(共24张PPT)
第三单元 圆柱与圆锥
第7课时 不规则容器的容积
小学数学·六年级（下）·人教版
教学目标
1.学生能理解并掌握利用“转化法”求不规则圆柱形容器容积的方法，能正确计算瓶子等不规则容器的容积。
2.经历“观察—分析—转化—计算”的探究过程，提升空间想象能力和逻辑推理能力，进一步理解“转化”的数学思想。
3.在解决实际问题的过程中感受数学的实用性，激发学习兴趣，培养严谨的思维习惯和合作交流的意识。
教学重难点
1.教学重点
掌握将不规则容器容积转化为规则圆柱体积之和的方法，能正确计算瓶子的容积。
2.教学难点
理解“瓶子正放与倒放时，水的体积和无水部分的体积不变”这一转化的核心依据。
目 录
课堂导入
01
教学过程
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课堂导入
01
同学们，老师这里有一个装了半瓶水的塑料瓶（出示实物）。如果我想知道这个瓶子的总容积，直接用圆柱体积公式能算吗？为什么？
不能，因为瓶子上面的形状不是规则的圆柱。
这个瓶子的容积是不规则的。那有没有办法用我们学过的圆柱体积知识来计算它呢？今天我们就来探究这个问题——如何用转化法求不规则容器的容积。
教学过程
02
（一） 观察分析，发现转化依据
请大家仔细观察，当我把瓶子正放时，水的形状是什么样的？无水部分呢？
正放时，水是圆柱形，无水部分是不规则的。
如果我把瓶子倒过来放（教师演示倒放瓶子），现在水的形状和无水部分的形状又是什么样的？
倒放时，水的形状变成了不规则的，无水部分变成了圆柱形！
那正放时水的体积和倒放时水的体积有什么关系？无水部分的体积呢？
水的体积不变，无水部分的体积也不变！
瓶子的总容积 = 正放时水的体积 + 倒放时无水部分的体积
谁来说说第一步要做什么？
（二）例题讲解，掌握计算方法
分析：先算出瓶子的底面半径，8÷2=4 cm。
一个底面内直径是 8 cm 的瓶子里，水的高度是 7 cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是 18 cm。这个瓶子的容积是多少？
怎么求水的体积和无水部分的体积？
水的体积：3.14×4 ×7
无水部分的体积：3.14×4 ×18
一个底面内直径是 8 cm 的瓶子里，水的高度是 7 cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是 18 cm。这个瓶子的容积是多少？
能不能把这两个算式合并成一个更简便的式子？
可以用乘法分配律：3.14×4 ×(7+18)
=3.14×16×25 = 1256 cm = 1256 mL。
答：这个瓶子的容积是1256mL。
一个底面内直径是 8 cm 的瓶子里，水的高度是 7 cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是 18 cm。这个瓶子的容积是多少？
这里为什么可以把7和18直接相加？
因为水和无水部分的底面积是一样的，都是瓶子的底面积，所以可以合并计算。
一个底面内直径是 8 cm 的瓶子里，水的高度是 7 cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是 18 cm。这个瓶子的容积是多少？
矿泉水瓶、饮料瓶、保温杯。
生活中还有哪些类似的不规则容器，可以用今天的方法来计算容积？
（三）小组讨论，深化转化思想
只要容器的底部是规则的圆柱，我们就可以通过“正放+倒放”的方法，把不规则部分转化为规则圆柱来计算容积。
课堂练习
03
1.一个底面半径是5 cm的瓶子，正放时水高6 cm，倒放时无水部分高10 cm，求瓶子的容积。
3.14×5 ×(6+10)=3.14×25×16=1256 （cm ）
答：瓶子的容积是62.8L。
2.一个底面直径是10 cm的饮料瓶，正放时水高12 cm，倒放时无水部分高8 cm，求瓶子的容积。
半径：10÷2=5 （cm）
容积： 3.14×5 ×(12+8)=3.14×25×20=1570 （cm ）=1570 （L）
答：最多能装1570升.
