(共26张PPT)
第三单元 圆柱与圆锥
第5课时 圆柱的体积
小学数学·六年级（下）·人教版
教学目标
1.理解圆柱体积公式的推导过程，掌握圆柱体积的计算方法；能运用公式正确计算圆柱的体积，并解决相关的实际问题。
2.经历圆柱体积公式的推导过程，通过观察、操作、类比、归纳等活动，体会转化思想在数学学习中的作用，发展空间观念和逻辑推理能力。
3.在探究过程中感受数学知识的内在联系，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣；培养主动探究、合作交流的意识和习惯。
教学重难点
1.教学重点
掌握圆柱体积的计算公式，并能熟练运用公式解决实际问题。
2.教学难点
理解圆柱体积公式的推导过程，体会“化曲为直”的转化思想。
目 录
课堂导入
01
教学过程
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课堂导入
01
同学们，我们已经学过哪些立体图形的体积计算？它们的体积公式是什么？
长方体体积=底面积×高
正方体体积=棱长×棱长×棱长
长方体、正方体。
老师这里有一个圆柱形的水杯（出示教具），如果想知道这个水杯能装多少水，其实就是求什么？
那圆柱的体积该怎么计算呢？能不能像推导圆的面积公式那样，把圆柱转化成我们学过的立体图形来推导？今天我们就一起来探究圆柱的体积。
求这个圆柱的容积，也就是体积。
教学过程
02
（一） 探究圆柱体积公式的推导
我们在推导圆的面积公式时，是把圆转化成了什么图形？
近似的长方形。
那能不能把圆柱也转化成我们学过的立体图形，比如长方体？请大家拿出准备好的圆柱学具，试着动手分一分、拼一拼。
刚才大家都尝试了把圆柱进行拆分和拼接，老师这里有一个更直观的模型。
分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近长方体。
把长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？
长方体的底面积等于圆柱的底面积。
长方体的高等于圆柱的高。
长方体的体积和圆柱的体积相等，因为是同一个图形转化来的。
长方体的体积 = 底面积 × 高
圆柱的体积
底面积
高
= ×
如果用 V 表示圆柱的体积，S 表示底面积，h 表示高，那么圆柱的体积计算公式是：
V= Sh
V= Sh
如果我们知道圆柱的底面半径r和高h，又该怎么表示体积公式呢？
圆柱的底面积S=πr
所以V=πr h。
这里的“长”其实就是圆柱的什么？
（二）公式应用
“长”其实就是圆柱的高。
一根圆柱形木料，底面积为 75 cm2，长为 90 cm。它的体积是多少？
教材第24页“做一做”第1题
75×90=6750（cm ）
答：它的体积是6750立方厘米。
这道题是求什么？需要先算出什么？
挖一口圆柱形水井，地面以下的井深为10 m，底面直径为1 m。挖出的土有多少立方米？
教材第24页“做一做”第2题
分析：求挖出的土的体积，也就是圆柱水井的体积。需要先算出底面半径，再算底面积，最后算体积。
怎样解答？
挖一口圆柱形水井，地面以下的井深为10 m，底面直径为1 m。挖出的土有多少立方米？
教材第24页“做一做”第2题
r=1÷2=0.5（m）
S=πr =3.14×0.5 =0.785（m ）
V=Sh=0.785×10=7.85（m ）
答：挖出的土有7.85立方米。
课堂练习
03
1.计算下面各圆柱的体积。（单位：cm）
教材第27页“练习五”第1题
（1）V=πr2h=3.14×52×2=157（cm3）
（2）V=πr2h=3.14×（4÷2）2×2=25.12（cm3）
（3）r=8÷2=4 cm，V=πr2h=3.14×42×8=401.92 （cm3）
2.一个圆柱形油桶，底面直径是60 cm，高是90 cm，这个油桶最多可以装多少油？（数据是从油桶里面测量得到的）
r=60÷2=30 cm
V=πr2h=3.14×302×90=254340 cm3=254.34 dm3=254.34 L
答：这个油桶最多可以装254.34 L油。
教材第27页“练习五”第2题
3.学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径是4 m，高是0.8 m。如果里面填土的高度是0.5 m，两个花坛一共需要填土多少立方米？
r=4÷2=2 m
一个花坛填土体积：V=πr2h=3.14×22×0.5=6.28 （m3）
两个花坛：6.28×2=12.56 （m3）
答：两个花坛一共需要填土12.56立方米.
