人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时2等差数列的性质及应用课件(共31张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时2等差数列的性质及应用课件(共31张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时2 等差数列的性质及应用
理解并掌握等差数列的性质，会运用等差数列解决一些简单的实际问题.
等差数列性质的推导及应用.
教学过程设计
复习回顾
等差数列：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项 的 都等于 ，那么这个数列就叫做 ，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
已知数列{an}是等差数列，首项是a1，公差是d，则an＝ .
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A 叫做a与b的 .根据等差数列的定义可以知道， .
第2项
差
同一个常数
等差数列
a1＋（n－1）d
等差中项
2A＝a＋b
等差数列的重要性质
1. 已知等差数列{an}的第m项是am，公差为d，则an＝ .
2. 已知等差数列{an}的第m项是am，第n项是an，则公差d＝ .
am＋（n－m）d
3. 已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求证：ap ＋aq＝as＋at.
证明：设数列{an}的公差为d，则
ap＝a1＋（p－1）d，
aq＝a1＋（q－1）d，
as＝a1＋（s－1）d，
at＝a1＋（t－1）d，
所以ap＋aq＝2a1＋（p＋q－2）d，as＋at＝2a1＋（s＋t－2）d.
因为p＋q＝s＋t，
所以ap＋aq＝as＋at.
问题1：图4.2－2是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一 性质吗？
图4.2－2
∵p＋q＝s＋t，
∴p－s＝t－q，
∴ap－as＝at－aq，
∴ap＋aq＝as＋at.
方法二：设点（a，b）为点（p，ap）与点（q，aq）的中点，
则有p＋q＝2a，ap＋aq＝2b.又p＋q＝s＋t，
∴s＋t＝2a，
∴点（a，b）也是点（s，as）与点（t，at）的中点，
∴as＋at＝2b，
∴ap＋aq＝as＋at.
问题2：am＋an＝am＋n吗？
一般情况下，am＋an≠am＋n.
利用等差数列构造新数列
例1 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
（1）求数列{bn}的通项公式.
（2）b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明 理由.
分析：（1）{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可 以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn} 中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是不是 {an}的项.
解：（1）设数列{bn}的公差为d'.
由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.
因为b5－b1＝4d'，
所以4d'＝8，
所以d'＝2.
所以bn＝2＋（n－1）×2＝2n.
所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
（2）数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项，这些下标构 成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.
令4n－3＝29，解得n＝8.
所以b29是数列{an}的第8项.
问题3：如果在a1和a2间插入k个数，那么新数列的公差是多少？
如果在a1和a2间插入k个数，那么a1还是新数列中的第一项，a2成为了新数 列中的第k＋2项，
问题4：对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？
解：由（1）知，b29＝2×29＝58，又an＝2＋（n－1）×8＝8n－6，令8n －6＝58，解得n＝8.所以b29是数列{an}的第8项.
证明及判断等差数列的方法
问题5：如何证明等差数列？
用等差数列的定义.
例2 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足 cn＝an＋2bn.
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明 理由.
（2）若{an}，{bn}的公差都等于2，a1＝b1＝1，求数列{cn}的通项公式.
解：（1）数列{cn}是等差数列.证明如下：
因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，
所以an＝a1＋（n－1）d1，bn＝b1＋（n－1）d2.
又因为cn＝an＋2bn＝（a1＋2b1）＋（n－1）·（d1＋2d2），
故cn＋1－cn＝[（a1＋2b1）＋n（d1＋2d2）]－[（a1＋2b1）＋（n－1）（d1＋2d2）]＝d1＋2d2.而c1＝a1＋2b1，
所以数列{cn}是以a1＋2b1为首项，d1＋2d2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，数列{cn}是以a1＋2b1为首项，d1＋2d2为公差的等差数 列，而c1＝a1＋2b1＝3，d1＋2d2＝6，
所以cn＝3＋6（n－1）＝6n－3.
问题6：已知数列{an}，{bn}都是等差数列，数列{cn}满足cn＝pan＋qbn （p，q是常数），则数列{cn}是不是等差数列？
若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，且它们的项数相同，则数列 {pan＋qbn}（p，q是常数）是公差为pd1＋qd2的等差数列.
问题7：若数列{an}的通项公式为an＝kn＋b（k，b为常数），该数列是等 差数列吗？
因为an－an－1＝kn＋b－[k（n－1）＋b]＝k为常数，
所以{an}是以a1为首项，k为公差的等差数列.
问题8：若数列{an}满足an＋1－an＝an－an－1（n≥2），该数列是等差数 列吗？
是的，此形式可以用来判断数列是等差数列.
目标检测
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
解析：由等差数列性质可知，
∵4＋8＝2＋10，
∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.
B
2. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是 等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
解：由题意可知，将无穷等差数列{an}的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为am＋1，am＋2，am＋3，…，这个新数列是等差数列，首项为am＋1＝a1＋md，公差为d.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
解：由题意可知，取出无穷等差数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数
列为a1，a3，a5，…，a2n＋1，…，这个新数列是等差数列，首项为a1，公差
为2d.