3.判断：用转化法求瓶子容积时，正放和倒放的底面积必须相同。
√（只有底面积相同，才能合并计算体积之和）
4.一个瓶子的底面半径是4 cm，正放时水的体积是301.44 cm ，倒放时无水部分的体积是502.4 cm ，求瓶子的总容积。
301.44+502.4=803.84 （cm ）
答：瓶子的总容积是803.84cm 。
5.一个底面周长是18.84 cm的瓶子，正放时水高5 cm，倒放时无水部分高7 cm，求瓶子的容积。
半径：18.84÷3.14÷2=3 （cm）
容积：3.14×3 ×(5+7)=3.14×9×12=339.12 （cm ）
答：瓶子的容积是339.12cm 。
课堂小结
04
2.瓶子的容积等于正放时水的体积加上倒放时无水部分的体积。
1.用转化法求瓶子的容积，把不规则的部分转化成规则的圆柱。
本节课你有哪些收获？
课程结束，谢谢参与！
第三单元 圆柱与圆锥第三单元 第7课时 不规则容器的容积 教学设计
一、教材分析（核心素养视角）
本节课内容选自人教版小学数学六年级下册，是圆柱体积计算的拓展应用。
从核心素养角度分析，它承载着多重育人价值：
空间观念：通过分析瓶子正放、倒放时水与无水部分的空间变化，帮助学生建立“不规则容器容积可转化为规则圆柱体积之和”的空间感知。
转化思想：引导学生将不规则的瓶子容积问题，转化为两个规则圆柱的体积之和，培养学生“化曲为直、化不规则为规则”的数学转化能力。
运算能力：在计算过程中，巩固圆柱体积公式的应用，提升学生综合运用圆的面积、圆柱体积公式进行复杂运算的能力。
应用意识：结合生活中常见的瓶子容积问题，让学生体会数学在解决实际问题中的作用，增强用数学知识解决生活问题的意识。
二、教学目标
1.学生能理解并掌握利用“转化法”求不规则圆柱形容器容积的方法，能正确计算瓶子等不规则容器的容积。
2.经历“观察—分析—转化—计算”的探究过程，提升空间想象能力和逻辑推理能力，进一步理解“转化”的数学思想。
3.在解决实际问题的过程中感受数学的实用性，激发学习兴趣，培养严谨的思维习惯和合作交流的意识。
三、教学重难点
重点：掌握将不规则容器容积转化为规则圆柱体积之和的方法，能正确计算瓶子的容积。
难点：理解“瓶子正放与倒放时，水的体积和无水部分的体积不变”这一转化的核心依据。
四、教学准备
教师：透明塑料瓶（带水）、多媒体课件、圆柱体积公式卡片。
学生：草稿纸、直尺、计算器（可选）。
五、课堂导入（含设计意图）
导入环节
师：同学们，老师这里有一个装了半瓶水的塑料瓶（出示实物）。如果我想知道这个瓶子的总容积，直接用圆柱体积公式能算吗？为什么？
生：不能，因为瓶子上面的形状不是规则的圆柱。
师：没错，这个瓶子的容积是不规则的。那有没有办法用我们学过的圆柱体积知识来计算它呢？今天我们就来探究这个问题——如何用转化法求不规则容器的容积。
【设计意图：
从学生熟悉的“半瓶水的瓶子”入手，创设认知冲突，既激发了学生的探究欲望，又直接点明了本节课的核心问题，为后续的转化思想渗透做好铺垫。】
六、教学过程
（一）观察分析，发现转化依据
师：请大家仔细观察，当我把瓶子正放时，水的形状是什么样的？无水部分呢？
生：正放时，水是圆柱形，无水部分是不规则的。
师：如果我把瓶子倒过来放（教师演示倒放瓶子），现在水的形状和无水部分的形状又是什么样的？
生：倒放时，水的形状变成了不规则的，无水部分变成了圆柱形！
师：那正放时水的体积和倒放时水的体积有什么关系？无水部分的体积呢？
生：水的体积不变，无水部分的体积也不变！
师：非常棒！所以瓶子的总容积 = 正放时水的体积 + 倒放时无水部分的体积，而这两部分都是规则的圆柱，我们就可以用圆柱体积公式来计算了。
【设计意图：
通过动态演示瓶子的正放与倒放，让学生直观感知“水和无水部分体积不变，形状可转化为圆柱”的核心逻辑，为后续的计算奠定认知基础。】
（二）例题讲解，掌握计算方法
师：我们来看教材上的例题：一个底面内直径是8 cm的瓶子，正放时水的高度是7 cm，倒放后无水部分的高度是18 cm。这个瓶子的容积是多少？
师：谁来说说第一步要做什么？
生：先算出瓶子的底面半径，8÷2=4 cm。
师：接下来怎么求水的体积和无水部分的体积？
生：水的体积是3.14×4 ×7，无水部分的体积是3.14×4 ×18。
师：能不能把这两个算式合并成一个更简便的式子？
生：可以用乘法分配律，3.14×4 ×(7+18)。
师：对！这样计算更简便。我们一起算一下：
3.14×16×25 = 1256 cm = 1256 mL。