教材第27页“练习五”第3题
4.一个圆柱的体积是80 cm ，底面积是16 cm ，它的高是多少厘米？
h=V÷S=80÷16=5 cm
答：它的高是5厘米。
教材第27页“练习五”第4题
5.一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是1 m，高是2 m。如果每立方米玉米约重750 kg，这个粮囤能装多少吨玉米？
V=πr2h=3.14×12×2=6.28（ m3 ）
6.28×750=4710 kg=4.71 （吨）
答：这个粮囤能装4.71 吨玉米。
教材第27页“练习五”第5题
课堂小结
04
2.圆柱的体积公式，知道了圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh，也可以用V=πr h。
1.圆柱体积公式是把圆柱转化成近似的长方体推导出来的，用到了转化的思想。
本节课你有哪些收获？
3.用圆柱体积公式解决实际问题了，比如计算油桶的容积、花坛填土的体积等。
课程结束，谢谢参与！
第三单元 圆柱与圆锥第三单元 第5课时 圆柱的体积 教学设计
一、教材分析（核心素养视角）
人教版六年级下册《圆柱的体积》属于“图形与几何”领域的内容，是在学生掌握了长方体、正方体体积计算方法，以及圆柱的基本特征、表面积计算的基础上进行教学的。
从核心素养角度看，本节课重点培养以下素养：
空间观念：通过将圆柱转化为近似长方体的操作，引导学生观察、对比、想象，建立立体图形之间的联系，发展空间想象能力。
转化思想：延续圆面积推导的转化思路，将未知的圆柱体积转化为已知的长方体体积，渗透“化曲为直” “化未知为已知”的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。
应用意识：通过解决实际问题，让学生体会圆柱体积在生活中的广泛应用，培养用数学知识解决实际问题的能力。
运算能力：在公式推导和实际计算中，锻炼学生的代数运算与数据处理能力，提升数学运算的准确性与熟练度。
二、教学目标
1.理解圆柱体积公式的推导过程，掌握圆柱体积的计算方法；能运用公式正确计算圆柱的体积，并解决相关的实际问题。
2.经历圆柱体积公式的推导过程，通过观察、操作、类比、归纳等活动，体会转化思想在数学学习中的作用，发展空间观念和逻辑推理能力。
3.在探究过程中感受数学知识的内在联系，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣；培养主动探究、合作交流的意识和习惯。
三、教学重难点
教学重点：掌握圆柱体积的计算公式，并能熟练运用公式解决实际问题。
教学难点：理解圆柱体积公式的推导过程，体会“化曲为直”的转化思想。
四、教学准备
教师：多媒体课件、圆柱体积推导模型（可拆分的圆柱教具）、长方体模型。
学生：预习教材内容、准备圆柱学具（橡皮泥或纸质圆柱）、直尺、练习本。
五、课堂导入
导入过程
复习旧知
师：同学们，我们已经学过哪些立体图形的体积计算？
生：长方体、正方体。
师：它们的体积公式是什么？
生：长方体体积=底面积×高，正方体体积=棱长×棱长×棱长（也可以看成底面积×高）。
问题驱动
师：老师这里有一个圆柱形的水杯（出示教具），如果想知道这个水杯能装多少水，其实就是求什么？
生：求这个圆柱的容积，也就是体积。
师：那圆柱的体积该怎么计算呢？能不能像推导圆的面积公式那样，把圆柱转化成我们学过的立体图形来推导？今天我们就一起来探究圆柱的体积。
【设计意图：
通过复习长方体、正方体的体积公式，唤醒学生已有的知识经验，为后续的类比推导做好铺垫；结合生活中的水杯问题，创设真实的情境，引发学生的认知冲突，激发探究圆柱体积的欲望，让学生体会数学与生活的紧密联系。】
六、教学过程
（一）探究圆柱体积公式的推导
1. 类比猜想
师：我们在推导圆的面积公式时，是把圆转化成了什么图形？
生：近似的长方形。
师：那能不能把圆柱也转化成我们学过的立体图形，比如长方体？请大家拿出准备好的圆柱学具，试着动手分一分、拼一拼。
（学生分组操作，教师巡视指导）
