云南宣威市第一中学2025-2026学年上学期期末考试试卷高三数学（含答案）
文档属性
| 名称 | 云南宣威市第一中学2025-2026学年上学期期末考试试卷高三数学（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 80.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-17 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年上学期期末考试试卷
高三年级 数学
（考试时间：120分钟；满分150分）
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A. ，，， B. ，，，
C. ， D. ，
8. 设，，定义余弦距离（O为原点）。若，，则的最小值为（ ）。
A. B.1
C. D.0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 在区间内只有1个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
三、填空题
12. 函数的零点是____（写出满足条件的一个零点即可）。
13. 已知向量与方向相同，，，则____。
14. 在中，，点满足，设，，若，则____。
四、解答题
15. 数列满足：，，。
（1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
（2）数列满足：，求数列的前项和。
16. 甲公司设计的健身APP可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”。根据统计数据，活跃用户有能完成健身计划，普通用户仅能完成健身计划。记活跃用户与普通用户的人数比值为。
（1）若，从未完成健身计划的用户中随机抽取1人，求该用户是普通用户的概率；
（2）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益，从每个未完成健身计划的用户处可获得20元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本。设一个用户给甲公司带来的净利润（净利润 = 收益 - 维护成本）为元，当，满足什么关系时，的数学期望与值无关？
17. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，点在线段上，平面。
（1）证明： 是 的中点；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数；
（3）若 ，其中 ，求证：.
19. 记斜 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知
，且，.
（1）求角 ；
（2）为边的中点，若，求的面积；
（3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围.
2025-2026学年上学期期末考试答案
高三年级 数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D【解析】先确定集合的元素：\（ ，所以\（ 。\（ ，所以\（ 。
故选：D.
2.D【解析】构造函数\（ ，对其求导： 。
已知 ，即 ，
又，，上单调递减。
因为 ，所以 ，即 ，
得。
故选：D.
3.C【解析】
化简得\（
当时，最小值为
最小正周期
故选：C.
4.D【解析】由正弦定理，得 ，
故，解得.
因，得 ，故 .
由内角和 ，得.
故选：D.
5.A【解析】因为，代入、，得，解得.
内切球体积.
故选：A.
6.D【解析】已知直线过右焦点且与圆切于点，
则圆心与切点连线和该直线垂直.
圆心与切点连线的斜率为，
所以直线斜率为，又直线过和，
则，解得 .
圆方程，切点代入得 .
由椭圆关系，得，即 .
椭圆离心率 .
故选：A.
7.C【解析】A选项：期望
.
方差，
标准差·
B选项：期望·
方差·
标准差·
C选项：期望·
方差
，
标准差·
D选项：期望·
方差
，
标准差·
，所以标准差最小的是C选项.
故答案为：C.
8.C【解析】由，可得且，
所以点在半圆上.
，其模.
设，则.
，，
，，
要使最小，需，最大.
当为时，
，
，此时
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.BC
10.BCD
11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. （或填，答案不唯一）
13.2
14.
四、解答题
15. 解：（1）已知 ，，
则
把代入得：
，又，所以。
所以是首项为3，公比为3的等比数列。
（2）由（1）知，又，所以。
则。
（此处省略号为原始内容省略部分）
化简得。
16. 解：（1）当时，设普通用户人数为，则活跃用户人数为，总用户数为。
活跃用户未完成计划人数：，
普通用户未完成计划人数：，
未完成计划总人数：，
从“未完成计划用户”中抽“普通用户”的概率：。
（2）设活跃用户人数为，普通用户人数为（）。
活跃用户：完成计划概率0.7，利润；未完成概率0.3，利润。
单活跃用户期望利润：。
普通用户：
完成计划概率0.2，利润；未完成概率0.8，利润。
单普通用户期望利润：。
总期望利润。
要与无关，即：（为常数），
展开得
对比系数：
故，即。
17.（1） 证明：以为坐标原点，分别以、、为、、轴，
建立空间直角坐标系.
则，，.
设，，其中，.
则：，，.
故，.
平面的一个法向量为.
由平面，得，即：.
所以是的中点.
（2） 解：由（1）知，则，.
又，，.
设平面的法向量为，
则：
解得，令，则，故.
设直线与平面所成角为，
则：，.
18. （1）解：计算 ，
求导得 ，故 ，即 .
（2）解：区间 ： 且 ，故
区间 ：导数 ，
因 （ 时 ），（），
故 ，函数单调递增.
端点值：，，
由零点存在定理， 内有且仅有1个零点.
综上， 在 上零点个数为1.
（3）证明 ：，
构造函数 （），
一阶导数 ，
二阶导数 .
当 时， 且 ，
故 ， 单调递增.
又 ，故时 ，， 单调递增.
而 ，故 时 ，，即 .
因且，故.
