人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时1等差数列的概念与通项公式课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时1等差数列的概念与通项公式课件(共27张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共27张PPT)
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时1 等差数列的概念与通项公式
1. 理解等差数列的概念，用文字、符号语言描述等差数列的概念.
2. 理解等差数列的通项公式.
等差数列通项公式的应用.
教学过程设计
我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函 数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等） 后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函 数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.类似地，在了 解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它 们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中 感受数学模型的现实意义与应用.下面，我们从一类取值规律比较简单的数 列入手.
等差数列的概念
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石 的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81.①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.②
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度，得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为
25.0，24.4，23.8，23.2，22.6.③
ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，….④
问题1：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数 的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你 能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
对于①，我们发现18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，换一种写法，就 是18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示数列①，那么有a2 －a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.
每一项与它的前一项的
差都等于同一个常数
问题2：从上述几个数列的规律中，你能抽象出等差数列的概念吗？
一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等 于 ，那么这个数列就叫做 ，这个常数叫做等差 数列的 ， 通常用字母 表示.
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A 叫做a与b的 .根据等差数列的定义可以知道， .
第2项
差
同一个常数
等差数列
公差
公差
d
等差中项
2A＝a＋b
等差数列的通项公式
问题3：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能根据等差数列的定 义推导它的通项公式吗？
a2－a1＝d，即a2＝a1＋d，
a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d，
a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d，
……
归纳可得，an＝a1＋（n－1）d（n≥2）.
当n＝1时，上式为a1＝a1＋（1－1）d＝a1.
这就是说，上式当n＝1时也成立.
an＝a1＋（n－
1）d
问题4：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数
有关？
由于an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），
所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f（x）＝dx＋（a1－ d）（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.
在平面直角坐标系中画出函数f（x）＝dx＋（a1－d）的图象，就得到一条 斜率为d，截距为a1－d的直线.在这条直线上描出点（1，f（1）），（2， f（2）），…，（n，f（n）），…，就得到了等
差数列{an}的图象.事实上，公差d≠0的等差数列
{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均
匀分布在直线f（x）＝dx＋（a1－d）上.d＞0，
a1－d＞0的情形如图4.2－1所示.
图4.2－1
反之，任给一次函数f（x）＝kx＋b（k，b
为常数），则f（1）＝k＋b，f（2）＝2k＋
b，…，f（n）＝nk＋b，…构成一个等差数
列{nk＋b}，其首项为（k＋b），公差为k.
目标检测
1. （1）已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
解：当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，
可得an－1＝5－2（n－1）＝7－2n.
于是d＝an－an－1＝（5－2n）－（7－2n）＝－2.
把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得a1＝5－2×1＝3；
所以，{an}的公差为－2，首项为3.
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋（n－1）d，
得an＝8－3（n－1）＝11－3n.
把n＝20代入上式，得a20＝11－3×20＝－49.
所以，这个数列的第20项是－49.
2. －401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
解：由a1＝－5，d＝－9－（－5）＝－4，
得an＝－5－4（n－1）＝－4n－1.
令－4n－1＝－401，解这个关于n的方程，得n＝100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项.
1. 判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30；
解：由82－95＝69－82＝56－69＝43－56＝30－43＝－13，
即该数列从第2项起，每一项与它的前一项之差为同一个常数－13，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为－13.
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.111 1，1.111 11；
解：通过观察可知，1.1－1＝0.1，1.11－1.1＝0.01，…，该数列从第2项起，每一项与它的前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
（3）1，－2，3，－4，5，－6；
解：通过观察可知，－2－1＝－3，3－（－2）＝5，…，该数列从第2项起，
每一项与它的前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
2. 求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
a1 a3 a5 a7 d
－7 8
15 2 －11 －24 －6.5
15
－11
－24
对第二行：由题意，得a3＝2，d＝－6.5，
所以a1＝a3－2d＝2＋13＝15，a5＝a1＋4d＝15－6.5×4＝－11，
a7＝a1＋6d＝15－6.5×6＝－24.故可填写表格如上表.
4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.求a4.
解：设等差数列{an}的公差为d，则在等差数列{an}中，a4＋a8＝2a6＝20，
∴a6＝10，
∴d＝a7－a6＝12－10＝2，
∴a4＝a7－3d＝12－6＝6.
5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，求这3个数.
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a2＝2，a3＝4，∴d＝a3－a2＝2，
∴a10＝a2＋8d＝18.故选D.
D
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：∵{an}为等差数列，设公差为d，由已知有5a1＋10d＝20，
∴a1＋2d＝4，即a3＝a1＋2d＝4.
A
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
A
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝3，∴3＋d＋3＋4d＝36，
∴d＝6，∴an＝3＋6（n－1）＝6n－3.
an＝
6n－3
解析：设公差为d（d＞0），则1＋2d＝（1＋d）2－4，故d＝2，
所以an＝2n－1.故答案为2n－1.
7. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，求a20.