师：这里为什么可以把7和18直接相加？
生：因为水和无水部分的底面积是一样的，都是瓶子的底面积，所以可以合并计算。
【设计意图：
结合教材例题，引导学生从分步计算到简便运算，既巩固了圆柱体积公式，又渗透了乘法分配律的简便计算，同时深化了对“转化法”的理解。】
（三）小组讨论，深化转化思想
师：请大家小组讨论：生活中还有哪些类似的不规则容器，可以用今天的方法来计算容积？
（学生小组讨论后发言）
生1：矿泉水瓶、饮料瓶。
生2：保温杯。
师：大家说得都很对！只要容器的底部是规则的圆柱，我们就可以通过“正放+倒放”的方法，把不规则部分转化为规则圆柱来计算容积。
【设计意图：
通过小组讨论，让学生将课堂所学与生活实际联系起来，进一步强化“转化思想”的应用意识，提升知识迁移能力。】
七、课堂练习
1.一个底面半径是5 cm的瓶子，正放时水高6 cm，倒放时无水部分高10 cm，求瓶子的容积。
2.一个底面直径是10 cm的饮料瓶，正放时水高12 cm，倒放时无水部分高8 cm，求瓶子的容积。
3.判断：用转化法求瓶子容积时，正放和倒放的底面积必须相同。（）
4.一个瓶子的底面半径是4 cm，正放时水的体积是301.44 cm ，倒放时无水部分的体积是502.4 cm ，求瓶子的总容积。
5.一个底面周长是18.84 cm的瓶子，正放时水高5 cm，倒放时无水部分高7 cm，求瓶子的容积。
参考答案
1.
2.半径：，容积：
3.√（只有底面积相同，才能合并计算体积之和）
4.
5.半径：，容积：
【设计意图：
第1、2题：直接考查“转化法”的基本应用，巩固核心知识点。
第3题：通过判断题强化学生对“转化法”核心条件（底面积相同）的理解。
第4题：逆向考查，已知两部分体积求总容积，提升学生的逆向思维能力。
第5题：结合底面周长求半径，再计算容积，综合考查学生的公式运用能力。】
八、课堂小结
师：今天这节课我们学习了什么？谁来总结一下？
生1：我学会了用转化法求瓶子的容积，把不规则的部分转化成规则的圆柱。
生2：瓶子的容积等于正放时水的体积加上倒放时无水部分的体积。
师：大家总结得很到位！我们通过“转化”的思想，把复杂的问题变得简单了，这是数学中非常重要的解题方法，希望大家在以后的学习中能灵活运用。
九、课后作业布置
必做题：完成同步练习册中“圆柱的容积（转化法）”相关习题。
选做题：找一个家里的饮料瓶，测量它的底面直径、正放时水的高度和倒放时无水部分的高度，计算出瓶子的容积，并动手验证。
十、板书设计
圆柱的容积（转化法）
瓶子容积 = 正放水的体积 + 倒放无水部分的体积（不规则）
（规则圆柱）公式：V = πr ×(h水 + h无水)
例题：3.14×(8÷2) ×(7+18) = 1256 cm = 1256 mL第三单元 第7课时 圆柱体积的实际应用 同步练习
一、填空。
1.一根高是2 m、底面积是34.2 m2 的圆柱形钢材，它的体积是（ ）m3。
2.一个圆柱的体积是28 cm3，高是4 cm，它的底面积是（ ）cm2。
3.李叔叔的早餐店要定做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，水桶高是12 dm。底面半径是高的。这个水桶可以装水（ ）L。
4.在解决“一个杯子的内直径为8 cm，高为10 cm，一袋牛奶有498 mL，这个杯子能装下这袋牛奶吗？”这个问题时，需要先算出杯子的底面积，列式为（ ），再算出杯子的容积，列式为（ ），结果等于（ ）。这个杯子（ ）装下这袋牛奶。
5.下图中，圆柱形甲瓶中有2cm深的水，长方体乙瓶里水深6.28 cm。如果将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深（ ）cm。
二、选择。
1. 把一个圆柱的侧面展开得到一个长为62.8cm，宽为30cm的长方形。这个圆柱的体积最大是（ ）cm3。
A.5024 B.9420 C.6280
2. 一个水桶能装多少水是求水桶的（ ）。
A. 体积 B. 容积 C. 表面积
3. 求一个圆柱形的钢条有多少立方米，是求它的（ ）。
A. 侧面积 B. 容积 C. 体积
4. 一瓶满装的矿泉水，龙一鸣喝了一些，瓶中水深15 cm，如图，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高6cm，瓶内直径是8cm。龙一鸣喝了多少毫升的水？下面列式正确的是（ ）。
A. B.
C.
