2026年人教版数学五年级下册《公因数与最大公因数》一课一练（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2026年人教版数学五年级下册《公因数与最大公因数》一课一练（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-11 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年人教版数学五年级下册《公因数与最大公因数》一课一练
一、单选题
1．A=2×3×5，B=3×5×7。A和B的最大公因数是（ ）。
A．5 B．35 C．10 D．15
2．下面说法中正确的有( )句。
①真分数一定小于1，假分数一定大于1。
②最小合数与最小质数的公因数只有1。
③一个数的倍数一定比它的因数大。
④两个合数相乘的积还是合数。
A．1 B．2 C．3D．不能确定
3．a和b是两个非0自然数，a+1=b，那么a和b的最大公因数是( )。
A．1 B．ab C．(a+1)b
4．A、B是两个非0自然数，下面式子中，一定能保证A与B的最大公因数是A的是( )。
A．A= B．+1B.A÷B=2 C．A×0.2=B D．A=B÷2
5．m和n均为大于0的自然数，且m÷n=6，则m和n的最大公因数是( )。
A．m B．n C．6 D．1
6．青团是江南地区的清明节时令点心。临近清明节，妈妈做了一些豆沙馅和莲蓉馅的青团，把18个豆沙馅的青团和24个莲蓉馅的青团分别平均分给了几家邻居，都正好分完。邻居数量不可能是( )家。
A．2 B．3 C．4 D．6
7．a和b都是非0自然数，且a÷7=b，a和b的最大公因数是( )。
A．a B．7 C．b D．1
8． 24，36和60的最大公因数是( )。
A．2 B．12 C．24 D．60
9．若甲数÷乙数=3(甲、乙均为非0自然数)，则它们的最大公因数是( )。
A．1 B．甲数 C．乙数 D．3
10．如下图，要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长是（ ）cm。
A．6 B．10 C．12 D．16
二、判断题
11．最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。( )
12．若a和b是连续的非0自然数，则a和b的最大公因数是1。 （ ）
13．a和b都是整数，a÷b=5，那么a和b的最大公因数是5。( )
14．1是所有非0自然数的公因数。
15．36和48的最大公因数是6。（ ）
16．两个数的最大公因数一定是这两个数公因数的倍数。（ ）
17．若A=5B（A和B都是非0自然数）A和B的最大公因数是5。（ ）
18．两个质数没有最大公因数。
19．两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数。
20．a=4b，那么a和b的最大公因数是a。（ ）
三、填空题
21．16的所有因数有 ； 16和20的最大公因数是 。
22． 既是9的因数，又是12的因数。
23．写出两个数使它们的最大公因数是1。
（1）一个奇数，一个偶数： 和 。
（2）一个偶数，一个合数： 和 。
（3）一个奇数，一个合数： 和 。
（4）一个偶数，一个质数： 和 。
（5）两个都是奇数： 和 。
24．将下面各分数中分子和分母的最大公因数写在横线上。
。
。
25．（1）在下表中用“△”圈出15的因数，用“ ”圈出20的因数，用“□”圈出30的因数。
（2）15和20的公因数有 ，最大公因数是 。
（3）15和30的公因数有 ，最大公因数是 。
（4）20和30的公因数有 ，最大公因数是 。
（5）15、20 和 30 的公因数有 ，最大公因数是 。
通过观察发现：几个数的公因数都是它们的最大公因数的 。
26．湿地被誉为“地球之肾”，是重要的生态系统，具有涵养水源、调节气候、维护生物多样性等多种生态功能.我国湿地面积达56.35万平方千米，占全球湿地面积的4%，满足了世界近兰人口对湿地生产、生活、生态和文化等多种需要.我国湿地中有64处国际重要湿地、29处国家重要湿地，建立了600余处湿地自然保护区、1600余处湿地公园.《湿地公约》共认定43个“国际湿地城市”，我国有l3个城市入选，数量居全球第一。
（1）从上面阅读材料提供的数据中，找出一个合数 ，把它分解成两个质数相加的形式： 。
（2） 再添上 个这样的计数单位就是最小的质数。
（3）文中出现的自然数中， 是 的倍数，它们的最大公因数是 。
27．找出下列各数中分子和分母的最大公因数，写在横线上。
。 。 。
。 。 。
28．写出下面各个分数中分子和分母的最大公因数。
29．三个连续偶数的和是66，这三个偶数是 ， ， 。 它们的最大公因数是 。
30．写出下列每组数的最大公因数，并说说你的发现。
（1）5和7 。 4和11 。
我发现：当两个数的公因数只有 时，它们的最大公因数是 。
（2）6和18 。 11和44 。
我发现：当较大数是较小数的 时，它们的最大公因数是 。
（3）4和5 。 9和10 。
6和7 。 10和11 。
我发现：当两个数是相邻的自然数时，它们的最大公因数是 。
（4）1和5 。 1和13 。
1和25 。 1和36 。
我发现：1和一个非零的自然数的最大公因数是 。
（5）根据发现，直接写出每组数的最大公因数。
5和17 。 16和4 。 1和45 。
13和19 。 9和63 。 73和74 。
四、计算题
31．求两个数的最大公因数。
12和30
12和30的最大公因数是（ ）×（ ）=（ ）。
18和27
32．求下面各组数的最大公因数。
6和18 36和54
33．求下列各组数的最大公因数。
（1）45和60
（2）25和40
34．写出下面分数中分子和分母的最大公因数。
（1）
（2）
（3）
35．求出下面每组数的最大公因数
36和48 13和19
36．求下面各组数的最大公因数
（1）36和48
（2）28，42和70
37．求出下列各组数的最大公因数。
①8和9
②12和36
③45和60
④24和40
38．求出下面每组数的最大公因数。
（1）18和54
（2）16和40
39．写出每组数的最大公因数。
12和18 72和48 78和117 23和32
40．写出下面每组数的最大公因数。
①15和25
②7和15
③22和33
④35和28
五、解决问题
41．母亲节那天，某社团计划用70枝百合和42枝玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的枝数相同，玫瑰的枝数也相同，所有的花正好全部用完，那么最多可以制作多少束花 这时每束花中百合和玫瑰各有多少枝
42．王老师买了35个苹果和42个梨，分别平均分给舞蹈队的小朋友，结果苹果多了3个，梨少了6个。舞蹈队最多有多少个小朋友
43．瓯绣是浙江省温州市的地方传统艺术。林阿姨在学习瓯绣，她从一张长40厘米、宽18厘米的长方形布料上剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长40厘米、宽2厘米的长方形小布料。这些小正方形的边长最长是多少厘米
44．城东小学围棋兴趣组有35人，书法兴趣组有42人。要把两个兴趣组的学生分别平均分成若干个小组，且每个小组的人数均相等，每个小组最多有多少人 这时两个兴趣组分别有多少个小组
45．有两根钢丝，长度分别是18米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？
46．研学一班有队员48人，研学二班有队员42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每个小组最多有几人？
47．一个房间长 450cm，宽330cm。如果用一种方砖(整块)铺满，方砖的边长最大为多少厘米？需要这样的方砖多少块？
48．新年到了，爸爸用微信给年年发了一个红包。红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，爸爸给年年发的红包可能是多少元？
