人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第四单元数列的综合应用课时4＊数学归纳法课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第四单元数列的综合应用课时4＊数学归纳法课件(共33张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第四章 数列
第四单元 数列的综合应用
课时4＊ 数学归纳法
1. 了解数学归纳法的原理.
2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
数学归纳法的原理和应用.
教学过程设计
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等 差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d等，但并没有给出严格的数学证 明.那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数 n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.
多米诺骨牌游戏的启发
计算可得a2＝1，a3＝1，a4＝1.再结合a1＝1，由此猜想：an＝1（n∈N*）.
如何证明这个猜想呢？我们自然会想到从n＝5开始一个个往下验证.一般来 说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时， 验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是 不可能的.因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：
通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌， 若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨 牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒 下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
问题2：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题3：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下 第k ＋1块骨牌倒下.
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上， 无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可 以全部倒下.
问题4：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an＝1（n∈N*）”与上 述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下 第k＋1块骨牌倒下”的递 推关系，那么猜想的正确性也就得到证明了.为此，我们先回顾一下猜想的 获得过程：
由a1＝1，利用递推关系，推出a2＝1；
由a2＝1，利用递推关系，推出a3＝1；
由a3＝1，利用递推关系，推出a4＝1；
……
数学归纳法的概念
问题5：归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？
我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推 结构：
以ak＝1成立为条件，推出ak＋1＝1也成立.
它相当于命题：
当n＝k时猜想成立，则n＝k＋1时猜想也成立.
只要能够证明这个命题，我们就可以在a1＝1的条件下，由这个命题得到：对 任意正整数n，an＝1成立.
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
这样，对于猜想“an＝1”，由n＝1成立，就有n＝2成立；由n＝2成立， 就有n＝3成立；…….所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列{an} 的通项公式是an＝1（n∈N*）.
数学归纳法的概念：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件， 推出“当n＝k＋1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立， 这种证明方法称为数学归纳法.
问题6：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式 改写如下：
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，
则P（k＋1）也为真.
结论：P（n）为真.
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立， 即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个 新命题：
若P（k）为真，则P（k＋1）也为真.
完成这两步，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1） 真…….从而完成证明.
目标检测
1. 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么
an＝a1＋（n－1）d对任何n∈N*都成立.
证明：（1）当n＝1时，左边＝a1，右边＝a1＋0×d＝a1，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即ak＝a1＋（k－1）d，
根据等差数列的定义，有ak＋1－ak＝d，
于是ak＋1＝ak＋d＝[a1＋（k－1）d]＋d＝a1＋[（k－1）＋1]d＝a1＋[（k ＋1）－1]d，即当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）（2）可知，等式对任何n∈N*都成立.
3. 已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1（n∈N*），试猜想数列{an} 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
4. 设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列x，x（1＋ x），x（1＋x）2，…，x（1＋x）n－1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与 nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解：方法一：由已知可得Sn＝x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋ x）n－1.当n＝2时，S2＝x＋x（1＋x）＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可 得S2＞2x；
当n＝3时，S3＝x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＝x2（x＋3）＋3x，
由x＞－1且x≠0，知x2（x＋3）＞0，可得S3＞3x.
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n＝2时，由上述过程知，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，不等式成立，即Sk＞kx，
则Sk＋1＝Sk＋x（1＋x）k＞kx＋x（1＋x）k.
①当x＞0时，因为k＞1，所以（1＋x）k＞1，所以x（1＋x）k＞x.
②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0.
又因为k＞1，所以（1＋x）k＜1＋x，
可得x（1＋x）k＞x（1＋x）＝x＋x2＞x.
综合①②可得，当x＞－1且x≠0时，Sk＋1＞kx＋x（1＋x）k＞kx＋x＝ （k＋1）x，
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立.由（1）（2）可知，
不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立.
方法二：因为x＞－1，x≠0，
所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，
当n＝2时，S2＝（1＋x）2－1＝x2＋2x，
由x≠0，知x2＞0，可得S2＞2x；
当n＝3时，S3＝（1＋x）3－1＝x2（x＋3）＋3x，
由x＞－1，x≠0，得x2（x＋3）＞0，可得S3＞3x.
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx.
下面用数学归纳法证明.
（1）当n＝2时，由上述过程知，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，不等式Sk＞kx成立，
即（1＋x）k－1＞kx，亦即（1＋x）k＞1＋kx.
由x＞－1，得x＋1＞0.又因为k＞1，x≠0，
所以kx2＞0.于是Sk＋1＝（1＋x）k＋1－1＝（1＋x）k（1＋x）－1＞（1＋ kx）（1＋x）－1＝kx2＋（k＋1）x＞（k＋1）x；
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立.
