人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时4等差数列前n项和的最值及应用课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时4等差数列前n项和的最值及应用课件(共25张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时4 等差数列前n项和的最值及应用
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题.
重点：等差数列的前n项和公式的应用.
难点：灵活运用等差数列的前n项和公式解决问题.
教学过程设计
复习回顾
等差数列前n项和的数学应用
等差数列前n项和Sn的最值问题.
（1）利用an求Sn的最值
当a1＞0，d＜0时，前n项和有最 值，可由 ，求得n 的值；
当a1＜0，d＞0时，前n项和有最 值，可由 ，求得n 的值.
大
小
（2）利用Sn求最值
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是 否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在， 请说明理由.
解：方法一：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，
所以{an}是递减数列.
又由an＝10＋（n－1）×（－2）＝－2n＋12，可知：
当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0.
所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞….
也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.
所以Sn的最大值为30.
问题1：想一想，这是为什么？
由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当 n≥k时，an＜0，Sn递减.这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有 正数项的和.
图4.2－5
问题2：在例1中，当d＝－3.5时，Sn有最大值吗？结合例1考虑更一般的等 差数列前n项和的最大值问题.
等差数列前n项和的实际应用
例2 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从 第2排起每排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}.设数列{an} 的前n项和为Sn.由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，
所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
目标检测
已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n项和为Sn，Sn是否存在最 值？如果存在，求出取得最值时n的值.
解：由已知可知等差数列的首项a1＝－4.2，公差d＝－3.7＋4.2＝0.5，
则数列的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝－4.2＋（n－1）×0.5＝0.5n－ 4.7.令an＞0，即0.5n－4.7＞0，又n∈N*，
∴n＞9且n∈N*，即数列的前9项都是负数，第10项为正数，故当n＝9时， Sn取得最小值.
1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可 以选择价值2 000元的奖品；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到 该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天 增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者领取的奖品价值更高？
3. 求集合M＝{m｜m＝2n－1，n∈N*，且m＜60}中元素的个数，并求这 些元素的和.
解：an≤0 （n－2）（2n－15）≤0，且2n－15≠0，n∈N*，
解得n＝2，3，4，5，6，7.
当n＝1和n≥8时，an＞0，
所以Sn取得最小值时，n＝7.
A. 当a3＝7时，a7＝15
B. a4的取值范围是[5，15）
C. 当a7为整数时，a7的最大值为29
D. 公差d的取值范围是（0，5）
ABC
解析：当a2＝5，a3＝7时，公差d＝2，a7＝a3＋4d＝7＋8＝15，
故A正确；因为{an}是正项等差数列，
所以a1＝5－d＞0，即d＜5，且d≥0，
所以公差d的取值范围是[0，5），故D错误；
因为a4＝5＋2d，所以a4的取值范围是[5，15），故B正确；
a7＝5＋5d∈[5，30），当a7为整数时，a7的最大值为29，故C正确.
故选ABC.
2. 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝ 时， {an}的前n项和最大.
解析：由等差数列的性质得a7＋a8＋a9＝3a8＞0，
所以a8＞0，又因为a7＋a10＜0，
所以a8＋a9＜0，所以a9＜0，
所以S8＞S7，S8＞S9，故数列的前8项最大.
8
3. 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时 Sn取最大值，则d的取值范围为 .
5. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值.
6. 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆车于14时出 发，以后每间隔10 min发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在18时 停下来休息.
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，这个车队当天一共行驶了多 少千米？
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）求等差数列前n项和的最值的方法：
（2）运用等差数列前n项和求解实际问题.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时4 等差数列前n项和的最值及应用
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题.
重点：等差数列的前n项和公式的应用.
难点：灵活运用等差数列的前n项和公式解决问题.
教学过程设计
复习回顾
等差数列前n项和的数学应用
等差数列前n项和Sn的最值问题.
（1）利用an求Sn的最值
当a1＞0，d＜0时，前n项和有最 值，可由 ，求得n 的值；
当a1＜0，d＞0时，前n项和有最 值，可由 ，求得n 的值.
大
小
（2）利用Sn求最值
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是 否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在， 请说明理由.
解：方法一：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，
所以{an}是递减数列.
又由an＝10＋（n－1）×（－2）＝－2n＋12，可知：
当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0.
所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞….
也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.
所以Sn的最大值为30.
问题1：想一想，这是为什么？
由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当 n≥k时，an＜0，Sn递减.这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有 正数项的和.
图4.2－5
问题2：在例1中，当d＝－3.5时，Sn有最大值吗？结合例1考虑更一般的等 差数列前n项和的最大值问题.
等差数列前n项和的实际应用
例2 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从 第2排起每排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}.设数列{an} 的前n项和为Sn.由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，
所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
目标检测
已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n项和为Sn，Sn是否存在最 值？如果存在，求出取得最值时n的值.
解：由已知可知等差数列的首项a1＝－4.2，公差d＝－3.7＋4.2＝0.5，
则数列的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝－4.2＋（n－1）×0.5＝0.5n－ 4.7.令an＞0，即0.5n－4.7＞0，又n∈N*，
∴n＞9且n∈N*，即数列的前9项都是负数，第10项为正数，故当n＝9时， Sn取得最小值.
1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可 以选择价值2 000元的奖品；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到 该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天 增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者领取的奖品价值更高？
3. 求集合M＝{m｜m＝2n－1，n∈N*，且m＜60}中元素的个数，并求这 些元素的和.
解：an≤0 （n－2）（2n－15）≤0，且2n－15≠0，n∈N*，
解得n＝2，3，4，5，6，7.
当n＝1和n≥8时，an＞0，
所以Sn取得最小值时，n＝7.
A. 当a3＝7时，a7＝15
B. a4的取值范围是[5，15）
C. 当a7为整数时，a7的最大值为29
D. 公差d的取值范围是（0，5）
ABC
解析：当a2＝5，a3＝7时，公差d＝2，a7＝a3＋4d＝7＋8＝15，
故A正确；因为{an}是正项等差数列，
所以a1＝5－d＞0，即d＜5，且d≥0，
所以公差d的取值范围是[0，5），故D错误；
因为a4＝5＋2d，所以a4的取值范围是[5，15），故B正确；
a7＝5＋5d∈[5，30），当a7为整数时，a7的最大值为29，故C正确.
故选ABC.
2. 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝ 时， {an}的前n项和最大.
解析：由等差数列的性质得a7＋a8＋a9＝3a8＞0，
所以a8＞0，又因为a7＋a10＜0，
所以a8＋a9＜0，所以a9＜0，
所以S8＞S7，S8＞S9，故数列的前8项最大.
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3. 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时 Sn取最大值，则d的取值范围为 .
5. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值.
6. 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆车于14时出 发，以后每间隔10 min发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在18时 停下来休息.
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，这个车队当天一共行驶了多 少千米？
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）求等差数列前n项和的最值的方法：
（2）运用等差数列前n项和求解实际问题.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？