8.4乘法公式 同步练习（含解析） 苏科版数学七年级下册

8.4乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知x，y都是实数，观察表中的运算，则n的值是（ ）
x，y的运算 xy
运算的结果 1 3 n
A．4 B．7 C．10 D．13
4．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．，，，都是正数，如果，，那么，的大小关系是　　
A． B． C． D．不确定
6．已知，，则的值为（ ）
A． B．7 C．9 D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．的计算结果的个位数字是（　　）
A．8 B．6 C．2 D．0
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积不能表示为（　　）
A． B． C． D．
12．下列计算正确的是．（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，则的值是 ．
14．已知，则的值为 .
15．已知，则的值是 ．
16．若x2﹣kx+1是完全平方式，则k＝ ．
17．运用完全平方公式计算：= ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中x＝2，y＝1．
19．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知，求代数式的值．
20．先化简，再求值：，其中．
21．利用完全平方公式，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值：
(2)若，求的值．
22．观察下列式子：①，②，③，
(1)根据你发现的规律，请写出第个等式__________；
(2)根据你发现的规律，请写出第（为正整数）个等式__________，并证明你所写出的等式的正确性；
(3)请写出第个等式：__________．
23．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
24．数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，同学们，下面我们就用数形结合思想来解决下面问题吧！
(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___．
(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：( )= ．
(3)若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：．
(4)③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是_________．
(5)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是_________．根据（5）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
《8.4乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C A D B D D C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据“式子是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数”进行判断即可．
【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故A不符合题意；
B．，能用平方差公式计算，故B不符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故C不符合题意；
D．，不能用平方差公式计算，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
2．B
【分析】根据同底数幂的运算法则，积的乘方运算，合并同类项，乘法公式即可求解．
【详解】解：选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项正确，符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】依题意可列出代数式，根据完全平方公式的变式进行解答即可．
【详解】解：依题意得：，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变式求代数式的值，掌握完全平方公式的变式是解题的关键．
4．C
【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A选项：，不能用平方差公式计算；
B选项：，不能用平方差公式计算；
C选项：，可以用平方差公式计算；
D选项：，不能用平方差公式计算.
故选：C.
【点睛】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
5．A
【分析】设，可得，再根据，，…，都是正数,则＞0，即可完成解答．
【详解】解：设
∵，，…，都是正数
∴
∴
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则以及对整式进行灵活变形成为解答本题的关键．
6．D
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式正确变形即可解答，熟练计算是解此题的关键．
【详解】解：，
，
故选：D．
7．B
【分析】根据各选项的式子，结合运算法则计算即可判断
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的相关运算，涉及到幂的乘方运算、积的乘方运算、单项式除以单项式、完全平方公式和零指数幂等知识点，解决问题的关键是准确运用相关运算法则得出结果．
8．D
【分析】本题考查了整式的运算；根据合并同类项，单项式乘以单项式，完全平方公式以及多项式乘以多项式，分别计算四个算式并判断其正误即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【详解】解：
，
∴的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
∵，故与的个位数字相同即为1，
∴的个位数字为0，
∴的个位数字是0．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
11．C
【分析】根据题意可得图2正方形的边长为(m+n)，4个小长方形的长为a，宽为b，空白部分的面积为大正方的面积减去4个小长方形的面积，计算即可得出的答案．
【详解】解：根据题意可得，
图2正方形的边长为(m+n)，
空白部分的面积．
所以中间空白部分的面积可以表示的选项有：A，B，D．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．
12．A
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项及积的乘方可进行求解．
【详解】解：A、，原计算正确，故符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键．
13．4
【分析】根据条件得：，将完全平方式展开，整体代入求解即可．
【详解】解：根据条件得：，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是把整体代入原式中求解代数式的值．
14．43
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，完全平方公式的应用，掌握整体代入法是解题的关键．
由已知得到，再利用完全平方公式化简代数式得到，然后整体代入数值即可解答．
【详解】解：∵，
∴,
∴
．
故答案为：43．
15．
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值；利用已知条件，将代数式因式分解，再整体代入化简求值．
【详解】解：由，得
故答案为：．
16．2或-2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：原式可化为：x2﹣kx+12，
可见当k＝2或k＝﹣2时，
原式可化为：（x+1）2或（x﹣1）2，
故答案为：2或﹣2．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
18．，5
【分析】先根据整式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当x＝2，y＝1时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
19．（1），5；（2）
【分析】（1）先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把，代入计算即可；
（2）先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可．
【详解】解：（1）
．
当，时，
原式．
（2）
．
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．
20．，
【分析】根据平方差公式及单项式乘以多项式展开，合并同类项，代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式运算，化简求值，掌握平方差公式及整式乘法相关法则是解题的关键．
21．(1)40
(2)1
【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
（1）利用完全平方公式的变形计算求解：；
（2）利用完全平方公式的变形计算求解：．
【详解】（1）解：，
，
．
，
，
．
（2），
．
，
．
22．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）通过观察所给的式子，直接写出即可；
（2）通过观察所给的式子特点，可得第（为正整数）个等式，再证明即可；
（3）由（2）可知，当时，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴第个等式为．
故答案为：．
（2）第（为正整数）个等式为：，
证明：左边，
右边，
∴左边＝右边，
∴等式成立．
故答案为：．
（3）由（2）可知，当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，平方差公式，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键．
23．(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由负整数指数幂，零指数幂的计算法则进行计算；
（2）先计算乘方再计算乘法，除法最后从左至右依次进行计算即可；
（3）根据多项式乘以多项式的计算进行解答；
（4）直接利用完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【点睛】本题主要考查各类计算法则，熟练掌握计算法则是解题的关键．
24．(1)a2-b2=（a+b）（a-b）；
(2)a+2b，2b2
(3)x2+xy-2y2；
(4)（a-b）2
(5)（a+b）2-（a-b）2=4ab，6或-6．
【分析】（1）图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式；图乙需将图形补成正方形，然后仿照图甲的方法进行求解；
（2）分别表示出图甲，图乙的面积即可；
（3）先计算中括号里的除法运算，再利用（2）中的等式计算即可；
（4）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得；
（5）根据阴影部分面积可得关于（a+b）2，（a-b）2，ab的等式．
【详解】（1）解：图甲：大矩形的面积可表示为：
①（a-b）（a+b）；
②a（a-b）+b（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2；
故（a-b）（a+b）=a2-b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a（a-b+b）=a2；
②a（a-b）+b（a-b）+b2=（a+b）（a-b）+b2；
故a2=b2+（a+b）（a-b），即a2-b2=（a+b）（a-b）．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）解：图甲的面积可表示为：①（a-b）（a+2b），
②a（a-b）+2b（a-b）=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2；
故（a-b）（a+2b）=a2+ab-2b2；
图乙的面积可表示为：①a2+ab-2b2，
②a（a-b）+b（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+2b）；
故（a-b）（a+2b）=a2+ab-2b2，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a-b）（a+2b）=a2+ab-2b2，
故答案为：a+2b，2b2；
（3）解：（x-y）[（x+2y）4÷（x+2y）3]
=（x-y）（x+2y）
=x2+xy-2y2
（4）解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b，
则面积是（a-b）2．
故答案为：（a-b）2；
（5）解：根据阴影部分面积可得：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
∵m+n=-7，mn=3.25，
∴（m+n）2-（m-n）2=4mn，
∴49-（m-n）2=13，
∴m-n=6或-6．
故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab，6或-6．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，数形结合、表示出图形阴影部分面积是解题的关键．