19. 解：（1）由可得，
，
而，故，
因为为斜三角形，故，故，
而，故即。
（2）因为的中线，所以。
两边同时平方，得，即。
在中，，由余弦定理可得，
解得，所以。
（3）在中，由正弦定理可得即。
在中，由正弦定理可得即。
因为四边形的内角和为，且，所以。
在中，
所以，则，
。
因为在中，所以，
则，在上单调递增。
因为，，
所以的取值范围为。
高三年级 数学
（考试时间：120分钟；满分150分）
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A. ，，， B. ，，，
C. ， D. ，
8. 设，，定义余弦距离（O为原点）。若，，则的最小值为（ ）。
A. B.1
C. D.0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 在区间内只有1个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
三、填空题
12. 函数的零点是____（写出满足条件的一个零点即可）。
13. 已知向量与方向相同，，，则____。
14. 在中，，点满足，设，，若，则____。
四、解答题
15. 数列满足：，，。
（1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
（2）数列满足：，求数列的前项和。
16. 甲公司设计的健身APP可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”。根据统计数据，活跃用户有能完成健身计划，普通用户仅能完成健身计划。记活跃用户与普通用户的人数比值为。
（1）若，从未完成健身计划的用户中随机抽取1人，求该用户是普通用户的概率；
（2）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益，从每个未完成健身计划的用户处可获得20元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本。设一个用户给甲公司带来的净利润（净利润 = 收益 - 维护成本）为元，当，满足什么关系时，的数学期望与值无关？
17. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，点在线段上，平面。
（1）证明： 是 的中点；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数；
（3）若 ，其中 ，求证：.
19. 记斜 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知
，且，.
（1）求角 ；
（2）为边的中点，若，求的面积；
（3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围.
2025-2026学年上学期期末考试答案
高三年级 数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D【解析】先确定集合的元素：\（ ，所以\（ 。\（ ，所以\（ 。
故选：D.
2.D【解析】构造函数\（ ，对其求导： 。
已知 ，即 ，
又，，上单调递减。
因为 ，所以 ，即 ，
得。
故选：D.
3.C【解析】
化简得\（
当时，最小值为
最小正周期
故选：C.
4.D【解析】由正弦定理，得 ，
故，解得.
因，得 ，故 .
由内角和 ，得.
故选：D.
5.A【解析】因为，代入、，得，解得.
内切球体积.
故选：A.
6.D【解析】已知直线过右焦点且与圆切于点，
则圆心与切点连线和该直线垂直.
圆心与切点连线的斜率为，
所以直线斜率为，又直线过和，
则，解得 .
圆方程，切点代入得 .
由椭圆关系，得，即 .
椭圆离心率 .
故选：A.
7.C【解析】A选项：期望
.
方差，
标准差·
B选项：期望·
方差·
标准差·
C选项：期望·
方差
，
标准差·
D选项：期望·
方差
，
标准差·
，所以标准差最小的是C选项.
故答案为：C.
8.C【解析】由，可得且，
所以点在半圆上.
，其模.
设，则.
，，
，，
要使最小，需，最大.
当为时，
，
，此时
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.BC
10.BCD
11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. （或填，答案不唯一）
13.2
14.
四、解答题
15. 解：（1）已知 ，，
则
把代入得：
，又，所以。
所以是首项为3，公比为3的等比数列。
（2）由（1）知，又，所以。
则。
（此处省略号为原始内容省略部分）
化简得。
16. 解：（1）当时，设普通用户人数为，则活跃用户人数为，总用户数为。
活跃用户未完成计划人数：，
普通用户未完成计划人数：，
未完成计划总人数：，
从“未完成计划用户”中抽“普通用户”的概率：。
（2）设活跃用户人数为，普通用户人数为（）。
活跃用户：完成计划概率0.7，利润；未完成概率0.3，利润。
单活跃用户期望利润：。
普通用户：
完成计划概率0.2，利润；未完成概率0.8，利润。
单普通用户期望利润：。
总期望利润。
要与无关，即：（为常数），
展开得
对比系数：
故，即。
17.（1） 证明：以为坐标原点，分别以、、为、、轴，
建立空间直角坐标系.
则，，.
设，，其中，.
则：，，.
故，.
平面的一个法向量为.
由平面，得，即：.
所以是的中点.
（2） 解：由（1）知，则，.
又，，.
设平面的法向量为，
则：
解得，令，则，故.
设直线与平面所成角为，
则：，.
18. （1）解：计算 ，
求导得 ，故 ，即 .
（2）解：区间 ： 且 ，故
区间 ：导数 ，
因 （ 时 ），（），
故 ，函数单调递增.
端点值：，，
由零点存在定理， 内有且仅有1个零点.
综上， 在 上零点个数为1.
（3）证明 ：，
构造函数 （），
一阶导数 ，
二阶导数 .
当 时， 且 ，
故 ， 单调递增.
又 ，故时 ，， 单调递增.
而 ，故 时 ，，即 .
因且，故.
19. 解：（1）由可得，
，
而，故，
因为为斜三角形，故，故，
而，故即。
（2）因为的中线，所以。
两边同时平方，得，即。
在中，，由余弦定理可得，
解得，所以。
（3）在中，由正弦定理可得即。
在中，由正弦定理可得即。
因为四边形的内角和为，且，所以。
在中，
所以，则，
。
因为在中，所以，
则，在上单调递增。
因为，，
所以的取值范围为。
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