5.如图，一个圆柱形容器从里面量底面半径是5cm，里面装有一些水，把一块铁块完全浸入水中（无溢出），水面上升2cm ，这块铁块的体积是（ ）cm3。
A.628 B.157 C.62.8
三、计算下面图形的体积。
四、解决问题。
1.一个内直径是6 cm的饮料瓶，喝了一部分后，饮料的高度是12 cm。把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是8 cm。这个饮料瓶的容积是多少？
2.如图，一个饮料瓶内饮料的高度是6 cm，将这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10 cm。已知这个饮料瓶的容积是672 mL，瓶内的饮料有多少毫升？
3.一种药水瓶的瓶身是圆柱形（不包括瓶颈），容积是10 mL，现在瓶中装有一些药水，正放时药水高度是4 cm，倒放时，空余部分的高度是1 cm，瓶中现有多少毫升药水？
4.一个圆柱形容器，从里面量，高是10 dm，底面半径是3 dm，装的水高6 dm。现放入一个体积是 的铁块（完全浸没），这时水面的高度是多少分米？
5.如图，把A杯中的铁块取出后，水位下降了3 cm，然后将铁块完全浸没在B杯中，且水未溢出，这时B杯中的水位上升了多少厘米？
6.一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过的部分的体积最大是多少？
第三单元 第7课时 圆柱体积的实际应用 同步练习
一、填空。
1.一根高是2 m、底面积是34.2 m2 的圆柱形钢材，它的体积是（ ）m3。
【答案】：68.4
【分析】：圆柱体积公式为（是底面积，是高），直接代入数值计算即可。
【详解】：（）。
2.一个圆柱的体积是28 cm3，高是4 cm，它的底面积是（ ）cm2。
【答案】：7
【分析】：由圆柱体积公式推导得，已知体积和高，求底面积用除法。
【详解】：（）。
3.李叔叔的早餐店要定做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，水桶高是12 dm。底面半径是高的。这个水桶可以装水（ ）L。
【答案】：339.12
【分析】：先根据高求出底面半径，再用圆柱容积公式计算，最后进行单位换算（）。
【详解】：
① 底面半径：（）；
② 容积：（）；
③ 单位换算：。
4.在解决“一个杯子的内直径为8 cm，高为10 cm，一袋牛奶有498 mL，这个杯子能装下这袋牛奶吗？”这个问题时，需要先算出杯子的底面积，列式为（ ），再算出杯子的容积，列式为（ ），结果等于（ ）。这个杯子（ ）装下这袋牛奶。
【答案】：；；；能
【分析】：先求圆柱底面积（圆的面积公式，是直径），再求容积（同体积公式），最后将容积与牛奶体积比较，判断能否装下。
【详解】：
① 底面积：（）；
② 容积：（），；
③ 比较：，所以能装下。
5.下图中，圆柱形甲瓶中有2cm深的水，长方体乙瓶里水深6.28 cm。如果将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深（ ）cm。
【答案】：14.5
【分析】：先求长方体乙瓶中水的体积，再将水倒入甲瓶，用水的体积除以甲瓶底面积得到水在甲瓶中上升的高度，最后加上甲瓶原有水深，得到最终水深。
【详解】：
① 乙瓶水的体积（长方体体积长×宽×高）：（）；
② 甲瓶底面积：（）；
③ 水在甲瓶上升的高度：
（）。
二、选择。
1. 把一个圆柱的侧面展开得到一个长为62.8cm，宽为30cm的长方形。这个圆柱的体积最大是（ ）cm3。
A.5024 B.9420 C.6280
【答案】：B
【分析】：圆柱侧面展开的长方形，一边是底面周长，一边是高。分两种情况计算体积，取最大值：① 长为底面周长，宽为高；② 宽为底面周长，长为高。
【详解】：
圆柱底面周长公式，推导得。
情况1：，
，（）；
情况2：，
，（）；
比较：，选B。
2. 一个水桶能装多少水是求水桶的（ ）。
A. 体积 B. 容积 C. 表面积
【答案】：B
【分析】：容积是容器所能容纳物体的体积，“水桶能装多少水”是求水桶的容纳量，对应容积；体积是物体所占空间的大小，表面积是面的总面积。
【详解】：直接根据容积的定义选择B。
3. 求一个圆柱形的钢条有多少立方米，是求它的（ ）。
A. 侧面积 B. 容积 C. 体积
【答案】：C
【分析】：圆柱形钢条是实心物体，求“有多少立方米”是求它所占空间的大小，对应体积；侧面积是曲面的面积，容积仅针对容器。
【详解】：直接根据体积的定义选择C。
4. 一瓶满装的矿泉水，龙一鸣喝了一些，瓶中水深15 cm，如图，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高6cm，瓶内直径是8cm。龙一鸣喝了多少毫升的水？下面列式正确的是（ ）。
A. B.
C.