2n－1
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
（1）等差数列的定义；
（2）等差数列的通项公式：an＝a1＋（n－1）d；
（3）等差数列的性质：若a，A，b成等差数列，则2A＝a＋b.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时1 等差数列的概念与通项公式
1. 理解等差数列的概念，用文字、符号语言描述等差数列的概念.
2. 理解等差数列的通项公式.
等差数列通项公式的应用.
教学过程设计
我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函 数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等） 后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函 数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.类似地，在了 解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它 们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中 感受数学模型的现实意义与应用.下面，我们从一类取值规律比较简单的数 列入手.
等差数列的概念
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石 的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81.①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.②
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度，得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为
25.0，24.4，23.8，23.2，22.6.③
ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，….④
问题1：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数 的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你 能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
对于①，我们发现18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，换一种写法，就 是18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示数列①，那么有a2 －a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.
每一项与它的前一项的
差都等于同一个常数
问题2：从上述几个数列的规律中，你能抽象出等差数列的概念吗？
一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等 于 ，那么这个数列就叫做 ，这个常数叫做等差 数列的 ， 通常用字母 表示.
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A 叫做a与b的 .根据等差数列的定义可以知道， .
第2项
差
同一个常数
等差数列
公差
公差
d
等差中项
2A＝a＋b
等差数列的通项公式
问题3：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能根据等差数列的定 义推导它的通项公式吗？
a2－a1＝d，即a2＝a1＋d，
a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d，
a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d，
……
归纳可得，an＝a1＋（n－1）d（n≥2）.
当n＝1时，上式为a1＝a1＋（1－1）d＝a1.
这就是说，上式当n＝1时也成立.
an＝a1＋（n－
1）d
问题4：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数
有关？
由于an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），
所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f（x）＝dx＋（a1－ d）（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.
在平面直角坐标系中画出函数f（x）＝dx＋（a1－d）的图象，就得到一条 斜率为d，截距为a1－d的直线.在这条直线上描出点（1，f（1）），（2， f（2）），…，（n，f（n）），…，就得到了等
差数列{an}的图象.事实上，公差d≠0的等差数列
{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均
匀分布在直线f（x）＝dx＋（a1－d）上.d＞0，
a1－d＞0的情形如图4.2－1所示.
图4.2－1
反之，任给一次函数f（x）＝kx＋b（k，b
为常数），则f（1）＝k＋b，f（2）＝2k＋
b，…，f（n）＝nk＋b，…构成一个等差数
列{nk＋b}，其首项为（k＋b），公差为k.
目标检测
1. （1）已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
解：当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，
可得an－1＝5－2（n－1）＝7－2n.
于是d＝an－an－1＝（5－2n）－（7－2n）＝－2.
把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得a1＝5－2×1＝3；
所以，{an}的公差为－2，首项为3.
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋（n－1）d，
得an＝8－3（n－1）＝11－3n.
把n＝20代入上式，得a20＝11－3×20＝－49.
所以，这个数列的第20项是－49.
2. －401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
解：由a1＝－5，d＝－9－（－5）＝－4，
得an＝－5－4（n－1）＝－4n－1.
令－4n－1＝－401，解这个关于n的方程，得n＝100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项.
1. 判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30；
解：由82－95＝69－82＝56－69＝43－56＝30－43＝－13，
即该数列从第2项起，每一项与它的前一项之差为同一个常数－13，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为－13.
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.111 1，1.111 11；
解：通过观察可知，1.1－1＝0.1，1.11－1.1＝0.01，…，该数列从第2项起，每一项与它的前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
（3）1，－2，3，－4，5，－6；
解：通过观察可知，－2－1＝－3，3－（－2）＝5，…，该数列从第2项起，
每一项与它的前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
2. 求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
a1 a3 a5 a7 d
－7 8
15 2 －11 －24 －6.5
15
－11
－24
对第二行：由题意，得a3＝2，d＝－6.5，
所以a1＝a3－2d＝2＋13＝15，a5＝a1＋4d＝15－6.5×4＝－11，
a7＝a1＋6d＝15－6.5×6＝－24.故可填写表格如上表.
4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.求a4.
解：设等差数列{an}的公差为d，则在等差数列{an}中，a4＋a8＝2a6＝20，
∴a6＝10，
∴d＝a7－a6＝12－10＝2，
∴a4＝a7－3d＝12－6＝6.
5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，求这3个数.
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a2＝2，a3＝4，∴d＝a3－a2＝2，
∴a10＝a2＋8d＝18.故选D.
D
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：∵{an}为等差数列，设公差为d，由已知有5a1＋10d＝20，
∴a1＋2d＝4，即a3＝a1＋2d＝4.
A
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
A
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝3，∴3＋d＋3＋4d＝36，
∴d＝6，∴an＝3＋6（n－1）＝6n－3.
an＝
6n－3
解析：设公差为d（d＞0），则1＋2d＝（1＋d）2－4，故d＝2，
所以an＝2n－1.故答案为2n－1.
7. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，求a20.
2n－1
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
（1）等差数列的定义；
（2）等差数列的通项公式：an＝a1＋（n－1）d；
（3）等差数列的性质：若a，A，b成等差数列，则2A＝a＋b.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？