人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时1等比数列的概念与通项公式课件(共24张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时1等比数列的概念与通项公式课件(共24张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
第四章 数列
第三单元 等比数列
课时1 等比数列的概念与通项公式
1. 理解等比数列及等比中项的概念.
2. 掌握等比数列的通项公式.
等比数列的概念及通项公式的推导.
教学过程设计
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出 发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
就像等差数列的“差”是常数一样，可以研究数列的每一项与前一项的 比值是常数的数列.这种数列在运算上主要涉及乘法和除法，与等差数列的 加法和减法形成鲜明对比.研究等比数列可以帮助我们更好地理解指数增长 和衰减的现象，这在金融、生物学等领域都有广泛应用.
等比数列的概念
请看下面几个问题中的数列.
1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92，93，…，910； ①
100，1002，1003，…，10010； ②
5，52，53，…，510. ③
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂 繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个 数依次是
2，4，8，16，32，64，…. ⑤
4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每 年末得到的本利和分别是
a（1＋r），a（1＋r）2，a（1＋r）3，a（1＋r）4，a（1＋r）5. ⑥
注：复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期 的利息.
问题1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的 取值规律？你发现了什么规律？
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
②每一项与它的前一项的比都等于100.
③每一项与它的前一项的比都等于5.
⑤每一项与它的前一项的比都等于2.
⑥每一项与它的前一项的比都等于1＋r.
比
等比数列
公
比
q
q≠0
等比数
列
G2＝ab
等比数列的通项公式
问题3：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q.根据等比数列的定义，可得an＋1 ＝ ，
所以a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，……
由此可得an＝ （n≥2）.
又a1＝a1q0＝a1q1－1，这就是说，当n＝1时上式也成立.
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ .
an·q
a1qn－1
a1qn－1
问题4：等比数列与指数函数有什么关系呢？
图4.3－1
反之，任给函数f（x）＝kax（k，a为常数，k≠0，
a＞0，且a≠1），则 ，f（2）＝ka2，
…，f（n）＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首
项为 ，公比为 .
f（1）＝ka
ka
a
问题5：等比数列的单调性由哪些因素影响？
等比数列的单调性与首项a1，公比q有关：
当a1＞0，q＞1时，等比数列{an}是 数列；
当a1＞0，0＜q＜1时，等比数列{an}是 数列；
当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}是 数列；
当a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是 数列；
当q＜0时，等比数列{an}是摆动数列；
当q＝1时，等比数列{an}是常数列.
递增
递减
递增
递减
目标检测
1. 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
2. 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
解：由题意，得am＝a1qm－1①，
an＝a1qn－1②.
3. 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于 80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
1. 判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1）3，9，15，21，27，33；
（2）1，1.1，1.21，1.331，1.464 1；
（4）4，－8，16，－32，64，－128.
2. 已知{an}是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.
a1 a3 a5 a7 q
2 4 8 16
50 2 0.08 0.003 2 0.2
4
16
50
0.08
0.003 2
3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60.求a1和公比q.
4. 对于数列{an}，若点（n，an）（n∈N*）都在函数y＝cqx的图象上，其 中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是否为等比数列， 并给出证明.
1
2. 在等比数列{an}中，
（1）a4＝27，q＝－3，求a7；
解：a7＝a4q3＝－729.
（2）a2＝18，a4＝8，求a1与q；
（3）a5＝4，a7＝6，求a9.
（2）a4＋a2b2与b4＋a2b2（a≠0，b≠0）.
4. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2025年全年生产新能源汽车5 000 辆.如果在后续的几年中，后一年的新能源汽车的产量都是前一年的150％， 那么2033年全年约生产新能源汽车多少辆？（1.58≈25.6）
解：根据题意，从2025年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设 为{an}，则a1＝5 000，公比q＝150％＝1.5，
所以an＝a1qn－1＝5 000×1.5n－1，
则2033年全年约生产新能源汽车为a9＝5 000×1.58≈128 000（辆），
故2033年全年约生产新能源汽车128 000辆.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等比数列的概念.
（2）等比数列的通项公式an＝a1qn－1.