49．有一块长40 dm，宽36 dm的长方形绸布，现在要把它剪成若干个大小一样的小正方形绸布，不能有剩余。所剪小正方形的边长最大是多少？可以剪成多少块？
50．五（2）班男生32人，女姓24人，课间操男、女姓分开排队，要使每排的人数相同，每排最多有几人？这时男、女生分别有几排？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A和B的最大公因数是3×5=15。
故答案为：D。
【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：①真分数一定小于1，假分数一定大于等于1。原来说法错误；
②最小合数与最小质数的公因数有1和2。原来说法错误；
③一个数的倍数可能等于它的因数。原来说法错误；
④两个合数相乘的积还是合数。正确。
故答案为：A。
【分析】①真分数分子小于分母，真分数都小于1；假分数的分子大于或等于分母，假分数大于或等于1；
②最小的合数是4，最小的质数是2，两个数的公因数有1和2；
③一个数最小的倍数是它本身，最大的因数是它本身；
④两个合数相乘的积还是合数。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：a和b是两个非0自然数，a+1=b，说明a和b是两个非0的相邻自然数，则它们互质，即它们只有公因数1，所以a和b的最大公因数是1。
故答案为：A。
【分析】相邻两个自然数相差1，且相邻两个非0自然数的最大公因数是1，它们的最小公倍数是它们的积；如24和25，24=2×2×2×3，25=5×5，所以，24和25的最大公因数是1，最小公倍数是2×2×2×3×5×5=24×25=600。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：选项A，A=B+1，则A和B是相邻非0自然数，它们的最大公因数是1；
选项B，A÷B=2，则A是B的倍数，A和B的最大公因数是B；
选项C，A×0.2=B，0.2是小数，不能用因数和倍数描述；
选项D，A=B÷2，则B是A的倍数，A和B的最大公因数是A。
故答案为：D。
【分析】存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，据此判断。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：m和n均为大于0的自然数，且m÷n=6，则m和n的最大公因数是n。
故答案为：B。
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）；一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身；
最大公因数：两个数的公因数中最大的那个公因数叫做这两个数的最大公因数；
根据题意可知：因为m÷n=6，所以n是m的因数，且n也是它本身的最大因数，即n是m和n的公因数，且是最大的公因数，所以m和n的最大公因数是n。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：妈妈将18个豆沙馅和24个莲蓉馅青团分别平均分给邻居，且刚好分完，说明邻居数量必须同时是18和24的因数。
18的因数：1， 2， 3， 6， 9， 18
24的因数：1， 2， 3， 4， 6， 8， 12， 24
18与24的公因数为：1， 2， 3， 6
故答案为：C。
【分析】要找出邻居数量不可能的选项，首先要确定18和24的最大公因数，进而分析选项中的数字是否为两者的公因数。选项中给出的邻居数量为2（A）、3（B）、4（C）、6（D）。其中4不是公因数，因此不可能。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：因为a÷7=b，即a÷b=7，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
故答案为：C。
【分析】两个非0自然数，当一个数是另一个数的倍数时，则这个数是这两个数的最小公倍数，另一个数是这两个数的最大公因数。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：24=2×2×2×3
36=2×2×3×3
60=2×2×3×5
24，36和60的最大公因数是 2×2×3=12。
故答案为：B。
【分析】先把 24，36和60 分解质因数，再把它们共有的质因数相乘即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解： 若甲数÷乙数=3(甲、乙均为非0自然数)，则它们的最大公因数是 乙数。
故答案为：C。
【分析】因为甲数是乙数的3倍，根据“当两个数成倍数关系时，较小的那个数，是这两个数的最大公数因；据此进行解答即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：（60，48）=12（cm）
故答案为：C。
【分析】由题意可知，要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，则每根小棒最长的长度应为60和48的最大公因数。将60和48进行分解，得到60＝2×2×3×5，48＝2×2×2×2×3，所以得到最大公因数是2×2×3＝12，故每根小棒最长是12cm，据此解答即可。
11．【答案】正确
【解析】【解答】解：最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】最小的质数是2，最大的合数是4，由此确定他们的最大公因数即可。
12．【答案】正确
【解析】【解答】解： 若a和b是连续的非0自然数，则a和b的最大公因数是1，原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】 连续的非0自然数是指相邻的、没有0的自然数，相邻的两个非0自然数的最大公因数是1，据此判断。
13．【答案】错误
【解析】【解答】解： a和b都是整数，a÷b=5，那么a和b的最大公因数是b，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，据此判断。
14．【答案】正确
【解析】【解答】1是所有非0自然数的公因数。说法正确。
故答案为：正确
【分析】任何非0自然数都能被1整除，所以说1是所有非0自然数的公因数。
15．【答案】错误
【解析】【解答】解：
36和48的最大公因数是：2×2×3
=4×3
=12。
故答案为：错误。
【分析】用短除法求出36和48的最大公因数是12。
16．【答案】正确
【解析】【解答】 因为两个数最大公因数就是这两个数公有质因数的连乘之积，例如：A=2×2×3，B=2×3×7，A和B的最大公因数是2×3=6，6是它们公因数1、2、3、6的倍数，原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数，据此举例判断。
17．【答案】错误
【解析】【解答】解：若A=5B（A和B都是非0自然数）A和B的最大公因数是B。
故答案为：错误。
【分析】一个数是另一个数的整数倍，那么这两个数的最大公因数是较小的那个数。
18．【答案】错误
【解析】【解答】解：两个质数的最大公因数是1。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】两个质数是互质数，也就是只有公因数1，所以它们的最大公因数也是1。
19．【答案】正确
【解析】【解答】解：两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的最大公因数是这两个数所有公因数的倍数。例如12和8的公因数有1、2、4，其中最大公因数4是1和2的倍数。
20．【答案】错误
【解析】【解答】解：例如：12=4×3。12和3的最大公因数是3，而不是12。
故答案为：错误
【分析】a是b的倍数，a和b的最大公因数就是b。
