人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时3等差数列的前n项和公式及性质课件(共36张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第二单元等差数列课时3等差数列的前n项和公式及性质课件(共36张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时3 等差数列的前n项和公式及性质
1. 推导并掌握等差数列的前n项和公式.
2. 能说出“倒序相加法”的特点、适用条件以及操作步骤.
重点：等差数列的前n项和公式的推导.
难点：等差数列的前n项和公式的应用.
教学过程设计
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识 解决等差数列的求和问题.
高斯求和及推广
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出 了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5 050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，… ①
前100项的和的问题.
问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中 得到求数列①的前n项和的方法吗？
对于数列①，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为
（a1＋a100）＋（a2＋a99）＋…＋（a50＋a51）＝101×50＝5 050.
可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51
这一特殊关系，这就是上一课时环节二性质3的应用，它使不同数的求和问 题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算.
问题2：你能用高斯的方法求1＋2＋…＋100＋101吗？
（a1＋a101）＋（a2＋a100）＋…＋（a50＋a52）＋a51＝102×50＋51＝5 151.
问题3：将上述方法推广到一般，怎么求1＋2＋3＋…＋n呢？
于是有Sn＝1＋2＋3＋…＋n
当n为奇数时，有Sn＝1＋2＋3＋…＋n
问题4：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨 论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
受此启发，我们得到下面的方法：
Sn＝1＋2＋3＋…＋n，
Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1，
2Sn＝（n＋1）＋[（n－1）＋2]＋[（n－2）＋3]＋…＋（1＋n）
＝n（n＋1），
将上述两式相加，可得
等差数列的前n项和公式
问题5：这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗？
可以发现，对于等差数列{an}，
因为a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，由上述方法得到启示，我们用两种方 式表示Sn：
Sn＝ ，②
Sn＝ .③
a1＋a2＋…＋an
an＋an－1＋…＋a1
②＋③，得2Sn＝ ＝
＝ .
（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）
n（a1＋an）
由此得到等差数列{an}的前n项和公式Sn＝ .（1）
对于等差数列{an}，利用公式（1），只要已知等差数列{an}的首项a1和末项 an，就可以求得前n项和Sn.另外，如果已知首项a1和公差d，那么这个等差 数列就完全确定了，
所以我们也可以用a1和d来表示Sn.
na1
问题6：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
如图4.2－3，与梯形的面积公式建立联系.梯形由一个三角形和一个平行四 边形组成，梯形的下底为an＝a1＋（n－1）d.
图4.2－3
问题7：对于等差数列的相关量，已知几个量就可以确定其他量？
知三求二.
问题8：已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，r为常 数，且p≠0.任取若干组p，q，r，在电子表格中计算a1，a2，a3，a4，a5 的值（图4.2－4给出p＝1，q＝2，r＝0的情况），观察数列{an}的特点， 研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.
图4.2－4中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C 列中分别是相应的Sn和an的值.
图4.2－4
（1）当r＝0时，数列{an}是以p＋q为首项，2p为公差的等差数列；
（2）当r≠0时，数列{an}从第二项起的后续各项组成一个等差数列.
目标检测
1. 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1＝7，a50＝101，求S50；
2. 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220.由这些条 件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
1. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an}的前n项和Sn.
（1）a1＝5，an＝95，n＝10；
（2）a1＝100，d＝－2，n＝50；
（3）a1＝－4，a8＝－18，n＝10；
（4）a1＝14.5，d＝0.7，an＝32.
2. 等差数列－1，－3，－5，…的前多少项的和是－100？
解得n＝10.即等差数列－1，－3，－5，…的前10项的和是－100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5（a2＋a6＋ak），求k.
5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数 项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
A. －20 B. －15 C. －10 D. －5
B
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝ .
解析：由2S3＝3S2＋6，可得2（a1＋a2＋a3）＝3（a1＋a2）＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2（a1＋2d）＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
故答案为2.
2
4. 根据下列等差数列{an}中的已知量，求相应的未知量：
（1）a1＝20，an＝54，Sn＝999，求d及n；
（4）d＝2，n＝15，an＝－10，求a1及Sn.
5. （1）求从小到大排列的前n个正偶数的和.
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和.
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和.
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
6. 已知一个多边形的周长等于158 cm，所有各边的长成等差数列，最大的边 长为44 cm，公差为3 cm.求这个多边形的边数.