（3）等比数列{an}的概念的应用：
②an＝amqn－m.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第三单元 等比数列
课时1 等比数列的概念与通项公式
1. 理解等比数列及等比中项的概念.
2. 掌握等比数列的通项公式.
等比数列的概念及通项公式的推导.
教学过程设计
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出 发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
就像等差数列的“差”是常数一样，可以研究数列的每一项与前一项的 比值是常数的数列.这种数列在运算上主要涉及乘法和除法，与等差数列的 加法和减法形成鲜明对比.研究等比数列可以帮助我们更好地理解指数增长 和衰减的现象，这在金融、生物学等领域都有广泛应用.
等比数列的概念
请看下面几个问题中的数列.
1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92，93，…，910； ①
100，1002，1003，…，10010； ②
5，52，53，…，510. ③
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂 繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个 数依次是
2，4，8，16，32，64，…. ⑤
4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每 年末得到的本利和分别是
a（1＋r），a（1＋r）2，a（1＋r）3，a（1＋r）4，a（1＋r）5. ⑥
注：复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期 的利息.
问题1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的 取值规律？你发现了什么规律？
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
②每一项与它的前一项的比都等于100.
③每一项与它的前一项的比都等于5.
⑤每一项与它的前一项的比都等于2.
⑥每一项与它的前一项的比都等于1＋r.
比
等比数列
公
比
q
q≠0
等比数
列
G2＝ab
等比数列的通项公式
问题3：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q.根据等比数列的定义，可得an＋1 ＝ ，
所以a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，……
由此可得an＝ （n≥2）.
又a1＝a1q0＝a1q1－1，这就是说，当n＝1时上式也成立.
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ .
an·q
a1qn－1
a1qn－1
问题4：等比数列与指数函数有什么关系呢？
图4.3－1
反之，任给函数f（x）＝kax（k，a为常数，k≠0，
a＞0，且a≠1），则 ，f（2）＝ka2，
…，f（n）＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首
项为 ，公比为 .
f（1）＝ka
ka
a
问题5：等比数列的单调性由哪些因素影响？
等比数列的单调性与首项a1，公比q有关：
当a1＞0，q＞1时，等比数列{an}是 数列；
当a1＞0，0＜q＜1时，等比数列{an}是 数列；
当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}是 数列；
当a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是 数列；
当q＜0时，等比数列{an}是摆动数列；
当q＝1时，等比数列{an}是常数列.
递增
递减
递增
递减
目标检测
1. 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
2. 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
解：由题意，得am＝a1qm－1①，
an＝a1qn－1②.
3. 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于 80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
1. 判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1）3，9，15，21，27，33；
（2）1，1.1，1.21，1.331，1.464 1；
（4）4，－8，16，－32，64，－128.
2. 已知{an}是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.
a1 a3 a5 a7 q
2 4 8 16
50 2 0.08 0.003 2 0.2
4
16
50
0.08
0.003 2
3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60.求a1和公比q.
4. 对于数列{an}，若点（n，an）（n∈N*）都在函数y＝cqx的图象上，其 中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是否为等比数列， 并给出证明.
1
2. 在等比数列{an}中，
（1）a4＝27，q＝－3，求a7；
解：a7＝a4q3＝－729.
（2）a2＝18，a4＝8，求a1与q；
（3）a5＝4，a7＝6，求a9.
（2）a4＋a2b2与b4＋a2b2（a≠0，b≠0）.
4. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2025年全年生产新能源汽车5 000 辆.如果在后续的几年中，后一年的新能源汽车的产量都是前一年的150％， 那么2033年全年约生产新能源汽车多少辆？（1.58≈25.6）
解：根据题意，从2025年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设 为{an}，则a1＝5 000，公比q＝150％＝1.5，
所以an＝a1qn－1＝5 000×1.5n－1，
则2033年全年约生产新能源汽车为a9＝5 000×1.58≈128 000（辆），
故2033年全年约生产新能源汽车128 000辆.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等比数列的概念.
（2）等比数列的通项公式an＝a1qn－1.
（3）等比数列{an}的概念的应用：
②an＝amqn－m.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？