21．【答案】1、2、4、8、16；4
【解析】【解答】解：16=1×16=2×8=4×4，
16的所有因数有1、2、4、8、16；
16=2×2×2×2，
20=2×2×5，
16和20的最大公因数是2×2=4。
故答案为：1、2、4、8、16；4。
【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数；
用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
22．【答案】3
【解析】【解答】解： 9的因数有1、3、9；
12的因数有1、2、3、4、6、12；
3既是9的因数，又是12的因数。
故答案为：3。
【分析】此题主要考查了因数的知识，先分别列出9和12的所有因数，再找出它们的公因数，最后确定符合条件的数。
23．【答案】（1）答案不唯一，3；2
（2）答案不唯一，8；9
（3）答案不唯一，9；10
（4）答案不唯一，4；7
（5）答案不唯一，7；9
【解析】【解答】解：答案均不唯一。
（1）一个奇数，一个偶数：3和2；
（2）一个偶数，一个合数：8和9；
（3）一个奇数，一个合数：9和10；
（4）一个偶数，一个质数：4和7；
（5）两个都是奇数：7和9。
故答案为：（1）答案不唯一，3，2；（2）答案不唯一，8，9；（3）答案不唯一，9，10；（4）答案不唯一，4，7；（5）答案不唯一，7，9。
【分析】根据质数、合数、互质数的意义，一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数；1既不是质数也不是合数；公因数只有1的两个数叫作互质数；由此解答。
24．【答案】3；12；1；5；8；13
【解析】【解答】解：6=3×2
9=3×3
分子和分母的最大公因数是3。
分子和分母的最大公因数是12。
分子和分母的最大公因数是1。
15=3×5
20=4×5
分子和分母的最大公因数是5。
32=2×2×2×2×2
24=2×2×2×3
分子和分母的最大公因数是2×2×2=8。
分子和分母的最大公因数是13。
故答案为：3；12；1；5；8；13。
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数；
存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数。
互质的两个数的最大公因数是1。据此解答。
25．【答案】（1）
（2）1，5；5
（3）1，3，5，15；15
（4）1，2，5，10；10
（5）1，5；5；因数
【解析】【解答】解：如图：
（1）15和20的公因数有1、5，最大公因数是5；
（2）15和30的公因数有1、3、5、15，最大公因数是15；
（3）20和30的公因数有1、2、5、10，最大公因数是10；
（4）15、20 和 30 的公因数有1、5，最大公因数是5；
通过观察发现：几个数的公因数都是它们的最大公因数的因数。
故答案为：（2）1，5，5；（3）1，3，5，15，15；（4）1，2，5，10，10；（5）1，5，5，因数。
【分析】 在表中找出15、20和30的因数，再根据表中的数据进行解答。得出结论：几个数的公因数都是它们的最大公因数的因数。
26．【答案】（1）64；64=53+11
（2）9
（3）1600；64；64
【解析】【解答】解：（1）上面阅读材料提供的数据中，找出一个合数是64，把它分解成两个质数相加的形式是64=53+11；
（2）2=，所以再添上9个这样的计数单位就是最小的质数。
（3）文中出现的自然数中，1600是64的倍数，它们的最大公因数是64。
故答案为：（1）64；64=53+11；（2）9；（3）1600；64；64。
【分析】（1）合数有64、600、1600，选择一个能分成两个质数相加形式的合数即可；
（2）从这几个自然数中找出一个数是另一个数的倍数，其中较小的数就是它们的最大公因数。
27．【答案】3；8；4；7；1；11
【解析】【解答】 解：1. 对于分数 ，分子为9，分母为12。进行质因数分解，得 9 = 3 × 3 和 12 = 2 × 2 × 3 ，共同的质因数是3，因此最大公因数为3。
2. 对于分数，分子为8，分母为24。由于8是24的因数，因此最大公因数为8。
3. 对于分数 ，分子为12，分母为32。进行质因数分解，得 12 = 2 × 2 × 3 和 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ，共同的质因数是 2 × 2 = 4 ，因此最大公因数为4。
4. 对于分数 ，分子为14，分母为35。进行质因数分解，得 14 = 2 × 7 和 35 = 5 × 7 ，共同的质因数是7，因此最大公因数为7。
5. 对于分数 ，分子为5，分母为7。5和7是互质数，因此最大公因数为1。
6. 对于分数 ，分子为22，分母为55。进行质因数分解，得 22 = 2 × 11 和 55 = 5 × 11 ，共同的质因数是11，因此最大公因数为11。
故答案为：3；8；4；7；1；11
【分析】 找出给定分数中分子和分母的最大公因数。 通过对它们进行分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数。当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数；当两个数互质时，最大公因数为1。
28．【答案】5；6；1；8；17；9
【解析】【解答】解：15=3×5
35=5×7
，即15和35的最大公因数是5。
42=2×3×7
60=2×2×3×5
，即42和60的最大公因数是2×3=6。
2和5互质， ，即2和5的最大公因数是1。
32=2×2×2×2×2
56=2×2×2×7
，即32和56的最大公因数是2×2×2=8。
51÷17=3
，即17和51的最大公因数是17。
45=3×3×5
81=3×3×3×3
，即45和81的最大公因数是3×3=9。
故答案为：5；6；1；8；17；9。
【分析】先把分子和分母分解质因数，两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数；如果两个数互质，则它们的最大公因数是1。
29．【答案】20；22；24；2
【解析】【解答】解：中间的偶数：66÷3=22
最小的偶数：22-2=20
最大的偶数：22+2=24
20=2×2×5，22=2×11，24=2×2×2×3
所以20、22、24的最大公因数是2。
故答案为：20、22、24、2。
【分析】因为是三个连续偶数，所以后一个偶数比前一个偶数多2，和是中间偶数的三倍，则三个连续偶数的和÷3=中间的偶数，然后求出另外两个偶数即可；最后分解质因数即可计算出最大公因数。
30．【答案】（1）1；1；1；1
（2）6；11；倍数；较小数
（3）1；1；1；1；1
（4）1；1；1；1；1
（5）1；4；1；1；9；1
【解析】【解答】解： （1）5和7的最大公因数是1。4和11的最大公因数也是1。我发现：当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数是1。
（2） 6和18的最大公因数是6。11和44的最大公因数是11。我发现：当较大数是较小数的倍数时，它们的最大公因数是较小数。
（3） 4和5的最大公因数是1。9和10的最大公因数是1。6和7的最大公因数是1。10和11的最大公因数是1。我发现：当两个数是相邻的自然数时，它们的最大公因数是1。
（4） 1和5的最大公因数是1。1和13的最大公因数是1。1和25的最大公因数是1。1和36的最大公因数是1。我发现：1和一个非零的自然数的最大公因数是1。
（5） 5和17的最大公因数是1。
16和4的最大公因数是4。
1和45的最大公因数是1。
13和19的最大公因数是1。
9和63的最大公因数是9。
73和74的最大公因数是1。
故答案为：（1）1；1；1；1
（2）6；11；倍数；较小数
（3）1；1；1；1；1
（4）1；1；1；1；1