8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这 两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数 列的各项之和.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
（2）等差数列的前n项和公式的推导方法：倒序相加法.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第二单元 等差数列
课时3 等差数列的前n项和公式及性质
1. 推导并掌握等差数列的前n项和公式.
2. 能说出“倒序相加法”的特点、适用条件以及操作步骤.
重点：等差数列的前n项和公式的推导.
难点：等差数列的前n项和公式的应用.
教学过程设计
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识 解决等差数列的求和问题.
高斯求和及推广
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出 了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5 050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，… ①
前100项的和的问题.
问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中 得到求数列①的前n项和的方法吗？
对于数列①，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为
（a1＋a100）＋（a2＋a99）＋…＋（a50＋a51）＝101×50＝5 050.
可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51
这一特殊关系，这就是上一课时环节二性质3的应用，它使不同数的求和问 题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算.
问题2：你能用高斯的方法求1＋2＋…＋100＋101吗？
（a1＋a101）＋（a2＋a100）＋…＋（a50＋a52）＋a51＝102×50＋51＝5 151.
问题3：将上述方法推广到一般，怎么求1＋2＋3＋…＋n呢？
于是有Sn＝1＋2＋3＋…＋n
当n为奇数时，有Sn＝1＋2＋3＋…＋n
问题4：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨 论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
受此启发，我们得到下面的方法：
Sn＝1＋2＋3＋…＋n，
Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1，
2Sn＝（n＋1）＋[（n－1）＋2]＋[（n－2）＋3]＋…＋（1＋n）
＝n（n＋1），
将上述两式相加，可得
等差数列的前n项和公式
问题5：这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗？
可以发现，对于等差数列{an}，
因为a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，由上述方法得到启示，我们用两种方 式表示Sn：
Sn＝ ，②
Sn＝ .③
a1＋a2＋…＋an
an＋an－1＋…＋a1
②＋③，得2Sn＝ ＝
＝ .
（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）
n（a1＋an）
由此得到等差数列{an}的前n项和公式Sn＝ .（1）
对于等差数列{an}，利用公式（1），只要已知等差数列{an}的首项a1和末项 an，就可以求得前n项和Sn.另外，如果已知首项a1和公差d，那么这个等差 数列就完全确定了，
所以我们也可以用a1和d来表示Sn.
na1
问题6：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
如图4.2－3，与梯形的面积公式建立联系.梯形由一个三角形和一个平行四 边形组成，梯形的下底为an＝a1＋（n－1）d.
图4.2－3
问题7：对于等差数列的相关量，已知几个量就可以确定其他量？
知三求二.
问题8：已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，r为常 数，且p≠0.任取若干组p，q，r，在电子表格中计算a1，a2，a3，a4，a5 的值（图4.2－4给出p＝1，q＝2，r＝0的情况），观察数列{an}的特点， 研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.
图4.2－4中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C 列中分别是相应的Sn和an的值.
图4.2－4
（1）当r＝0时，数列{an}是以p＋q为首项，2p为公差的等差数列；
（2）当r≠0时，数列{an}从第二项起的后续各项组成一个等差数列.
目标检测
1. 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1＝7，a50＝101，求S50；
2. 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220.由这些条 件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
1. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an}的前n项和Sn.
（1）a1＝5，an＝95，n＝10；
（2）a1＝100，d＝－2，n＝50；
（3）a1＝－4，a8＝－18，n＝10；
（4）a1＝14.5，d＝0.7，an＝32.
2. 等差数列－1，－3，－5，…的前多少项的和是－100？
解得n＝10.即等差数列－1，－3，－5，…的前10项的和是－100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5（a2＋a6＋ak），求k.
5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数 项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
A. －20 B. －15 C. －10 D. －5
B
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝ .
解析：由2S3＝3S2＋6，可得2（a1＋a2＋a3）＝3（a1＋a2）＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2（a1＋2d）＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
故答案为2.
2
4. 根据下列等差数列{an}中的已知量，求相应的未知量：
（1）a1＝20，an＝54，Sn＝999，求d及n；
（4）d＝2，n＝15，an＝－10，求a1及Sn.
5. （1）求从小到大排列的前n个正偶数的和.
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和.
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和.
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
6. 已知一个多边形的周长等于158 cm，所有各边的长成等差数列，最大的边 长为44 cm，公差为3 cm.求这个多边形的边数.
8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这 两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数 列的各项之和.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
（2）等差数列的前n项和公式的推导方法：倒序相加法.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？