积。
【解析】【分析】两个数公有的质因数和独有的质因数的积就是它们的最小公倍数；两个数公有的质因数的积就是它们的最大公因数。
42．【答案】解：3和4的公倍数是3×4=12，
12的倍数有：12、24、36、48、60……
40~50之间是数是48，
所以，同学们制作的小蛋糕有48个。
【解析】【分析】先求出3和4的公倍数，然后找出40~50之间公倍数的倍数即可。
43．【答案】解：因为480=16×30
由此可知，两个数除以16得到的商的乘积等于30
又30=2×15=3×10=5×6
所以这两个数是：5×16=80和6×16=96
答：这两个数是80和96。
【解析】【分析】最大公约数和最小公倍数之间的关系：对于两个数，它们的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积，利用这个关系，结合题目给出的条件，逐步求解出这两个数。
44．【答案】解：96÷8=12(秒)
96÷6=16(秒)
96÷4=24(秒)
12，16和24的最小公倍数是48
答：至少经过48秒，三人再次从原出发点同时出发
【解析】【分析】先计算出甲、乙、丙三人各自完成一圈所需的时间，然后找到这三个时间的最小公倍数，该最小公倍数即为三人再次从原出发点同时出发所需的最短时间。
45．【答案】解：5×7=35cm
5和7的最小公倍数是35
35÷5=7(段)
35÷7=5(段)
7+5=12(段)
答：切成的这两种小段至少共有12段。
【解析】【分析】先找到5和7的最小公倍数来确定两根长条切割成小段的数量，从而得出总的小段数量。
46．【答案】解：24=2×2×2×3
16=2×2×2×2
2×2×2×2×3=48
16和24的最小公倍数是48
48×2=96(个)
答：这些浙式月饼至少有96个。
【解析】【分析】无论是平均分给24个小朋友还是平均分给16个小朋友，月饼都能正好分完，说明月饼的总数是24和16的公倍数。先找到24和16的最小公倍数，并确定这个数正好在90和100之间的范围内即可得到答案。
47．【答案】（1）解：因为48=6×8，16=2×8
48－16=6×8－2×8=（6－2）×8=4×8。
所以48和16的差是8的倍数。
答：48和16的差是8的倍数。
（2）倍数
（3）解：
猜想：a×b还是c的倍数。 验证：48、16都是8的倍数，48×16=(6×8)×(2×8)=(6×8×2)×8，48×16一定是8的倍数，所以a×b 还是c的倍数。
【解析】【解答】解：（2）我发现：如果a、b（a>b）是c的倍数（a、b、c均为非零自然数），那么a+b，a-b也都是c的倍数。
故答案为：（2）倍数。
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）；据此根据题意只要找到两数的差、和、积中有这个因数，则两数的差、和、积就都是这个数的倍数。
48．【答案】解：同时是2和3的倍数的数有6，12，18，24，30，36，42，48，54……，其中不超过50的最大的数是48，即每层放了48本；
48×4=192(本)
答：这个书架最多放了192本图书。
【解析】【分析】根据题意可知每层书架放的图书本数是50以内2和3的最大公倍数，最大公倍数×书架层数=这个书架最多放的图书本数。
49．【答案】解：4，5，6的最小公倍数是60
60×3-2=178(颗)
答： 这袋糖果共有178颗。
【解析】【分析】本题需要找出糖果数量的规律，即糖果数量加上2颗后可以被4、5、6同时整除。即4、5、6的最小公倍数减去2，最后在160~200这个范围内，找出60的倍数，然后从中减去2即可。
50．【答案】解：8=2×2×2
10=2×5
2×2×2×5=40cm
40×2=80(cm)
答： 这个长方形的长是80厘米
【解析】【分析】长方形的长必须同时是边长8cm和边长10cm的公倍数，才能被这两个尺寸的小正方形完整分割。由于长方形的长在50cm到100cm之间，找到这一范围内的公倍数，即可得到答案。