（5）1；4；1；1；9；1
【分析】当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数；当两个数互质时，最大公因数为1。
31．【答案】2 3 6
18和27的最大公因数是3×3=9。
【解析】【分析】在短除法中，左侧的数都是两个数公有的质因数，要除到两个商互质时为止，然后只需把两个数全部公有的质因数相乘，就能得到两个数的最大公因数。
32．【答案】解：6和18
6和18时倍数关系，
所以较小的数6就是它们的最大公因数；
36和54
36=2×2×3×3；
54=2×3×3×3；
36和54的最大公因数为：2×3×3=18。
【解析】【分析】求几个数最大公因数的方法是：这几个数的公有的质因数的乘积就是这几个数的最大公因数。其中，如果较小的数是较大的数的因数，那么较小的数就是较大数的最大公因数。
33．【答案】（1）解：45=3×3×5
60=2×2×3×5
45和60的最大公因数是：3×5=15。
（2）解：25=5×5
40=2×2×2×5
所以25和40的最大公因数是5。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘即可求出它们的最大公因数。
34．【答案】（1）解：36＝2×2×3×3
40＝2×2×2×5
所以36和40的最大公因数是2×2＝4
（2）解：因为65÷13＝5，所以13和65的最大公因数是13
（3）解：因为8和21互质，所以8和21的最大公因数是1。
【解析】【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数不是以上关系时，用分解质因数的方法求出两个数的最大公因数。
35．【答案】解：
36和48的最大公因数是：
2×2×3
=4×3
=12；
13和19的最大公因数是1。
【解析】【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数。
36．【答案】（1）解：
36和48的最大公因数是：2×2×3
=4×3
=12
（2）解：
28，42和70的最大公因数是：
2×7=14
【解析】【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数。
37．【答案】解：① 8和9的最大公因数是1；
②12和36的最大公因数是12；
③
45和60的最大公因数是：
3×5=15
④
24和40的最大公因数是：
2×2×2
=4×2
=8
【解析】【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数。
38．【答案】（1）解：18的因数： 1、2、3、6、9、18
54的因数： 1、2、3、6、9、18、 27、54
18和54的最大公因数是18。
（2）解：16的因数：1、2、4、8、16
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40
16和40的最大公因数是8。
【解析】【分析】求一个数因数的方法：利用乘法算式，两个整数相乘得出积。这时，两个整数都是积的因数。找时按从小到大的顺序一组一组地找；
几个数它们公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的因数，叫做它们的最大公因数。
39．【答案】解：12=2×2×3，18=2×3×3，12和18的最大公因数是2×3=6；
72=2×2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，72和48的最大公因数是2×2×2×3=24；
78=2×3×13，117=3×3×13，78和117的最大公因数是3×13=39；
23的因数是1和23，所以23和32的最大公因数是1。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘即可求出它们的最大公因数。
40．【答案】解：①15=3×5，25=5×5，
15和25的最大公因数是5；
②7和15是互质数，
7和15的最大公因数是1；
③22=2×11，33=3×11，
22和33的最大公因数是11；
④35=5×7，28=4×7，
35和28的最大公因数是7。
【解析】【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘；两个数是互质数，最大公因数是1。
41．【答案】解：70和42的最大公因数是14
百合：70÷14=5(枝)
玫瑰：42÷14=3(枝)
答：最多可以制作14束花，这时每束花中百合有5枝，玫瑰有3枝·
【解析】【分析】本题主要考查最大公约数的应用，首先，计算70和42的最大公约数，以确定花束的最大数量，进而求出每束花中百合和玫瑰的具体数量。
42．【答案】解：35-3=32(个)
42+6=48(个)
32和48的最大公因数是16
答：舞蹈队最多有16个小朋友
【解析】【分析】本题考查最大公因数的应用。关键在于理解苹果和梨的数量与学生人数之间的关系，即学生人数应同时能被调整后的苹果和梨的数量整除。通过求解32和48这两个数的最大公因数，可以找到最多的学生人数。
43．【答案】解：18-2=16(厘米)
40和16的最大公因数是8
答：这些小正方形的边长最长是8厘米
【解析】【分析】先确定剪下的小正方形的最大可能边长，再计算剩余布料的宽度，最后求解40和16的最大公因数即可得到答案。
44．【答案】解：35和42的最大公因数是7
每个小组最多有7人围棋兴趣组：35÷7=5(个)
书法兴趣组：42÷7=6(个)
答：每个小组最多有7人；围棋兴趣组有5个小组，书法兴趣组有6个小组。
【解析】【分析】先找到两个兴趣组人数的最大公因数，确定每个小组的最大人数，再计算出每个兴趣组可以平均分成多少个小组。
45．【答案】解：18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是：2×3＝6。
18÷6＋24÷6
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。
【解析】【分析】用分解质因数的方法，求出18和24的最大公因数是6，则每小段最长的长度是6米；一共可以截的段数=其中一根钢丝的长度÷每小段最长的长度＋另一根钢丝的长度÷每小段最长的长度。
46．【答案】解：
48和42的最大公因数是：2×3=6
答：每个小组最多有6人。
【解析】【分析】每个小组最多的人数=48和42的最大公因数，用短除法求出。
47．【答案】解：450=2×3×3×5× 5
330=2×3×5×11
450和330的最大公因数为2×3×5=30。
（450÷30）×（330÷30）
=15×11
=165（块）
答：方砖的边长最大为30cm，需要这样的方砖165 块。
【解析】【分析】方砖的边长一定是450和330的公因数，因此求出450和300的最大公因数就是方砖的最大边长。用房间的长宽分别除以方砖的边长，把两个商相乘即可求出需要方砖的数量。
48．【答案】解：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54；
共同的因数有1、2、3、6。
答：爸爸给年年发的红包可能是1元、2元、3元、6元。
【解析】【分析】本题是求48和54的公因数，首先分别求出它们的因数，再找出共同的部分，即可得出答案。
49．【答案】解：40=2×2×2×5，36=2×2×3×3，
40和36的最大公因数是2×2=4，
（40÷4）÷（36÷4）
=10×9
=90（块）
答：所剪小正方形的边长最大是4分米，可以剪成90块。
【解析】【分析】40和36的最大公因数是正方形最长的边长，长方形的长÷40和36的最大公因数=长能剪成的张数，长方形的宽÷40和36的最大公因数=宽能剪成的张数，长能剪成的张数×宽能剪成的张数=一共能剪成的张数。
50．【答案】解：32=2×2×2×2×2
24=2×2×2×3
所以32和24的最大公因数是8。
男生：32÷8=4（排）