【设计意图：通过类比圆面积的推导方法，引导学生猜想圆柱体积的推导思路，培养学生的类比推理能力；动手操作让学生初步感受“转化”的过程，为后续的深入探究积累直观经验。】
2. 演示验证
师：刚才大家都尝试了把圆柱进行拆分和拼接，老师这里有一个更直观的模型（出示可拆分的圆柱教具，逐步演示把圆柱底面分成16等份、32等份，再拼成近似长方体的过程）。大家观察一下，拼成的立体图形是什么形状？
生：越来越接近长方体。
师：分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近长方体。那这个近似的长方体和原来的圆柱有什么联系呢？请大家从底面积、高、体积三个方面对比观察，小组内讨论交流。
（学生小组讨论，教师参与其中，引导学生发现）
3. 归纳结论
师：谁来说说你们小组的发现？
生1：长方体的底面积等于圆柱的底面积。
生2：长方体的高等于圆柱的高。
生3：长方体的体积和圆柱的体积相等，因为是同一个图形转化来的。
师：非常好！我们知道长方体的体积=底面积×高，那圆柱的体积呢？
生：圆柱的体积=底面积×高。
师：如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那圆柱体积的计算公式可以写成什么？
生：V=Sh。
师：如果我们知道圆柱的底面半径r和高h，又该怎么表示体积公式呢？
生：因为圆柱的底面积S=πr ，所以V=πr h。
【设计意图：通过教具演示和小组讨论，让学生直观地看到圆柱转化为长方体的过程，清晰地建立两者之间的联系，从而自主推导出圆柱的体积公式，培养学生的观察能力、归纳能力和逻辑推理能力，同时深化对转化思想的理解。】
（二）公式应用
师：现在我们已经掌握了圆柱体积的计算公式，接下来就用它来解决一些实际问题。
1. 基础应用（教材“做一做”第1题）
出示题目：一根圆柱形木料，底面积为75 cm ，长为90 cm。它的体积是多少？
师：这里的“长”其实就是圆柱的什么？
生：高。
师：那直接代入公式V=Sh计算即可，谁来算一算？
生：75×90=6750（cm ），所以它的体积是6750立方厘米。
2. 实际应用（教材“做一做”第2题）
出示题目：挖一口圆柱形水井，地面以下的井深为10 m，底面直径为1 m。挖出的土有多少立方米？
师：这道题是求什么？需要先算出什么？
生：求挖出的土的体积，也就是圆柱水井的体积。需要先算出底面半径，再算底面积，最后算体积。
师：大家动手算一算。
（学生独立计算，教师巡视，指名板演）
板演过程：
r=1÷2=0.5（m）
S=πr =3.14×0.5 =0.785（m ）
V=Sh=0.785×10=7.85（m ）
师：大家检查一下，计算过程和结果对不对？
生：对的。
【设计意图：通过基础应用和实际应用的例题，让学生初步掌握圆柱体积公式的运用方法，熟悉公式在不同情境下的使用，同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强应用意识。】
七、课堂练习
1.计算下面圆柱的体积（单位：cm）。
2.一个圆柱形油桶，底面直径是60 cm，高是90 cm，这个油桶最多可以装多少油？（数据是从油桶里面测量得到的）
3.学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径是4 m，高是0.8 m。如果里面填土的高度是0.5 m，两个花坛一共需要填土多少立方米？
4.一个圆柱的体积是80 cm ，底面积是16 cm ，它的高是多少厘米？
5.一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是1 m，高是2 m。如果每立方米玉米约重750 kg，这个粮囤能装多少吨玉米？
参考答案
1.（1）V=πr2h=3.14×52×2=157（cm3）
（2）V=πr2h=3.14×（4÷2）2×2=25.12（cm3）
（3）r=8÷2=4 cm，V=πr2h=3.14×42×8=401.92（cm3）
2.，
3.，一个花坛填土体积：
两个花坛：
4.
