安徽合肥市蜀山区2025-2026学年上学期期末考试高一年级数学试卷（含答案）

2025年秋季学期期末考试高一年级数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．函数的零点所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在区间上的图像可能是（ ）
7．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
9. 下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 不等式解集为，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的最小正周期为
D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则
13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为
14. 定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数，
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知集合，集合.
（1）求；
（2）求.
16.（15分）已知幂函数过点.
（1）求的解析式，判断的奇偶性并证明；
（2）判断函数在上的单调性并证明.
17.（15分）已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
18．（17分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定．
某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．
（2）根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：，）
19.（17分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
2025年秋季学期期末考试高一年级数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C A C B
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
题号 9 10 11
答案 BD ABD ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．
13．
14．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．解：（1）不等式可化为，解得或， .........3
则，则． .........6
（2） 因为 .........9
所以． .........13
16.解：（1）因为为幂函数，所以，解得 .........2
所以f(x)=x-1，所以该函数为奇函数 4
理由：定义域为，因为都有，.........5
且f(-x)=1(-x)=-1x=-f(x)，所以该函数为奇函数 7
（2）函数在上单调递减........9
证明：，且
则 ........11
， 又，
，即
在上单调递减.........15
17. 解：（1）令，因为，所以，
则可转化为：， ........3
所以当时，的最小值，此时，
所以
故的值域为 .........7
（2）将带入得：
， ........9
令，因为，所以，
所以对，不等式恒成立等价于：
恒成立，等价于
恒成立，
因为，，由基本不等式得： ........12
当且仅当，即时，等号成立， ........13
所以要使恒成立，只要使左边最小值满足，
解得
故正实数 的取值范围为94,+∞ 15
18．解：（1）选模型②， .........4
则，解得，
所以； .........8
（2）（i）因为当 趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为； .........12
（ii）令，则， .........14
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为7.5min 17
19.解： .........2
（1） 令 .........3
有
所以f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z 5
（2）
.........7
不等式等价于，即，
因为该不等式对任意恒成立，
所以
所以实数m的取值范围是[-1,4]． 10
（3）由题意有，则关于 的方程为
sin2x-k(sinx+cosx)=0 11
令
当x∈-π12,5π12时，x+π4∈π6,2π3，t=2sinx+π4∈22,2 13
则t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=1+sin2x，有sin2x=t2-1 14
若关于 的方程在上有解
则关于 的方程在上有解
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