女生：24÷8=3（排）
答：每排最多有8人，这时男、女分别有4排，3排。
【解析】【分析】每排最多有几人就是求32和24的最大公因数8，男生的排数等于男生数除以8，女生的排数等于女生数除以8。
一、单选题
1．A=2×3×5，B=3×5×7。A和B的最大公因数是（ ）。
A．5 B．35 C．10 D．15
2．下面说法中正确的有( )句。
①真分数一定小于1，假分数一定大于1。
②最小合数与最小质数的公因数只有1。
③一个数的倍数一定比它的因数大。
④两个合数相乘的积还是合数。
A．1 B．2 C．3D．不能确定
3．a和b是两个非0自然数，a+1=b，那么a和b的最大公因数是( )。
A．1 B．ab C．(a+1)b
4．A、B是两个非0自然数，下面式子中，一定能保证A与B的最大公因数是A的是( )。
A．A= B．+1B.A÷B=2 C．A×0.2=B D．A=B÷2
5．m和n均为大于0的自然数，且m÷n=6，则m和n的最大公因数是( )。
A．m B．n C．6 D．1
6．青团是江南地区的清明节时令点心。临近清明节，妈妈做了一些豆沙馅和莲蓉馅的青团，把18个豆沙馅的青团和24个莲蓉馅的青团分别平均分给了几家邻居，都正好分完。邻居数量不可能是( )家。
A．2 B．3 C．4 D．6
7．a和b都是非0自然数，且a÷7=b，a和b的最大公因数是( )。
A．a B．7 C．b D．1
8． 24，36和60的最大公因数是( )。
A．2 B．12 C．24 D．60
9．若甲数÷乙数=3(甲、乙均为非0自然数)，则它们的最大公因数是( )。
A．1 B．甲数 C．乙数 D．3
10．如下图，要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长是（ ）cm。
A．6 B．10 C．12 D．16
二、判断题
11．最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。( )
12．若a和b是连续的非0自然数，则a和b的最大公因数是1。 （ ）
13．a和b都是整数，a÷b=5，那么a和b的最大公因数是5。( )
14．1是所有非0自然数的公因数。
15．36和48的最大公因数是6。（ ）
16．两个数的最大公因数一定是这两个数公因数的倍数。（ ）
17．若A=5B（A和B都是非0自然数）A和B的最大公因数是5。（ ）
18．两个质数没有最大公因数。
19．两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数。
20．a=4b，那么a和b的最大公因数是a。（ ）
三、填空题
21．16的所有因数有 ； 16和20的最大公因数是 。
22． 既是9的因数，又是12的因数。
23．写出两个数使它们的最大公因数是1。
（1）一个奇数，一个偶数： 和 。
（2）一个偶数，一个合数： 和 。
（3）一个奇数，一个合数： 和 。
（4）一个偶数，一个质数： 和 。
（5）两个都是奇数： 和 。
24．将下面各分数中分子和分母的最大公因数写在横线上。
。
。
25．（1）在下表中用“△”圈出15的因数，用“ ”圈出20的因数，用“□”圈出30的因数。
（2）15和20的公因数有 ，最大公因数是 。
（3）15和30的公因数有 ，最大公因数是 。
（4）20和30的公因数有 ，最大公因数是 。
（5）15、20 和 30 的公因数有 ，最大公因数是 。
通过观察发现：几个数的公因数都是它们的最大公因数的 。
26．湿地被誉为“地球之肾”，是重要的生态系统，具有涵养水源、调节气候、维护生物多样性等多种生态功能.我国湿地面积达56.35万平方千米，占全球湿地面积的4%，满足了世界近兰人口对湿地生产、生活、生态和文化等多种需要.我国湿地中有64处国际重要湿地、29处国家重要湿地，建立了600余处湿地自然保护区、1600余处湿地公园.《湿地公约》共认定43个“国际湿地城市”，我国有l3个城市入选，数量居全球第一。
（1）从上面阅读材料提供的数据中，找出一个合数 ，把它分解成两个质数相加的形式： 。
（2） 再添上 个这样的计数单位就是最小的质数。
（3）文中出现的自然数中， 是 的倍数，它们的最大公因数是 。
27．找出下列各数中分子和分母的最大公因数，写在横线上。
。 。 。
。 。 。
28．写出下面各个分数中分子和分母的最大公因数。
29．三个连续偶数的和是66，这三个偶数是 ， ， 。 它们的最大公因数是 。
30．写出下列每组数的最大公因数，并说说你的发现。
（1）5和7 。 4和11 。
我发现：当两个数的公因数只有 时，它们的最大公因数是 。
（2）6和18 。 11和44 。
我发现：当较大数是较小数的 时，它们的最大公因数是 。
（3）4和5 。 9和10 。
6和7 。 10和11 。
我发现：当两个数是相邻的自然数时，它们的最大公因数是 。
（4）1和5 。 1和13 。
1和25 。 1和36 。
我发现：1和一个非零的自然数的最大公因数是 。
（5）根据发现，直接写出每组数的最大公因数。
5和17 。 16和4 。 1和45 。
13和19 。 9和63 。 73和74 。
四、计算题
31．求两个数的最大公因数。
12和30
12和30的最大公因数是（ ）×（ ）=（ ）。
18和27
32．求下面各组数的最大公因数。
6和18 36和54
33．求下列各组数的最大公因数。
（1）45和60
（2）25和40
34．写出下面分数中分子和分母的最大公因数。
（1）
（2）
（3）
35．求出下面每组数的最大公因数
36和48 13和19
36．求下面各组数的最大公因数
（1）36和48
（2）28，42和70
37．求出下列各组数的最大公因数。
①8和9
②12和36
③45和60
④24和40
38．求出下面每组数的最大公因数。
（1）18和54
（2）16和40
39．写出每组数的最大公因数。
12和18 72和48 78和117 23和32
40．写出下面每组数的最大公因数。
①15和25
②7和15
③22和33
④35和28
五、解决问题
41．母亲节那天，某社团计划用70枝百合和42枝玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的枝数相同，玫瑰的枝数也相同，所有的花正好全部用完，那么最多可以制作多少束花 这时每束花中百合和玫瑰各有多少枝
42．王老师买了35个苹果和42个梨，分别平均分给舞蹈队的小朋友，结果苹果多了3个，梨少了6个。舞蹈队最多有多少个小朋友
43．瓯绣是浙江省温州市的地方传统艺术。林阿姨在学习瓯绣，她从一张长40厘米、宽18厘米的长方形布料上剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长40厘米、宽2厘米的长方形小布料。这些小正方形的边长最长是多少厘米
44．城东小学围棋兴趣组有35人，书法兴趣组有42人。要把两个兴趣组的学生分别平均分成若干个小组，且每个小组的人数均相等，每个小组最多有多少人 这时两个兴趣组分别有多少个小组
45．有两根钢丝，长度分别是18米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？
46．研学一班有队员48人，研学二班有队员42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每个小组最多有几人？
47．一个房间长 450cm，宽330cm。如果用一种方砖(整块)铺满，方砖的边长最大为多少厘米？需要这样的方砖多少块？
48．新年到了，爸爸用微信给年年发了一个红包。红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，爸爸给年年发的红包可能是多少元？
49．有一块长40 dm，宽36 dm的长方形绸布，现在要把它剪成若干个大小一样的小正方形绸布，不能有剩余。所剪小正方形的边长最大是多少？可以剪成多少块？
