人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时2等比数列的性质及应用课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时2等比数列的性质及应用课件(共27张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
第四章 数列
第三单元 等比数列
课时2 等比数列的性质及应用
理解并掌握等比数列的性质.
等比数列的性质的推导及应用.
教学过程设计
复习回顾
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项 的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的公比（常用字母q表示）.
2
比
an＋1＝anq，n∈N*
an＝an－1q，
n∈N*，n≥2
2. 等比数列的通项公式
已知数列{an}是等比数列，首项是a1，公比是q，则an＝ .
注：如果等比数列{an}的第m项是am，公比是q，那么an＝ .
3. 公比q的计算
a1qn－1
amqn－m
n≥2，n∈N*
m，n∈N*
探究：等比数列的重要性质一
类比等差数列的性质，探究等比数列的性质.
问题1：已知等比数列{an}，且m＋n＝p＋r（m，n，p，r∈N*），
求证：am·an＝ap·ar.
问题2：若m＋n＝p＋r（m，n，p，r∈N*）且am·an＝ap·ar，则数列 {an}是不是等比数列？
答：不是，若am·an＝ap·ar中有为0的项，则数列{an}不是等比数列.
探究：等比数列的重要性质二
问题3：已知{an}是等比数列.
（1）a3，a5，a7是否成等比数列？为什么？a1，a5，a9呢？
（2）当n＞1时，an－1，an，an＋1是否成等比数列？为什么？
（3）当n＞k＞0时，an－k，an，an＋k是等比数列吗？
∴a1，a5，a9成等比数列.
∴an－1，an，an＋1成等比数列.
∴an－k，an，an＋k是等比数列.
归纳：从等比数列中等距抽出的项仍成等比数列.
证明等比数列
例 已知数列{an}的首项a1＝3.
证明：（1）由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1.
又b1＝33＝27，
两边取以3为底的对数，得log3an＝log333－2n＝3－2n.
所以log3an＋1－log3an＝[3－2（n＋1）]－（3－2n）＝－2.
又log3a1＝log33＝1，
所以，{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列.
（2）如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是 等差数列？
（2）是的，设等比数列{an}的公比q＞0，
所以{logban}是公差为logbq的等差数列.
判断等比数列的方法
问题5：若数列{an}的通项公式为an＝ABn，则数列{an}是等比数列吗？
答：是的，此形式可以用来判断数列是不是等比数列.
目标检测
1. 求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
解：在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为q，则243＝9q3，解得q＝3，
所以在9与243中间插入2个数为27，81.
（2）在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
2. 用10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400％的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到
0.01元）？
解：设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比 数列，首项a1＝104（1＋0.400％），公比q＝1＋0.400％，
所以a12＝104（1＋0.400％）12≈10 490.702.
所以，12个月后的利息为10 490.702－104≈490.70（元）.
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算 的利息不少于（1）中按月结算的利息（精确到10－5）？
解：设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104（1＋r），公比为1＋r， 于是b4＝104（1＋r）4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104（1＋r）4－104]元.
解不等式104（1＋r）4－104≥490.70，得r≥1.205％.
所以，当季度利率不小于1.205％时，按季结算的利息不少于按月结算的 利息.
3. 某工厂去年12月试产1 050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月 开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品 合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率 比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控 制在100个以内？
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}.
由题意知，an＝1 050×1.05n－1，bn＝1－[90％＋0.4％（n－1）]＝0.104－ 0.004n，其中n＝1，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量 是anbn＝1 050×1.05n－1×（0.104－0.004n）＝1.05n×（104－4n）.
由计算工具计算（精确到0.1），并列表如下.
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
1. 已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
（1）将数列{an}的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比 数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
解：设等比数列{an}的公比为q.
（2）取出数列{an}中的奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列 吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
（3）在数列{an}中，从第1项起，每间隔10项取出一项，组成一个新数列， 这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
（4）在数列{an}中，从第1项起，每隔m（m∈N*）项取出一项，组成一个 新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
解：在数列{an}中，从第1项起，每隔m（m∈N*）项取出一项，
组成一个新数列，这个新数列是以a1为首项，qm＋1为公比的等比数列.
2. 设数列{an}，{bn}都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列.若 是，证明结论；若不是，请说明理由.
（1）数列{cn}，其中cn＝anbn；
3. 某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量 为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的 年平均增长率应达到多少（精确到0.01）？
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）＝1，
a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q（1＋q＋q2）＝q＝2，
因此a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5（1＋q＋q2）＝q5＝32.故选D.
D
D
3. 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝ .
解析：由a1＋a3＋a5＝21，得a1（1＋q2＋q4）＝21，
∴1＋q2＋q4＝7，
∴q2＝2，
∴a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42.
42
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：等比数列{an}的性质：
（1）若m＋n＝p＋r（m，n，p，r∈N*），则有am·an＝ap·ar；
（2）从等比数列中抽出下标成等差的项组成的新数列仍成等比数列；
（3）若数列{an}的通项公式为an＝ABn（AB≠0），则数列{an}是等比
数列.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第三单元 等比数列
课时2 等比数列的性质及应用
理解并掌握等比数列的性质.