5。
重量：吨
【设计意图：
第1题涵盖了直接用底面积和高、用半径和高、用直径和高三种情况，帮助学生全面掌握圆柱体积公式的不同应用形式，巩固公式记忆。
第2-5题是贴近生活的实际问题，让学生在解决问题的过程中，进一步体会圆柱体积在生活中的应用，提高运用知识解决实际问题的能力，同时培养学生的审题能力和运算能力。】
八、课堂小结
师：今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？
生1：我们学习了圆柱的体积公式，知道了圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh，也可以用V=πr h。
生2：我知道了圆柱体积公式是把圆柱转化成近似的长方体推导出来的，用到了转化的思想。
生3：我会用圆柱体积公式解决实际问题了，比如计算油桶的容积、花坛填土的体积等。
九、课后作业布置
必做题：完成同步练习册中《圆柱的体积》相关习题。
选做题：观察生活中还有哪些地方用到了圆柱的体积知识，尝试记录下来并提出一个相关的数学问题，下节课和同学们分享。
十、板书设计
圆柱的体积
复习旧知
长方体体积 = 底面积 × 高
正方体体积 = 底面积 × 高
转化推导
圆柱 → 近似长方体
长方体的底面积 = 圆柱的底面积
长方体的高 = 圆柱的高
长方体的体积 = 圆柱的体积
公式总结
例题演示
做一做1：
做一做2：，，第三单元 第5课时 圆柱的体积 同步练习
一、填空。
1.把圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后沿高竖直切开，可以拼成一个近似的（ ）。它的底面长等于圆柱（ ），宽等于圆柱的（ ），高等于圆柱的（ ），根据长方体的体积公式可以知道圆柱的体积公式（ ）。
2.一个圆柱形的木块底面积是 ， 高 ，这个圆柱形木块的体积是（ ）。
3.一个圆柱的底面半径是 ， 高是 ， 体积是（ ）。
4.一个圆柱体的底面直径4分米， 高0.5分米， 它的体积是（ ）立方分米。
5.一个圆柱的底面周长是 ， 高 ， 这个圆柱的体积是（ ）3。
6.一个体积是40立方厘米的圆柱，若底面积不变，将它的高扩大到原来的3倍后，体积为（ ）立方厘米。
7.圆柱的底面半径扩大为原来的倍，高不变，底面周长扩大为原来的（ ）倍，底面积扩大为原来的（ ）倍，侧面积扩大为原来的（ ）倍，体积扩大为原来的（ ）倍。
8.一个小圆柱和一个大圆柱，底面直径之比是2：3，它们的体积之比是5：9，大、小圆柱高的最简单的整数比是（ ）。
二、选择。
1.一个圆柱的底面积是 ，它的体积是 ，这个圆柱的高是（ ）cm。
A.8 B.4 C.12
2.圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，圆柱的体积将（ ）。
A.扩大到原来的3倍
B.扩大到原来的6倍
C.扩大到原来的9倍
3.把一个棱长为4 cm的正方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）。
A.16 B.12.56 C.50.24
三、计算圆柱的体积。
四、解决问题。
1.一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是2 m，高是2.5 m。如果每立方米稻谷重500 kg，那么这个粮囤最多能装多少吨稻谷？
2.把一块体积是 的钢坯熔铸成一个底面半径是4 cm的圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？
3.一个圆柱的侧面积是20平方分米，底面半径是4分米，计算这个圆柱的体积。