50．五（2）班男生32人，女姓24人，课间操男、女姓分开排队，要使每排的人数相同，每排最多有几人？这时男、女生分别有几排？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A和B的最大公因数是3×5=15。
故答案为：D。
【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：①真分数一定小于1，假分数一定大于等于1。原来说法错误；
②最小合数与最小质数的公因数有1和2。原来说法错误；
③一个数的倍数可能等于它的因数。原来说法错误；
④两个合数相乘的积还是合数。正确。
故答案为：A。
【分析】①真分数分子小于分母，真分数都小于1；假分数的分子大于或等于分母，假分数大于或等于1；
②最小的合数是4，最小的质数是2，两个数的公因数有1和2；
③一个数最小的倍数是它本身，最大的因数是它本身；
④两个合数相乘的积还是合数。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：a和b是两个非0自然数，a+1=b，说明a和b是两个非0的相邻自然数，则它们互质，即它们只有公因数1，所以a和b的最大公因数是1。
故答案为：A。
【分析】相邻两个自然数相差1，且相邻两个非0自然数的最大公因数是1，它们的最小公倍数是它们的积；如24和25，24=2×2×2×3，25=5×5，所以，24和25的最大公因数是1，最小公倍数是2×2×2×3×5×5=24×25=600。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：选项A，A=B+1，则A和B是相邻非0自然数，它们的最大公因数是1；
选项B，A÷B=2，则A是B的倍数，A和B的最大公因数是B；
选项C，A×0.2=B，0.2是小数，不能用因数和倍数描述；
选项D，A=B÷2，则B是A的倍数，A和B的最大公因数是A。
故答案为：D。
【分析】存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，据此判断。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：m和n均为大于0的自然数，且m÷n=6，则m和n的最大公因数是n。
故答案为：B。
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）；一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身；
最大公因数：两个数的公因数中最大的那个公因数叫做这两个数的最大公因数；
根据题意可知：因为m÷n=6，所以n是m的因数，且n也是它本身的最大因数，即n是m和n的公因数，且是最大的公因数，所以m和n的最大公因数是n。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：妈妈将18个豆沙馅和24个莲蓉馅青团分别平均分给邻居，且刚好分完，说明邻居数量必须同时是18和24的因数。
18的因数：1， 2， 3， 6， 9， 18
24的因数：1， 2， 3， 4， 6， 8， 12， 24
18与24的公因数为：1， 2， 3， 6
故答案为：C。
【分析】要找出邻居数量不可能的选项，首先要确定18和24的最大公因数，进而分析选项中的数字是否为两者的公因数。选项中给出的邻居数量为2（A）、3（B）、4（C）、6（D）。其中4不是公因数，因此不可能。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：因为a÷7=b，即a÷b=7，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
故答案为：C。
【分析】两个非0自然数，当一个数是另一个数的倍数时，则这个数是这两个数的最小公倍数，另一个数是这两个数的最大公因数。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：24=2×2×2×3
36=2×2×3×3
60=2×2×3×5
24，36和60的最大公因数是 2×2×3=12。
故答案为：B。
【分析】先把 24，36和60 分解质因数，再把它们共有的质因数相乘即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解： 若甲数÷乙数=3(甲、乙均为非0自然数)，则它们的最大公因数是 乙数。
故答案为：C。
【分析】因为甲数是乙数的3倍，根据“当两个数成倍数关系时，较小的那个数，是这两个数的最大公数因；据此进行解答即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：（60，48）=12（cm）
故答案为：C。
【分析】由题意可知，要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，则每根小棒最长的长度应为60和48的最大公因数。将60和48进行分解，得到60＝2×2×3×5，48＝2×2×2×2×3，所以得到最大公因数是2×2×3＝12，故每根小棒最长是12cm，据此解答即可。
11．【答案】正确
【解析】【解答】解：最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】最小的质数是2，最大的合数是4，由此确定他们的最大公因数即可。
12．【答案】正确
【解析】【解答】解： 若a和b是连续的非0自然数，则a和b的最大公因数是1，原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】 连续的非0自然数是指相邻的、没有0的自然数，相邻的两个非0自然数的最大公因数是1，据此判断。
13．【答案】错误
【解析】【解答】解： a和b都是整数，a÷b=5，那么a和b的最大公因数是b，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，据此判断。
14．【答案】正确
【解析】【解答】1是所有非0自然数的公因数。说法正确。
故答案为：正确
【分析】任何非0自然数都能被1整除，所以说1是所有非0自然数的公因数。
15．【答案】错误
【解析】【解答】解：
36和48的最大公因数是：2×2×3
=4×3
=12。
故答案为：错误。
【分析】用短除法求出36和48的最大公因数是12。
16．【答案】正确
【解析】【解答】 因为两个数最大公因数就是这两个数公有质因数的连乘之积，例如：A=2×2×3，B=2×3×7，A和B的最大公因数是2×3=6，6是它们公因数1、2、3、6的倍数，原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数，据此举例判断。
17．【答案】错误
【解析】【解答】解：若A=5B（A和B都是非0自然数）A和B的最大公因数是B。
故答案为：错误。
【分析】一个数是另一个数的整数倍，那么这两个数的最大公因数是较小的那个数。
18．【答案】错误
【解析】【解答】解：两个质数的最大公因数是1。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】两个质数是互质数，也就是只有公因数1，所以它们的最大公因数也是1。
19．【答案】正确
【解析】【解答】解：两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】两个数的最大公因数是这两个数所有公因数的倍数。例如12和8的公因数有1、2、4，其中最大公因数4是1和2的倍数。
20．【答案】错误
【解析】【解答】解：例如：12=4×3。12和3的最大公因数是3，而不是12。
故答案为：错误
【分析】a是b的倍数，a和b的最大公因数就是b。
21．【答案】1、2、4、8、16；4
【解析】【解答】解：16=1×16=2×8=4×4，
16的所有因数有1、2、4、8、16；
16=2×2×2×2，
20=2×2×5，
16和20的最大公因数是2×2=4。
故答案为：1、2、4、8、16；4。
