2025-2026学年苏科版七年级下册数学 第10章 二元一次方程组 单元巩固测试卷（含答案）

第10章二元一次方程组单元巩固测试卷
（满分100分 时间90分钟）
一、单选题
1．在方程组，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
4．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．二元一次方程的正整数解共有（ ）组
A．3 B．4 C．5 D．6
6．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱，问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
8．小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数．的值始终不变；④若用表示，则．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ．
12．已知关于的方程组的解是，则 ．
13．已知二元一次方程组，则 ．
14．若方程组的解x，y互为相反数，则k= ．
15．若方程两个解是，，则的值为 ．
16．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而解得，乙看错方程中的，而解得，则原方程组的解为 ．
17．定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
18．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题：
若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下）
19．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ．
20．若方程组解为则方程组的解为 ．
三、解答题
21．解下列方程组：
(1)； (2)．
22．解方程组：
23．已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值．
24．阅读理解下面内容，并解决问题：
《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图①，②，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图①所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是．
类似地，写出图②所示的算筹图的表述形式并求解．
25．一列快车长，慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为，求两车的平均速度各是多少？
26．自行车厂计划一年生产安装24000辆自行车，若1名熟练工和2名新工人每月一共可安装800辆自行车．且每名熟练工比每名新工人每月多安装200辆自行车．
(1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆自行车
(2)如果工厂招聘m（其中m大于0且小于8）名新工人，使得新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务．
①工厂有哪几种新工人的招聘方案
②若每名熟练工每月工资为6000元，每名新工人每月工资为4000元，那么工厂可适当安排熟练工和新工人人数，使新工人的人数多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额最少，请直接写出工厂每月支出工资总额最小值．
27．阅读材料：我们把关于、的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，像与这样的方程是互为共轭二元一次方程；像二元一次方程组这样由互为共轭二元一次方程组成的方程组就叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，______．
(2)解共轭二元一次方程组：
得，③
得，
得，
∴是方程组的解
共轭二元一次方程组可以像这样先把两个方程相加得到的第三个方程，然后用原来的两个方程分别加或减
第三个方程去解方程组．
仿上面方程组的解法解此方程组；
(3)发现：共轭方程组的解是，则、之间的数量关系是______．
试卷第4页，共5页
答案
1．B
解：含有三个未知数，故不是二元一次方程组；
是二元一次方程组；
是二元一次方程组；
中是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组；
综上，是二元一次方程组的只有和．
故选：B．
2．B
解：∵是关于，的二元一次方程的一组解，
∴，
解得，
故选：B．
3．D
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为 ．
故选：D．
4．D
解：，
由得：，
解得：．
由得：，
解得：．
由得：，
解得：．
故原方程组的解为．
故选D．
5．B
解：由题意可知：，
∵x与y是正整数，
∴，
∴，
∴，
∴或2或3或4，
对应的或9或6或3，
∴二元一次方程的所有正整数解有：
，，，，共4组，
故选：B．
6．A
解：设共有人，物品的价格为钱，
根据题意得，，
故选：．
7．D
解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，
由题意得，
得：，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
∴，
∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元，
故选：D．
8．B
解：设彩色地砖数是，单色地砖数是，
依题意，得：，
故选：B．
9．B
解：设小长方形的长为，宽为，
依题意得：．
故选：B．
10．C
解：①，
解得：，
∵x，y的值互为相反数，
∴，
解得：，故正确；
②原方程组的解满足，
当时，，
而方程的解不满足，故错误；
③∵，
∴，
即的值始终不变，故正确；
④∵，
∴，代入，
得：，即，故正确；
故选：C．
11．
解：，
，
故答案为：．
12．5
解：代入到方程组，得，
解得，
∴．
故答案为：5．
13．1
解：，
由得：．
故答案为：1
14．6
∵x，y互为相反数，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：6．
15．0
解：∵方程的两个解是，，
∴，
①+②得：
把代入①得：
∴ ，
故答案为：0．
16．
解：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组为：，
由④可得：，
将代入③得：，
解得：，
∴，
∴原方程组的解为：．
故答案为：．
17．
解：∵，
∴，
∴，
则方程可转化为，
∴，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故答案为：．
18．1或5或19
解：由题意得，一个小球上升，
∴设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米，
∴，
整理得：，
当时，；
当时，；
当时，；
其他数值均不能得到整数，
∴整数值可以取：1或5或19．
故答案为：1或5或19．
19．34
解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，
解得，
∴这个两位数是34，
故答案为：34．
20．
解：设，
则方程组为，
∵方程组解为，
，
，
，，
，，
， ，
∴方程组的解为，
故答案为：．
21．(1)
(2)
（1）解：
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为．
22．
解：①＋②，解得y＝8．
将y＝8代入②和③，
得，
解得，
所以原方程组的解为．
23．，
解：∵和的解相同，
∴，解得：，
将代入中，得：，
解得：
∴，
24．，
解：可列方程组．
②－①×2，解得．
把代入①，解得．
则原方程组的解为．
25．快车，慢车的平均速度分别为，
解：设快车，慢车的平均速度分别为、，
根据题意列方程组：，
解得，
故快车，慢车的平均速度分别为，．
26．(1)每个新工人每月可以安装辆自行车，每名熟练工每月安装辆自行车
(2)①共计3种方案，方案一：4名熟练工，2名新工人；方案二：3名熟练工，4名新工人；方案一：2名熟练工，6名新工人；②3名熟练工，4名新工人时，每月的总支出最少，为元
（1）设每个新工人每月可以安装辆自行车，则每名熟练工每月安装辆，
根据题意，可得：，
解得：，
即：（辆），
答：每个新工人每月可以安装辆自行车，则每名熟练工每月安装辆自行车；
（2）①平均每个月的安装数量为：（辆），设需要熟练工人，
∵每个新工人每月可以安装辆自行车，每名熟练工每月安装辆自行车，工厂招聘m名新工人，
∴熟练工的人数为：（人），
整理为：
∵，，均为正整数，
∴可以为2、4、6，
即：当时，；
当时，；
当时，；
∴总的方案有3种：
方案一：4名熟练工，2名新工人；
方案二：3名熟练工，4名新工人；
方案一：2名熟练工，6名新工人；
②∵要使新工人的人数多于熟练工，
则①中的方案二和方案三满足条件，
选择方案二时，每月总支出为：（元）；
选择方案三时，每月总支出为：（元）；
∵，
∴选择方案二时，每月总支出最少，且为元．
27．(1)，1；
(2)；
(3)
（1）解：（1）由定义可得：，，
，，
故答案为：，1；
（2）解方程组，
得，③
得，，，
得，，，
∴方程组的解为
（3）解：设共轭方程组为，其中，
将代入共轭方程组，
得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．