（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数 列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
解：由题意可知，取出无穷等差数列{an}中所有序号为7的倍数的项， 组成一个新的数列为a7，a14，a21，…，a7n，…，这个新数列是等差数列， 首项为a7＝a1＋6d，公差为a14－a7＝7d.
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
3. 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化， 其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元（d为正常 数）.已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购 进价值的5％，设备需在这年年初报废.请确定d的取值范围.
1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每 一排都比前一排多2个座位.你能用an表示第n排的座位数吗？第10排有多少 个座位？
解：由条件可知每排座位数成等差数列，首项a1＝15，d＝2，
则an＝15＋（n－1）×2＝2n＋13，a10＝2×10＋13＝33.
综上可知，an＝2n＋13，第10排有33个座位.
知a1＝18，a2＝15，a3＝12，a4＝9，a5＝6，a6＝3，
如图所示.
（答案图）
3. 在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，求am＋n.
A. a1＋a101＞0 B. a1＋a101＜0
C. a3＋a99＝0 D. a51＝51
解析：根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
所以a51＝0，
所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.
C
A. 64 B. 96 C. 128 D. 160
C
3. 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共 3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
4. 设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5 ＝ .
解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an＋bn}也是等差数列.
根据等差数列的性质，a1＋b1，a3＋b3，a5＋b5成等差数列，
因而a5＋b5＝2×21－7＝35.
35
6. 虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n＝1， 2，…，10）时爬行的距离.
时间/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距离/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离和时 间之间的关系吗？
解：设虎甲虫爬行的距离s构成数列{an}，
可得a1＝2.50，a2＝5.03，a3＝7.55，a4＝10.05，…，
其中d1＝a2－a1＝5.03－2.50≈2.5，d2＝a3－a2＝7.55－5.03≈2.5，
d3＝a4－a3＝10.05－7.55＝2.5，可得每一项与前一项的差都近似为2.5，
所以构成一个首项为a1＝2.50，公差为d＝2.5的等差数列，
所以虎甲虫爬行的距离s与时间n之间的关系近似为s＝2.5＋（n－1） ×2.5＝2.5n.
（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到 0.01 m）？它连续爬行10 m需要多长时间（精确到0.1 s）？
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等差数列的性质；
（2）用某一项表示通项：已知等差数列{an}的第m项是am，公差是d，则 an＝am＋（n－m）d；
（4）已知等差数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t， 则ap＋aq＝as＋at；
（5）等差数列的实际应用.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时2 等差数列的性质及应用
理解并掌握等差数列的性质，会运用等差数列解决一些简单的实际问题.
等差数列性质的推导及应用.
教学过程设计
复习回顾
等差数列：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项 的 都等于 ，那么这个数列就叫做 ，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
已知数列{an}是等差数列，首项是a1，公差是d，则an＝ .
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A 叫做a与b的 .根据等差数列的定义可以知道， .
第2项
差
同一个常数
等差数列
a1＋（n－1）d
等差中项
2A＝a＋b
等差数列的重要性质
1. 已知等差数列{an}的第m项是am，公差为d，则an＝ .
2. 已知等差数列{an}的第m项是am，第n项是an，则公差d＝ .
am＋（n－m）d
3. 已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求证：ap ＋aq＝as＋at.
证明：设数列{an}的公差为d，则
ap＝a1＋（p－1）d，
aq＝a1＋（q－1）d，
as＝a1＋（s－1）d，
at＝a1＋（t－1）d，
所以ap＋aq＝2a1＋（p＋q－2）d，as＋at＝2a1＋（s＋t－2）d.
因为p＋q＝s＋t，
所以ap＋aq＝as＋at.
问题1：图4.2－2是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一 性质吗？
图4.2－2
∵p＋q＝s＋t，
∴p－s＝t－q，
∴ap－as＝at－aq，
∴ap＋aq＝as＋at.
方法二：设点（a，b）为点（p，ap）与点（q，aq）的中点，
则有p＋q＝2a，ap＋aq＝2b.又p＋q＝s＋t，
∴s＋t＝2a，
∴点（a，b）也是点（s，as）与点（t，at）的中点，
∴as＋at＝2b，
∴ap＋aq＝as＋at.
问题2：am＋an＝am＋n吗？
一般情况下，am＋an≠am＋n.
利用等差数列构造新数列
例1 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
（1）求数列{bn}的通项公式.
（2）b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明 理由.
分析：（1）{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可 以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn} 中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是不是 {an}的项.
解：（1）设数列{bn}的公差为d'.
由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.
因为b5－b1＝4d'，
所以4d'＝8，
所以d'＝2.
所以bn＝2＋（n－1）×2＝2n.
所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
（2）数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项，这些下标构 成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.
令4n－3＝29，解得n＝8.
所以b29是数列{an}的第8项.