【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数；
用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
22．【答案】3
【解析】【解答】解： 9的因数有1、3、9；
12的因数有1、2、3、4、6、12；
3既是9的因数，又是12的因数。
故答案为：3。
【分析】此题主要考查了因数的知识，先分别列出9和12的所有因数，再找出它们的公因数，最后确定符合条件的数。
23．【答案】（1）答案不唯一，3；2
（2）答案不唯一，8；9
（3）答案不唯一，9；10
（4）答案不唯一，4；7
（5）答案不唯一，7；9
【解析】【解答】解：答案均不唯一。
（1）一个奇数，一个偶数：3和2；
（2）一个偶数，一个合数：8和9；
（3）一个奇数，一个合数：9和10；
（4）一个偶数，一个质数：4和7；
（5）两个都是奇数：7和9。
故答案为：（1）答案不唯一，3，2；（2）答案不唯一，8，9；（3）答案不唯一，9，10；（4）答案不唯一，4，7；（5）答案不唯一，7，9。
【分析】根据质数、合数、互质数的意义，一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数；1既不是质数也不是合数；公因数只有1的两个数叫作互质数；由此解答。
24．【答案】3；12；1；5；8；13
【解析】【解答】解：6=3×2
9=3×3
分子和分母的最大公因数是3。
分子和分母的最大公因数是12。
分子和分母的最大公因数是1。
15=3×5
20=4×5
分子和分母的最大公因数是5。
32=2×2×2×2×2
24=2×2×2×3
分子和分母的最大公因数是2×2×2=8。
分子和分母的最大公因数是13。
故答案为：3；12；1；5；8；13。
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数；
存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数。
互质的两个数的最大公因数是1。据此解答。
25．【答案】（1）
（2）1，5；5
（3）1，3，5，15；15
（4）1，2，5，10；10
（5）1，5；5；因数
【解析】【解答】解：如图：
（1）15和20的公因数有1、5，最大公因数是5；
（2）15和30的公因数有1、3、5、15，最大公因数是15；
（3）20和30的公因数有1、2、5、10，最大公因数是10；
（4）15、20 和 30 的公因数有1、5，最大公因数是5；
通过观察发现：几个数的公因数都是它们的最大公因数的因数。
故答案为：（2）1，5，5；（3）1，3，5，15，15；（4）1，2，5，10，10；（5）1，5，5，因数。
【分析】 在表中找出15、20和30的因数，再根据表中的数据进行解答。得出结论：几个数的公因数都是它们的最大公因数的因数。
26．【答案】（1）64；64=53+11
（2）9
（3）1600；64；64
【解析】【解答】解：（1）上面阅读材料提供的数据中，找出一个合数是64，把它分解成两个质数相加的形式是64=53+11；
（2）2=，所以再添上9个这样的计数单位就是最小的质数。
（3）文中出现的自然数中，1600是64的倍数，它们的最大公因数是64。
故答案为：（1）64；64=53+11；（2）9；（3）1600；64；64。
【分析】（1）合数有64、600、1600，选择一个能分成两个质数相加形式的合数即可；
（2）从这几个自然数中找出一个数是另一个数的倍数，其中较小的数就是它们的最大公因数。
27．【答案】3；8；4；7；1；11
【解析】【解答】 解：1. 对于分数 ，分子为9，分母为12。进行质因数分解，得 9 = 3 × 3 和 12 = 2 × 2 × 3 ，共同的质因数是3，因此最大公因数为3。
2. 对于分数，分子为8，分母为24。由于8是24的因数，因此最大公因数为8。
3. 对于分数 ，分子为12，分母为32。进行质因数分解，得 12 = 2 × 2 × 3 和 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ，共同的质因数是 2 × 2 = 4 ，因此最大公因数为4。
4. 对于分数 ，分子为14，分母为35。进行质因数分解，得 14 = 2 × 7 和 35 = 5 × 7 ，共同的质因数是7，因此最大公因数为7。
5. 对于分数 ，分子为5，分母为7。5和7是互质数，因此最大公因数为1。
6. 对于分数 ，分子为22，分母为55。进行质因数分解，得 22 = 2 × 11 和 55 = 5 × 11 ，共同的质因数是11，因此最大公因数为11。
故答案为：3；8；4；7；1；11
【分析】 找出给定分数中分子和分母的最大公因数。 通过对它们进行分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数。当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数；当两个数互质时，最大公因数为1。
28．【答案】5；6；1；8；17；9
【解析】【解答】解：15=3×5
35=5×7
，即15和35的最大公因数是5。
42=2×3×7
60=2×2×3×5
，即42和60的最大公因数是2×3=6。
2和5互质， ，即2和5的最大公因数是1。
32=2×2×2×2×2
56=2×2×2×7
，即32和56的最大公因数是2×2×2=8。
51÷17=3
，即17和51的最大公因数是17。
45=3×3×5
81=3×3×3×3
，即45和81的最大公因数是3×3=9。
故答案为：5；6；1；8；17；9。
【分析】先把分子和分母分解质因数，两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数；如果两个数互质，则它们的最大公因数是1。
29．【答案】20；22；24；2
【解析】【解答】解：中间的偶数：66÷3=22
最小的偶数：22-2=20
最大的偶数：22+2=24
20=2×2×5，22=2×11，24=2×2×2×3
所以20、22、24的最大公因数是2。
故答案为：20、22、24、2。
【分析】因为是三个连续偶数，所以后一个偶数比前一个偶数多2，和是中间偶数的三倍，则三个连续偶数的和÷3=中间的偶数，然后求出另外两个偶数即可；最后分解质因数即可计算出最大公因数。
30．【答案】（1）1；1；1；1
（2）6；11；倍数；较小数
（3）1；1；1；1；1
（4）1；1；1；1；1
（5）1；4；1；1；9；1
【解析】【解答】解： （1）5和7的最大公因数是1。4和11的最大公因数也是1。我发现：当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数是1。
（2） 6和18的最大公因数是6。11和44的最大公因数是11。我发现：当较大数是较小数的倍数时，它们的最大公因数是较小数。
（3） 4和5的最大公因数是1。9和10的最大公因数是1。6和7的最大公因数是1。10和11的最大公因数是1。我发现：当两个数是相邻的自然数时，它们的最大公因数是1。
（4） 1和5的最大公因数是1。1和13的最大公因数是1。1和25的最大公因数是1。1和36的最大公因数是1。我发现：1和一个非零的自然数的最大公因数是1。
（5） 5和17的最大公因数是1。
16和4的最大公因数是4。
1和45的最大公因数是1。
13和19的最大公因数是1。
9和63的最大公因数是9。
73和74的最大公因数是1。
故答案为：（1）1；1；1；1
（2）6；11；倍数；较小数
（3）1；1；1；1；1
（4）1；1；1；1；1
（5）1；4；1；1；9；1
【分析】当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数；当两个数互质时，最大公因数为1。
31．【答案】2 3 6
18和27的最大公因数是3×3=9。