等比数列的性质的推导及应用.
教学过程设计
复习回顾
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项 的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的公比（常用字母q表示）.
2
比
an＋1＝anq，n∈N*
an＝an－1q，
n∈N*，n≥2
2. 等比数列的通项公式
已知数列{an}是等比数列，首项是a1，公比是q，则an＝ .
注：如果等比数列{an}的第m项是am，公比是q，那么an＝ .
3. 公比q的计算
a1qn－1
amqn－m
n≥2，n∈N*
m，n∈N*
探究：等比数列的重要性质一
类比等差数列的性质，探究等比数列的性质.
问题1：已知等比数列{an}，且m＋n＝p＋r（m，n，p，r∈N*），
求证：am·an＝ap·ar.
问题2：若m＋n＝p＋r（m，n，p，r∈N*）且am·an＝ap·ar，则数列 {an}是不是等比数列？
答：不是，若am·an＝ap·ar中有为0的项，则数列{an}不是等比数列.
探究：等比数列的重要性质二
问题3：已知{an}是等比数列.
（1）a3，a5，a7是否成等比数列？为什么？a1，a5，a9呢？
（2）当n＞1时，an－1，an，an＋1是否成等比数列？为什么？
（3）当n＞k＞0时，an－k，an，an＋k是等比数列吗？
∴a1，a5，a9成等比数列.
∴an－1，an，an＋1成等比数列.
∴an－k，an，an＋k是等比数列.
归纳：从等比数列中等距抽出的项仍成等比数列.
证明等比数列
例 已知数列{an}的首项a1＝3.
证明：（1）由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1.
又b1＝33＝27，
两边取以3为底的对数，得log3an＝log333－2n＝3－2n.
所以log3an＋1－log3an＝[3－2（n＋1）]－（3－2n）＝－2.
又log3a1＝log33＝1，
所以，{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列.
（2）如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是 等差数列？
（2）是的，设等比数列{an}的公比q＞0，
所以{logban}是公差为logbq的等差数列.
判断等比数列的方法
问题5：若数列{an}的通项公式为an＝ABn，则数列{an}是等比数列吗？
答：是的，此形式可以用来判断数列是不是等比数列.
目标检测
1. 求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
解：在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为q，则243＝9q3，解得q＝3，
所以在9与243中间插入2个数为27，81.
（2）在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
2. 用10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400％的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到
0.01元）？
解：设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比 数列，首项a1＝104（1＋0.400％），公比q＝1＋0.400％，
所以a12＝104（1＋0.400％）12≈10 490.702.
所以，12个月后的利息为10 490.702－104≈490.70（元）.
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算 的利息不少于（1）中按月结算的利息（精确到10－5）？
解：设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104（1＋r），公比为1＋r， 于是b4＝104（1＋r）4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104（1＋r）4－104]元.
解不等式104（1＋r）4－104≥490.70，得r≥1.205％.
所以，当季度利率不小于1.205％时，按季结算的利息不少于按月结算的 利息.
3. 某工厂去年12月试产1 050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月 开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品 合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率 比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控 制在100个以内？
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}.
由题意知，an＝1 050×1.05n－1，bn＝1－[90％＋0.4％（n－1）]＝0.104－ 0.004n，其中n＝1，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量 是anbn＝1 050×1.05n－1×（0.104－0.004n）＝1.05n×（104－4n）.
由计算工具计算（精确到0.1），并列表如下.
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
1. 已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
（1）将数列{an}的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比 数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
解：设等比数列{an}的公比为q.
（2）取出数列{an}中的奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列 吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
（3）在数列{an}中，从第1项起，每间隔10项取出一项，组成一个新数列， 这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
（4）在数列{an}中，从第1项起，每隔m（m∈N*）项取出一项，组成一个 新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？
解：在数列{an}中，从第1项起，每隔m（m∈N*）项取出一项，
组成一个新数列，这个新数列是以a1为首项，qm＋1为公比的等比数列.
2. 设数列{an}，{bn}都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列.若 是，证明结论；若不是，请说明理由.
（1）数列{cn}，其中cn＝anbn；
3. 某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量 为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的 年平均增长率应达到多少（精确到0.01）？
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）＝1，
a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q（1＋q＋q2）＝q＝2，
因此a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5（1＋q＋q2）＝q5＝32.故选D.
D
D
3. 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝ .
解析：由a1＋a3＋a5＝21，得a1（1＋q2＋q4）＝21，
∴1＋q2＋q4＝7，
∴q2＝2，
∴a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42.
42
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：等比数列{an}的性质：
（1）若m＋n＝p＋r（m，n，p，r∈N*），则有am·an＝ap·ar；
（2）从等比数列中抽出下标成等差的项组成的新数列仍成等比数列；
（3）若数列{an}的通项公式为an＝ABn（AB≠0），则数列{an}是等比
数列.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？