云南宣威市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年上学期期末考试试卷
高二年级 数学
（考试时间：120分钟；满分150分）
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，其中，则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.7
3. 为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度
B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度
D. 向左平行移动个单位长度
4. 已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
5. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 已知点，，为坐标原点，且，则（ ）
A.36 B.
C.6 D.
7. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ）.
A. B.
C. D.
8. 已知向量，则下列向量中与成的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知，，令，则下列结论正确的是
（ ）
A. 的定义域是
B. 的解集为
C. 是奇函数
D. 在区间上单调递增，在区间上单调递减
10. 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，两直线的交点为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 若，则或
11. 已知椭圆， 的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率
为。过且垂直于的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的直线方程是
C. 直线的斜率为
D. 的周长是8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知，则的最小值为___。
13. 若平面上两点，，则上满足的点的个数为____.
14. 设和分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有的条件下方程有实根的概率是____.
四、解答题
15.（13分）已知函数.
（1）求的值.
（2）求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值.
16.（15分）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；
（2）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差.
17.（15分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，。
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程。
18.（17分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是棱上一点（不包括端点）。
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离。
19.（17分）如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线和的斜率分别为，，求证：为定值；
（3）求证：直线过定点.
2025-2026学年上学期期末考试答案
高二年级 数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A
2.D
3.B
4.C
5.D
6.C
7.A
8.B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.ABC
10.ABC
11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.3
13.2
14.
四、解答题
15. 解：（1）将代入得：
。
（2）由，则，
令，因为，所以，
函数化为，其图象开口向下，对称轴为，
当时，取得最大值，，
此时，或；
当时，取得最小值，，
此时，。
16. 解：（1）由频率分布直方图的性质，所有矩形面积之和为，
即。
。
身高不低于厘米的频率为。
用频率估计概率，在全市随机取一名高中生，其身高不低于厘米的概率为。
（2）身高在区间与的频率之比为．
所以在区间抽取人，在区间抽取人．
设区间中个样本为，，，，均值，方差；
区间中个样本为，，，，均值，方差．
这人身高的均值．
所以这人身高的方差为．
17. 解：（1）已知圆以为圆心，且与直线相切，
圆心到直线的距离就是圆的半径，
可得圆的方程为．
（2）过点作，由垂径定理可知为中点，，且．
在中，，得．
当直线斜率不存在时：
直线的方程为，此时圆心到直线的距离，
满足，且根据垂径定理可推出，符合题意．
当直线斜率存在时：
设直线的方程为，即．
由点到直线的距离，根据点到直线距离公式．
即，两边平方得，解得．
则直线的方程为，整理得．
综上，直线的方程为或．
18. （1）证明：因为平面，平面，可知。
又因为，，，平面，可得平面。
而平面，所以。
（2）解：过点作，由于平面，所以平面。
以为原点，，，的正方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系。
已知，则，，，，。
设，，，
则，解得，，所以。
，，设，由，
令，可得，，所以。
，
设，由，
令，得，，所以。
设二面角的平面角为，已知，则。
由于，，
且，
可得，两边平方化简可得或。
所以点位于线段中点，或者八分之一 点，且靠近点.
（3）解：因为二面角的平面角为锐角，所以取，此时.
连接，，.
，.
设点到直线的距离为，
可得.
19. （1）解：已知椭圆的上顶点，则.
离心率，又.
将代入得.
由得，代入，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：圆，圆心.
设过点的切线方程为.
圆心到切线的距离等于半径，即.
两边平方得，化简得.
因为直线，的斜率，是该方程的两根，
根据韦达定理，，为定值.
（3）证明：联立，将代入：，
化简得.
设，，则；
.
因为，所以.
，
直线的斜率
直线方程为
令：则，
所以直线过定点。