【解析】【分析】在短除法中，左侧的数都是两个数公有的质因数，要除到两个商互质时为止，然后只需把两个数全部公有的质因数相乘，就能得到两个数的最大公因数。
32．【答案】解：6和18
6和18时倍数关系，
所以较小的数6就是它们的最大公因数；
36和54
36=2×2×3×3；
54=2×3×3×3；
36和54的最大公因数为：2×3×3=18。
【解析】【分析】求几个数最大公因数的方法是：这几个数的公有的质因数的乘积就是这几个数的最大公因数。其中，如果较小的数是较大的数的因数，那么较小的数就是较大数的最大公因数。
33．【答案】（1）解：45=3×3×5
60=2×2×3×5
45和60的最大公因数是：3×5=15。
（2）解：25=5×5
40=2×2×2×5
所以25和40的最大公因数是5。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘即可求出它们的最大公因数。
34．【答案】（1）解：36＝2×2×3×3
40＝2×2×2×5
所以36和40的最大公因数是2×2＝4
（2）解：因为65÷13＝5，所以13和65的最大公因数是13
（3）解：因为8和21互质，所以8和21的最大公因数是1。
【解析】【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数不是以上关系时，用分解质因数的方法求出两个数的最大公因数。
35．【答案】解：
36和48的最大公因数是：
2×2×3
=4×3
=12；
13和19的最大公因数是1。
【解析】【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数。
36．【答案】（1）解：
36和48的最大公因数是：2×2×3
=4×3
=12
（2）解：
28，42和70的最大公因数是：
2×7=14
【解析】【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数。
37．【答案】解：① 8和9的最大公因数是1；
②12和36的最大公因数是12；
③
45和60的最大公因数是：
3×5=15
④
24和40的最大公因数是：
2×2×2
=4×2
=8
【解析】【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1；当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数。
38．【答案】（1）解：18的因数： 1、2、3、6、9、18
54的因数： 1、2、3、6、9、18、 27、54
18和54的最大公因数是18。
（2）解：16的因数：1、2、4、8、16
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40
16和40的最大公因数是8。
【解析】【分析】求一个数因数的方法：利用乘法算式，两个整数相乘得出积。这时，两个整数都是积的因数。找时按从小到大的顺序一组一组地找；
几个数它们公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的因数，叫做它们的最大公因数。
39．【答案】解：12=2×2×3，18=2×3×3，12和18的最大公因数是2×3=6；
72=2×2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，72和48的最大公因数是2×2×2×3=24；
78=2×3×13，117=3×3×13，78和117的最大公因数是3×13=39；
23的因数是1和23，所以23和32的最大公因数是1。
【解析】【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘即可求出它们的最大公因数。
40．【答案】解：①15=3×5，25=5×5，
15和25的最大公因数是5；
②7和15是互质数，
7和15的最大公因数是1；
③22=2×11，33=3×11，
22和33的最大公因数是11；
④35=5×7，28=4×7，
35和28的最大公因数是7。
【解析】【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘；两个数是互质数，最大公因数是1。
41．【答案】解：70和42的最大公因数是14
百合：70÷14=5(枝)
玫瑰：42÷14=3(枝)
答：最多可以制作14束花，这时每束花中百合有5枝，玫瑰有3枝·
【解析】【分析】本题主要考查最大公约数的应用，首先，计算70和42的最大公约数，以确定花束的最大数量，进而求出每束花中百合和玫瑰的具体数量。
42．【答案】解：35-3=32(个)
42+6=48(个)
32和48的最大公因数是16
答：舞蹈队最多有16个小朋友
【解析】【分析】本题考查最大公因数的应用。关键在于理解苹果和梨的数量与学生人数之间的关系，即学生人数应同时能被调整后的苹果和梨的数量整除。通过求解32和48这两个数的最大公因数，可以找到最多的学生人数。
43．【答案】解：18-2=16(厘米)
40和16的最大公因数是8
答：这些小正方形的边长最长是8厘米
【解析】【分析】先确定剪下的小正方形的最大可能边长，再计算剩余布料的宽度，最后求解40和16的最大公因数即可得到答案。
44．【答案】解：35和42的最大公因数是7
每个小组最多有7人围棋兴趣组：35÷7=5(个)
书法兴趣组：42÷7=6(个)
答：每个小组最多有7人；围棋兴趣组有5个小组，书法兴趣组有6个小组。
【解析】【分析】先找到两个兴趣组人数的最大公因数，确定每个小组的最大人数，再计算出每个兴趣组可以平均分成多少个小组。
45．【答案】解：18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是：2×3＝6。
18÷6＋24÷6
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。
【解析】【分析】用分解质因数的方法，求出18和24的最大公因数是6，则每小段最长的长度是6米；一共可以截的段数=其中一根钢丝的长度÷每小段最长的长度＋另一根钢丝的长度÷每小段最长的长度。
46．【答案】解：
48和42的最大公因数是：2×3=6
答：每个小组最多有6人。
【解析】【分析】每个小组最多的人数=48和42的最大公因数，用短除法求出。
47．【答案】解：450=2×3×3×5× 5
330=2×3×5×11
450和330的最大公因数为2×3×5=30。
（450÷30）×（330÷30）
=15×11
=165（块）
答：方砖的边长最大为30cm，需要这样的方砖165 块。
【解析】【分析】方砖的边长一定是450和330的公因数，因此求出450和300的最大公因数就是方砖的最大边长。用房间的长宽分别除以方砖的边长，把两个商相乘即可求出需要方砖的数量。
48．【答案】解：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54；
共同的因数有1、2、3、6。
答：爸爸给年年发的红包可能是1元、2元、3元、6元。
【解析】【分析】本题是求48和54的公因数，首先分别求出它们的因数，再找出共同的部分，即可得出答案。
49．【答案】解：40=2×2×2×5，36=2×2×3×3，
40和36的最大公因数是2×2=4，
（40÷4）÷（36÷4）
=10×9
=90（块）
答：所剪小正方形的边长最大是4分米，可以剪成90块。
【解析】【分析】40和36的最大公因数是正方形最长的边长，长方形的长÷40和36的最大公因数=长能剪成的张数，长方形的宽÷40和36的最大公因数=宽能剪成的张数，长能剪成的张数×宽能剪成的张数=一共能剪成的张数。
50．【答案】解：32=2×2×2×2×2
24=2×2×2×3
所以32和24的最大公因数是8。
男生：32÷8=4（排）
女生：24÷8=3（排）
答：每排最多有8人，这时男、女分别有4排，3排。
【解析】【分析】每排最多有几人就是求32和24的最大公因数8，男生的排数等于男生数除以8，女生的排数等于女生数除以8。