人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时3等比数列的前n项和公式及应用课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
第四章　数列
第三单元　等比数列
课时3　等比数列的前n项和公式及应用
掌握等比数列的前n项和公式及公式的推导方法.
等比数列前n项和公式的推导.
教学过程设计
情景引入
　　国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要 什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上 2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数 都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以 实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1 000颗麦粒的 质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上 数据，判断国王是否能实现他的诺言.
　　让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和20＋21＋22＋…＋264＝？
等比数列前n项和公式的推导
问题1：如何求一个等比数列的前n项和呢？
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.　　　①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.　　 　②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消 去这些相同的项，可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即（1－q）Sn＝a1（1－qn）.

问题2：当q＝1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？
答：Sn＝ .
na1　
问题3：等比数列的前n项和公式还有其他的推导方法吗？
公式的推导方法二：
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，推导出了等比数列 的前n项和公式.
公式的推导方法三：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q（a1＋a2＋a3＋…＋an－1）＝a1＋qSn－1＝ a1＋q（Sn－an） （1－q）Sn＝a1－anq（结论同上）.
a1－anq　
归纳：等比数列的前n项和公式
当q＝1时，等比数列的前n项和Sn＝ ；
有了上述公式，就可以解决环节一中提出的问题了.
问题4：等比数列的前n项和公式是不是分段函数？
答：不是，不符合分段函数定义，即自变量不同表达式不同.
na1　
判断数列{an}是不是等比数列
问题5：若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝A－ABn（AB≠0，B≠1， n∈N*），判断数列{an}是不是等比数列.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（A－ABn）－（A－ABn－1）＝A（1－B） Bn－1，当n＝1时，S1＝A－AB，
∴an＝A（1－B）Bn－1，n∈N*，
∴当n≥2时，an＝Ban－1，
∴数列{an}为等比数列.
问题6：若数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2－2n（n∈N*），求数列{an}的 通项公式，并判断数列{an}是不是等比数列.
已知Sn＝2－2n（n∈N*），当n≥2时，Sn－1＝2－2n－1.根据an＝Sn－Sn－1 （n≥2），可得an＝Sn－Sn－1＝（2－2n）－（2－2n－1）＝2－2n－2＋2n－1＝－2n＋2n－1＝－2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2－21＝2－2＝0.由于a1＝0，而等比数列中不能有0项，

归纳：若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝A－ABn（AB≠0，B≠1， n∈N*），则数列{an}是等比数列.
目标检测
1. 已知数列{an}是等比数列.

1. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝A－3n，则A＝ .
1　
2. 已知数列{an}是等比数列.
（1）若a1＝－1，a4＝64，求q和S4；

（2）若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3；
3. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列.求证：a2， a8，a5成等差数列.
证明：设等比数列{an}的公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，
可得q≠1，且2q9＝q3＋q6，即2q7＝q＋q4，
所以2a8＝a2＋a5，即a2，a8，a5成等差数列.
4. 若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，求数列{an}的通项公式 及前10项和.
解：由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2（an＋1）.
由a1＝1，得a1＋1＝2.
因此{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
于是an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
故S10＝2 036.
C. 15 D. 40
解析：设等比数列{an}的公比为q，由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋ q2）－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即（q－2）（q＋ 1）（q＋2）＝0.由题知q＞0，
所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
C
A. 16 B. 32 C. 54 D. 162
解析：当n≥2，n∈N*时，an＝2Sn－1＋2，
所以an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2＝6＝3a1，
所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则a4＝a1q3＝54.
故选C.
C
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
D
4. （2023·全国甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an} 的公比为 .
6. 设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1 ＝ ，S5＝ .
1　
121　
（1）证明：an＋2＝anq2；

（2）若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；
证明：∵an＋2＝anq2，
∴数列a1，a3，a5，…和数列a2，a4，a6，…均是以q2为公比的等比数列，
故a2n－1＝a1q2（n－1）＝q2n－2，a2n＝a2q2（n－1）＝2q2n－2，
∴cn＝a2n－1＋2a2n＝5q2n－2＝5·（q2）n－1.
故{cn}是首项为5，公比为q2的等比数列.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等比数列求和公式的推导方法.
（2）等比数列的前n项和公式：
当q＝1时，等比数列的前n项和Sn＝na1；
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？