问题3：如果在a1和a2间插入k个数，那么新数列的公差是多少？
如果在a1和a2间插入k个数，那么a1还是新数列中的第一项，a2成为了新数 列中的第k＋2项，
问题4：对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？
解：由（1）知，b29＝2×29＝58，又an＝2＋（n－1）×8＝8n－6，令8n －6＝58，解得n＝8.所以b29是数列{an}的第8项.
证明及判断等差数列的方法
问题5：如何证明等差数列？
用等差数列的定义.
例2 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足 cn＝an＋2bn.
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明 理由.
（2）若{an}，{bn}的公差都等于2，a1＝b1＝1，求数列{cn}的通项公式.
解：（1）数列{cn}是等差数列.证明如下：
因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，
所以an＝a1＋（n－1）d1，bn＝b1＋（n－1）d2.
又因为cn＝an＋2bn＝（a1＋2b1）＋（n－1）·（d1＋2d2），
故cn＋1－cn＝[（a1＋2b1）＋n（d1＋2d2）]－[（a1＋2b1）＋（n－1）（d1＋2d2）]＝d1＋2d2.而c1＝a1＋2b1，
所以数列{cn}是以a1＋2b1为首项，d1＋2d2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，数列{cn}是以a1＋2b1为首项，d1＋2d2为公差的等差数 列，而c1＝a1＋2b1＝3，d1＋2d2＝6，
所以cn＝3＋6（n－1）＝6n－3.
问题6：已知数列{an}，{bn}都是等差数列，数列{cn}满足cn＝pan＋qbn （p，q是常数），则数列{cn}是不是等差数列？
若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，且它们的项数相同，则数列 {pan＋qbn}（p，q是常数）是公差为pd1＋qd2的等差数列.
问题7：若数列{an}的通项公式为an＝kn＋b（k，b为常数），该数列是等 差数列吗？
因为an－an－1＝kn＋b－[k（n－1）＋b]＝k为常数，
所以{an}是以a1为首项，k为公差的等差数列.
问题8：若数列{an}满足an＋1－an＝an－an－1（n≥2），该数列是等差数 列吗？
是的，此形式可以用来判断数列是等差数列.
目标检测
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
解析：由等差数列性质可知，
∵4＋8＝2＋10，
∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.
B
2. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是 等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
解：由题意可知，将无穷等差数列{an}的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为am＋1，am＋2，am＋3，…，这个新数列是等差数列，首项为am＋1＝a1＋md，公差为d.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
解：由题意可知，取出无穷等差数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数
列为a1，a3，a5，…，a2n＋1，…，这个新数列是等差数列，首项为a1，公差
为2d.
（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数 列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
解：由题意可知，取出无穷等差数列{an}中所有序号为7的倍数的项， 组成一个新的数列为a7，a14，a21，…，a7n，…，这个新数列是等差数列， 首项为a7＝a1＋6d，公差为a14－a7＝7d.
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
3. 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化， 其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元（d为正常 数）.已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购 进价值的5％，设备需在这年年初报废.请确定d的取值范围.
1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每 一排都比前一排多2个座位.你能用an表示第n排的座位数吗？第10排有多少 个座位？
解：由条件可知每排座位数成等差数列，首项a1＝15，d＝2，
则an＝15＋（n－1）×2＝2n＋13，a10＝2×10＋13＝33.
综上可知，an＝2n＋13，第10排有33个座位.
知a1＝18，a2＝15，a3＝12，a4＝9，a5＝6，a6＝3，
如图所示.
（答案图）
3. 在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，求am＋n.
A. a1＋a101＞0 B. a1＋a101＜0
C. a3＋a99＝0 D. a51＝51
解析：根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
所以a51＝0，
所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.
C
A. 64 B. 96 C. 128 D. 160
C
3. 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共 3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
4. 设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5 ＝ .
解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an＋bn}也是等差数列.
根据等差数列的性质，a1＋b1，a3＋b3，a5＋b5成等差数列，
因而a5＋b5＝2×21－7＝35.
35
6. 虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n＝1， 2，…，10）时爬行的距离.
时间/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距离/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离和时 间之间的关系吗？
解：设虎甲虫爬行的距离s构成数列{an}，
可得a1＝2.50，a2＝5.03，a3＝7.55，a4＝10.05，…，
其中d1＝a2－a1＝5.03－2.50≈2.5，d2＝a3－a2＝7.55－5.03≈2.5，
d3＝a4－a3＝10.05－7.55＝2.5，可得每一项与前一项的差都近似为2.5，
所以构成一个首项为a1＝2.50，公差为d＝2.5的等差数列，
所以虎甲虫爬行的距离s与时间n之间的关系近似为s＝2.5＋（n－1） ×2.5＝2.5n.
（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到 0.01 m）？它连续爬行10 m需要多长时间（精确到0.1 s）？
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等差数列的性质；
（2）用某一项表示通项：已知等差数列{an}的第m项是am，公差是d，则 an＝am＋（n－m）d；
（4）已知等差数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t， 则ap＋aq＝as＋at；
（5）等差数列的实际应用.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？