人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时4等比数列前n项和的性质及应用课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时4等比数列前n项和的性质及应用课件(共27张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
第四章 数列
第三单元 等比数列
课时4 等比数列前n项和的性质及应用
熟练掌握等比数列的前n项和公式及性质.
等比数列前n项和常用性质的推导及应用.
教学过程设计
复习旧知
1. 等比数列的通项公式： .
2. 等比数列的递推公式： .
3. 等比数列的重要性质：在等比数列中，若m＋n＝p＋r（m，n，p， r∈N*），则 .
4. 等比数列的前n项和公式：当 时，等比数列的前n项和Sn ＝ ；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn＝ ＝ .
an＝a1qn－1，n∈N*
an＋1＝anq，n∈N*
am·an＝ap·ar
q＝1
na1
探究等比数列前n项和的性质
问题1：类比等差数列前n项和的性质，等比数列的前n项和有哪些性质？
例1 已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n－Sn， S3n－S2n成等比数列，并求这个等比数列的公比.
证明：当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1 －2na1＝na1，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1.
因为qn为常数，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
归纳：若等比数列{an}的公比q≠－1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比 数列.
问题2：不用分类讨论的方式能否证明上面的例题？
因为q≠－1，
所以Sn≠0，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
实际应用问题
例2 如图4.3－2，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中 点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的 中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
图4.3－2
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正
方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件
可知，这是一个等比数列.
问题4：每个正方形的面积有什么关系？
解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…， an，…，则a1＝25.由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的 中点，
设{an}的前n项和为Sn.
目标检测
1. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环 保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写 出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年 起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，
每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，
2. 某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年牛群的自然增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，….
（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
解：由题意，得c1＝1 200，并且cn＋1＝1.08cn－100. ①
（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k， r为常数；
解：将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k. ②
（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）.
1. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列 的公比等于多少？
2. 在等比数列{an}中，a1＝1，项数是偶数，奇数项的和是85，偶数项的和 是170，求这个数列的公比和项数.
3. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高 度的0.61倍.
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1 cm）？
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm？
4. 在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免 疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感 染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染 病的基本传染数R0＝3.8，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感 染者增加到1 000人大约需要几轮传染？需要多少天？（初始感染者传染R0个 人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……）（对于R0 ＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断 传播途径）
32
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数 列，则an＝ .
∵3S1，2S2，S3成等差数列，
∴2×2（a1＋a2）＝3a1＋a1＋a2＋a3 a3＝3a2 q＝3，
∴an＝3n－1.
3n－1
3. 已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n项和等于 .
2n－1
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
B
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等比数列前n项和的性质：若等比数列{an}的公比q≠－1，前n 项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
（2）实际问题：①从实际问题中提炼数学模型；②运用数学知识对模型进 行运算；③回到实际问题中作答.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第三单元 等比数列
课时4 等比数列前n项和的性质及应用
熟练掌握等比数列的前n项和公式及性质.
等比数列前n项和常用性质的推导及应用.
教学过程设计
复习旧知
1. 等比数列的通项公式： .
2. 等比数列的递推公式： .
3. 等比数列的重要性质：在等比数列中，若m＋n＝p＋r（m，n，p， r∈N*），则 .
4. 等比数列的前n项和公式：当 时，等比数列的前n项和Sn ＝ ；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn＝ ＝ .
an＝a1qn－1，n∈N*
an＋1＝anq，n∈N*
am·an＝ap·ar
q＝1
na1
探究等比数列前n项和的性质
问题1：类比等差数列前n项和的性质，等比数列的前n项和有哪些性质？
例1 已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n－Sn， S3n－S2n成等比数列，并求这个等比数列的公比.
证明：当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1 －2na1＝na1，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1.
因为qn为常数，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
归纳：若等比数列{an}的公比q≠－1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比 数列.
问题2：不用分类讨论的方式能否证明上面的例题？
因为q≠－1，
所以Sn≠0，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
实际应用问题
例2 如图4.3－2，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中 点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的 中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
图4.3－2
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正
方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件
可知，这是一个等比数列.
问题4：每个正方形的面积有什么关系？
解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…， an，…，则a1＝25.由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的 中点，
设{an}的前n项和为Sn.
目标检测
1. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环 保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写 出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年 起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，
每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，
2. 某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年牛群的自然增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，….
（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
解：由题意，得c1＝1 200，并且cn＋1＝1.08cn－100. ①
（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k， r为常数；
解：将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k. ②
（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）.
1. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列 的公比等于多少？
2. 在等比数列{an}中，a1＝1，项数是偶数，奇数项的和是85，偶数项的和 是170，求这个数列的公比和项数.
3. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高 度的0.61倍.
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1 cm）？
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm？
4. 在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免 疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感 染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染 病的基本传染数R0＝3.8，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感 染者增加到1 000人大约需要几轮传染？需要多少天？（初始感染者传染R0个 人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……）（对于R0 ＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断 传播途径）
32
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数 列，则an＝ .
∵3S1，2S2，S3成等差数列，
∴2×2（a1＋a2）＝3a1＋a1＋a2＋a3 a3＝3a2 q＝3，
∴an＝3n－1.
3n－1
3. 已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n项和等于 .
2n－1
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
B
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）等比数列前n项和的性质：若等比数列{an}的公比q≠－1，前n 项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
（2）实际问题：①从实际问题中提炼数学模型；②运用数学知识对模型进 行运算；③回到实际问题中作答.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？