安徽合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案）

高一数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设甲：点在第二象限；乙：角为第三象限角，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知单位向量、满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
5. 在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
0.7 0.8 0.9
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为、、，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，且，，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A.
B.
C. 为奇函数
D.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点
B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是
C. 若关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是
D. 记函数有个零点，则正整数的取值集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是两个不共线的向量，，，若向量，共线，则实数。
13. 已知正数，满足，则的最小值为。
14. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知，，求的值。
16. （15分）
设函数。
（1）判断函数的单调性，并不等式的解集；
（2）若在上的最小值为11，求实数的值。
17. （15分）
剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点。现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，，均在线段上。设，。
（1）求圆心角的大小（用弧度表示）；
（2）若，求的长；
（3）求矩形面积的最大值。
18. （17分）
已知函数的最小正周期为。
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程在上有两个实数解，，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。若对于，总存在唯一的实数，使得成立，求实数的取值范围。
19. （17分）
已知偶函数的最小值为1。
（1）求实数，的值；
（2）设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围；
（3）设，记，试求的最大值。（注：）
高一数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】A
2. 设甲：点在第二象限；乙：角为第三象限角，则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
3. 已知单位向量、满足，则向量与向量的夹角为
A. B.
C. D.
【答案】D
4. 函数的部分图象大致为
【答案】A
5. 在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
0.7 0.8 0.9
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为、、，则
A． B．
C． D．
【答案】C
6．已知，且，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
8．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
10．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．
B．
C．为奇函数
D．
【答案】ABD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点
B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是
C. 若关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是
D. 记函数有个零点，则正整数的取值集合为
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是两个不共线的向量，，，若向量，共线，则实数。
【答案】
13. 已知正数，满足，则的最小值为。
【答案】
14. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则。
【答案】或
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知，，求的值。
【答案】（1）；（2）。
【解答】（1）因为角的终边经过点，所以，分
所以；分
（2）由，得到，
，分
又，，，，分
，，则．13分
16. （15分）
设函数．
（1）判断函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若在上的最小值为11，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】（1）由题意函数，
易知定义域为，且在上单调递增，2分
又，因此是奇函数，3分
则不等式可化为，
所以，5分
即，解得，所以不等式的解集为；7分
（2）由题意函数，
知，
令，又，则，9分
令，抛物线开口向上，对称轴为直线，10分
当，即时，，解得，
当，即时，，
整理得到，无解，
综上，当时，在上的最小值为11．15分
17．（15分）
剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，，均在线段上．设，．
（1）求圆心角的大小（用弧度表示）；
（2）若，求的长；
（3）求矩形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，矩形的面积最大，最大面积为．
【解答】（1）由于扇形半径，所以扇形的面积，
即，解得，即．4分
（2）由（1）知，
结合，可得，
所以，
在中，．9分
（3）由，，在中，，，
在中，，所以，
设矩形的面积为，
则11分
，
根据，可知，即时，，
综上所述，当时，矩形的面积最大，最大面积为．15分
18. （17分）
已知函数的最小正周期为。
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程在上有两个实数解，，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。若对于，总存在唯一的实数，使得成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）；（3）。
【解答】（1）由题意得，
根据的最小正周期为，所以，可得。………………3分
令，解得，
所以单调递减区间为。………………………5分
（2）已知，则。
令，则，函数可记为，
则在有两个不同解，，其中，，
此时，则，即，
所以，，，
所以，………………………8分
又因为，且，可得，
所以，
所以的取值范围是。………………………10分
（3）由，将函数的图象向右平移个单位得到
。………………………12分
由，得，
由得，，
，14分
又，得，
又在上单调递减，在上单调递增，所以，
由的唯一性可得或，即．
依题意可得，所以，解得，
所以当时，使成立．17分
19. （17分）
已知偶函数的最小值为1．
（1）求实数，的值；
（2）设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围；
（3）设，记，试求的最大值．（注：．）
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解答】（1）由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以，2分
所以．
设，令，，则，由基本不等式知，当且仅当“”时取到
“”，即时取得最小值．所以，又的最小值为1，
所以，且，此时；5分
（2）由（1）知．函数与的图象有且只有一个公共点，
方程只有一解，即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，分
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解
得；
若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，
实数的取值范围为．分
（3）由（1）知，令，则，
故对勾函数在单调递减，在单调递增，由于单调递增，
因此函数在上单调递增，在上单调递减．
设，，，，，，，
由于，
则，，
所以
，分
当且仅当或时，有最大值，
所以的最大值为．分