4.探究圆柱的体积计算公式时，将圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿高切开后拼成一个近似的长方体（如图）。如果拼成的长方体的长是12.56 cm，高是6cm，那么圆柱的体积是多少立方厘米？
5.一个长方形的长是40cm，宽是30cm。分别以长和宽所在直线为轴旋转一周，得到两个圆柱，这两个圆柱的体积各是多少立方厘米？
第三单元 第5课时 圆柱的体积 同步练习
一、填空。
1.把圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后沿高竖直切开，可以拼成一个近似的（ ）。它的底面长等于圆柱（ ），宽等于圆柱的（ ），高等于圆柱的（ ），根据长方体的体积公式可以知道圆柱的体积公式（ ）。
【答案】：长方体；底面周长的一半；底面半径；高；（或）
【分析】：本题考查圆柱体积公式的推导原理，核心是割补转化思想，将圆柱切拼为近似长方体，利用长方体体积公式推导圆柱体积，二者体积相等，各维度一一对应。
【详解】：把圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高竖直切开后可拼成一个近似的长方体；这个长方体的底面长等于圆柱底面周长的一半（），宽等于圆柱的底面半径，高与圆柱的高完全相同；因为长方体体积=长×宽×高，对应推导得圆柱体积=底面积×高，即，展开为（为底面积，为底面半径）。
2.一个圆柱形的木块底面积是 ， 高 ，这个圆柱形木块的体积是（ ）。
【答案】：
【分析】：直接应用圆柱体积基本公式，已知底面积和高，直接相乘即可求出体积。
【详解】：圆柱体积（）。
3.一个圆柱的底面半径是 ， 高是 ， 体积是（ ）。
【答案】：
【分析】：已知底面半径和高，先通过求出底面积，再代入计算体积。
【详解】：底面积（），体积（）。
4.一个圆柱体的底面直径4分米， 高0.5分米， 它的体积是（ ）立方分米。
【答案】：
【分析】：先由直径求出底面半径（），再求底面积，最后用体积公式计算，步骤为“直径→半径→底面积→体积”。
【详解】：底面半径（分米），底面积（平方分米），体积（立方分米）。
5.一个圆柱的底面周长是 ， 高 ， 这个圆柱的体积是（ ）3。
【答案】：
【分析】：已知底面周长和高，先通过周长公式推导出求出半径，再求底面积，最后计算体积。
【详解】：底面半径（），底面积（），体积（）。
6.一个体积是40立方厘米的圆柱，若底面积不变，将它的高扩大到原来的3倍后，体积为（ ）立方厘米。
【答案】：
【分析】：考查积的变化规律在圆柱体积中的应用，体积公式中，底面积不变，高扩大几倍，体积就扩大相同的倍数。
【详解】：底面积不变，高扩大到原来的3倍，体积也扩大3倍，（立方厘米）。
7.圆柱的底面半径扩大为原来的倍，高不变，底面周长扩大为原来的（ ）倍，底面积扩大为原来的（ ）倍，侧面积扩大为原来的（ ）倍，体积扩大为原来的（ ）倍。
【答案】：；；；
【分析】：根据各公式中底面半径的次数判断倍数，底面周长、侧面积是半径的一次式，底面积、体积是半径的二次式，高不变时，半径扩大倍，一次式扩大倍，二次式扩大倍。
【详解】：
底面周长，扩大后为，扩大倍；
底面积，扩大后为，扩大倍；
侧面积侧，扩大后为，扩大倍；
体积，扩大后为，扩大倍。
8.一个小圆柱和一个大圆柱，底面直径之比是2：3，它们的体积之比是5：9，大、小圆柱高的最简单的整数比是（ ）。
【答案】：
【分析】：先由直径比得半径比，再求出底面积比，最后根据体积公式推导出，计算高的比并化简。
【详解】：
底面直径比→底面半径比→底面积比（）:（）；
圆柱的高，则小圆柱高大圆柱高；
转化为大圆柱高小圆柱高。
二、选择。
1.一个圆柱的底面积是 ，它的体积是 ，这个圆柱的高是（ ）cm。
A.8 B.4 C.12
【答案】：
【分析】：由圆柱体积公式，逆向推导求高公式，代入数值计算即可。
【详解】：圆柱的高（），故选B。