【答案】：C
【分析】：矿泉水瓶倒置后，无水部分的体积就是喝掉的水的体积，无水部分是圆柱，直径8cm，高6cm，用公式计算。
【详解】：喝掉水的体积列式为，选C。
5.如图，一个圆柱形容器从里面量底面半径是5cm，里面装有一些水，把一块铁块完全浸入水中（无溢出），水面上升2cm ，这块铁块的体积是（ ）cm3。
A.628 B.157 C.62.8
【答案】：B
【分析】：铁块完全浸入水中，水面上升的体积就是铁块的体积，上升部分是圆柱，半径5cm，高2cm，用体积公式计算。
【详解】：（），选B。
三、计算下面图形的体积。
左侧图形（长方体+圆柱）
【答案】：
立方厘米
【分析】：
该图形是长方体与圆柱的组合体，体积为长方体体积与圆柱体积之和。
【详解】：
长方体体积：（立方厘米）
圆柱体积：底面半径cm，高5cm，（立方厘米）
组合体体积：（立方厘米）
右侧图形（正方体-圆柱）
【答案】：
109.3立方厘米
【分析】：
该图形是正方体挖去一个圆柱，体积为正方体体积减去圆柱体积。
【详解】：
正方体体积：（立方厘米）
圆柱体积：底面半径cm，高5cm，（立方厘米）
剩余体积：（立方厘米）
四、解决问题。
1.一个内直径是6 cm的饮料瓶，喝了一部分后，饮料的高度是12 cm。把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是8 cm。这个饮料瓶的容积是多少？
【答案】：565.2（或565.2mL）
【分析】：饮料瓶的容积正放时饮料的体积倒置后无水部分的体积，两部分都是圆柱，底面直径相同，可合并高计算（总高）。
【详解】：
，总高；
容积（）；
单位换算：。
2.如图，一个饮料瓶内饮料的高度是6 cm，将这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10 cm。已知这个饮料瓶的容积是672 mL，瓶内的饮料有多少毫升？
【答案】：252mL
【分析】：饮料瓶的容积对应总高（饮料高空余高），先求每厘米高度对应的体积，再乘饮料高度，得到饮料体积。
【详解】：
总高，；
每厘米体积：（）；
饮料体积：（）。
3.一种药水瓶的瓶身是圆柱形（不包括瓶颈），容积是10 mL，现在瓶中装有一些药水，正放时药水高度是4 cm，倒放时，空余部分的高度是1 cm，瓶中现有多少毫升药水？
【答案】：8mL
【分析】：药水瓶瓶身是圆柱，容积对应总高（药水高空余高），药水体积占容积的药水高总高，用容积乘占比即可。
【详解】：
总高，；
药水体积：（）。
4.一个圆柱形容器，从里面量，高是10 dm，底面半径是3 dm，装的水高6 dm。现放入一个体积是 的铁块（完全浸没），这时水面的高度是多少分米？
【答案】：6.5dm
【分析】：铁块完全浸没，水面会上升，先求上升的高度（上升高度铁块体积容器底面积），再加上原有水高，得到最终水面高度。
【详解】：
① 容器底面积：（）；
② 水面上升高度：（）；
③ 最终水面高度：（）。
5.如图，把A杯中的铁块取出后，水位下降了3 cm，然后将铁块完全浸没在B杯中，且水未溢出，这时B杯中的水位上升了多少厘米？
【答案】
1.08厘米
【分析】
铁块的体积等于A杯水位下降部分的水的体积，将铁块浸入B杯后，B杯水位上升的体积等于铁块体积，据此计算上升高度。
【详解】
计算铁块体积（A杯下降水的体积）：
A杯底面直径6cm，半径cm，水位下降3cm，
铁块体积（立方厘米）。
计算B杯水位上升高度：
B杯底面直径10cm，半径cm，
上升高度（厘米）。
6.一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过的部分的体积最大是多少？
【答案】
1884立方厘米
【分析】
长方形绕对称轴旋转180度，形成的是半圆柱（或圆柱的一半），需分两种对称轴情况计算体积，取最大值。
【详解】
长方形的对称轴有2种：
情况1：绕平行于长的对称轴旋转（对称轴为宽的中垂线，旋转半径cm，高20cm）：
体积（立方厘米）。
情况2：绕平行于宽的对称轴旋转（对称轴为长的中垂线，旋转半径cm，高12cm）：
体积（立方厘米）。