2.圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，圆柱的体积将（ ）。
A.扩大到原来的3倍
B.扩大到原来的6倍
C.扩大到原来的9倍
【答案】：
【分析】：体积公式中，高不变，半径扩大倍，体积扩大倍，本题。
【详解】：设原半径为，体积；半径扩大3倍后为，体积，即体积扩大到原来的9倍，故选C。
3.把一个棱长为4 cm的正方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）。
A.16 B.12.56 C.50.24
【答案】：
【分析】：正方体削成最大圆柱，圆柱的底面直径=正方体棱长，高=正方体棱长，据此求半径并计算体积。
【详解】：圆柱底面半径（），高（），体积（），故选C。
三、计算圆柱的体积。
图形1：底面半径15cm，高18cm
【答案】：
【分析】：已知底面半径和高，直接代入体积公式计算。
【详解】：（）。
图形2：底面直径8dm，高10dm
【答案】：
【分析】：先由直径求半径，再代入体积公式计算。
【详解】：底面半径（），（）。
四、解决问题。
1.一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是2 m，高是2.5 m。如果每立方米稻谷重500 kg，那么这个粮囤最多能装多少吨稻谷？
【答案】：吨
【分析】：先求粮囤的容积（即圆柱体积），再根据“每立方米稻谷质量×体积”求稻谷总质量，最后进行单位换算（1吨=1000千克）。
【详解】：
① 粮囤体积：（立方米）；
② 稻谷总质量：（千克）；
③ 单位换算：（吨）。
答：这个粮囤最多能装15.7吨稻谷。
2.把一块体积是 的钢坯熔铸成一个底面半径是4 cm的圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？
【答案】：厘米
【分析】：钢坯熔铸后体积不变，即圆柱体积=钢坯体积，由逆向推导，先求圆柱底面积，再求高。
【详解】：
① 圆柱底面积：（）；
② 圆柱的高：（厘米）。
答：这个圆柱的高是50厘米。
3.一个圆柱的侧面积是20平方分米，底面半径是4分米，计算这个圆柱的体积。
【答案】：立方分米
【分析】：方法一：常规法，由侧面积公式侧推导出侧，先求高再算体积；方法二：简便法，由公式推导得侧，直接计算。
【详解】：
方法一（常规）：
圆柱的高，体积（立方分米）。
方法二（简便）：
由侧、，推导得侧，代入得（立方分米）。
答：这个圆柱的体积是40立方分米。
4.探究圆柱的体积计算公式时，将圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿高切开后拼成一个近似的长方体（如图）。如果拼成的长方体的长是12.56 cm，高是6cm，那么圆柱的体积是多少立方厘米？
【答案】：301.44立方厘米
【分析】：圆柱切拼成长方体后，长方体的长=圆柱底面周长的一半（），先由长求出圆柱底面半径，再代入体积公式计算（长方体的高=圆柱的高）。
【详解】：
① 圆柱底面半径：（）；
② 圆柱体积：（立方厘米）。
答：圆柱的体积是301.44立方厘米。
5.一个长方形的长是40cm，宽是30cm。分别以长和宽所在直线为轴旋转一周，得到两个圆柱，这两个圆柱的体积各是多少立方厘米？
【答案】：以长为轴：；以宽为轴：
【分析】：长方形绕轴旋转成圆柱的规律：绕哪条边旋转，这条边就是圆柱的高，另一条边就是圆柱的底面半径，分别代入体积公式计算两个圆柱的体积。
【详解】：
① 以长（40cm）为轴旋转：高，底面半径
体积：（）；
② 以宽（30cm）为轴旋转：高，底面半径
体积：（）。
答：以长所在直线为轴旋转的圆柱体积是113040立方厘米，以宽所在直线为轴旋转的圆柱体积是150720立方厘米。