1. 用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn （n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1，左边＝右边，等式成立；
（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，
即－1＋3－5＋…＋（－1）k·（2k－1）＝（－1）kk，
则当n＝k＋1时，左边＝－1＋3－5＋…＋（－1）k·（2k－1）＋（－1）k＋ 1[2（k＋1）－1]＝（－1）kk＋（－1）k＋1（2k＋1）＝（－1）k（k－2k －1）＝（－1）k（－k－1）＝（－1）k＋1（k＋1）＝右边.
所以当n＝k＋1时，等式成立.
由（1）（2）可知，对 n∈N*，－1＋3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝ （－1）nn.
3. 观察下列两个数列{an}，{bn}：
数列{an}：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列{bn}：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….
猜想从第几项起an小于bn，并用数学归纳法证明你的结论.
解：根据题意可得数列{an}的通项公式为an＝n2，
数列{bn}的通项公式为bn＝2n，
由a1＜b1，a2＝b2，a3＞b3，a4＝b4，a5＜b5，a6＜b6，a7＜b7，
猜想从第5项起an＜bn，即证当n≥5时，n2＜2n，
（1）当n＝5时，a5＝25，b5＝32，显然25＜32，猜想成立；
（2）假设当n＝k（k≥5，k∈N*）时，猜想成立，即k2＜2k，
当n＝k＋1时，（k＋1）2＝k2＋2k＋1＜k2＋2k＋k＝k2＋3k＜k2＋k2＝ 2k2＜2×2k＝2k＋1，即（k＋1）2＜2k＋1，即当n＝k＋1时，猜想成立.
由（1）（2）可知，当n≥5，n∈N*时，都有n2＜2n，即an＜bn.
4. 猜想满足a1＝a，2an＋1－anan＋1＝1的数列{an}的通项公式，并用数学归 纳法证明你的结论.
下面用数学归纳法证明：
1. 用数学归纳法证明：
（1）1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2；
证明：当n＝1时，等式左边＝1，右边＝1，
所以等式成立；
假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－1）＝k2，
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋（2k－1）＋（2k＋1）＝k2＋（2k＋1）
＝（k＋1）2，故n＝k＋1时等式成立.
综上可知，等式1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2成立.
（2）1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1；
证明：当n＝1时，等式左边＝1，右边＝1，
所以等式成立；
假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝（2k－1）＋2k＝2×2k－1＝ 2k＋1－1，故n＝k＋1时等式成立.
综上可知，等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1成立.
2. 已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1－anan＋1＋2an＝9（n∈N*）.计算a2， a3，a4，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
4. 已知数列{xn}满足x1＝1，xn＝xn＋1＋ln（1＋xn＋1）（n∈N*）.试用数学 归纳法证明xn＞0，并比较xn与xn＋1的大小关系.
证明：xn＞0，当n＝1时，x1＝1＞0，成立，
假设当n＝k（k∈N*）时成立，则xk＞0，
那么n＝k＋1时，若xk＋1＜0，
则0＜xk＝xk＋1＋ln（1＋xk＋1）＜0，矛盾，故xn＋1＞0，
因此xn＞0（n∈N*），∴xn＝xn＋1＋ln（1＋xn＋1）＞xn＋1，
因此0＜xn＋1＜xn（n∈N*）.
5. 用数学归纳法证明：n3＋5n（n∈N*）能够被6整除.
证明：（1）当n＝1时，n3＋5n＝6，显然能够被6整除，命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，命题成立，即k3＋5k能够被6整除，当n ＝k＋1时，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋ 5k）＋3k（k＋1）＋6，由假设知，k3＋5k能够被6整除，而k（k＋1）为 偶数，故3k（k＋1）能够被6整除，故（k＋1）3＋5（k＋1）＝（k3＋ 5k）＋3k（k＋1）＋6能够被6整除，即当n＝k＋1时，命题成立.由（1） （2）可知，命题对一切正整数成立，即n3＋5n（n∈N*）能够被6整除.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第四单元 数列的综合应用
课时4＊ 数学归纳法
1. 了解数学归纳法的原理.
2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
数学归纳法的原理和应用.
教学过程设计
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等 差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d等，但并没有给出严格的数学证 明.那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数 n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.
多米诺骨牌游戏的启发
计算可得a2＝1，a3＝1，a4＝1.再结合a1＝1，由此猜想：an＝1（n∈N*）.
如何证明这个猜想呢？我们自然会想到从n＝5开始一个个往下验证.一般来 说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时， 验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是 不可能的.因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：
通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌， 若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨 牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒 下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
问题2：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题3：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下 第k ＋1块骨牌倒下.
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上， 无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可 以全部倒下.
问题4：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an＝1（n∈N*）”与上 述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下 第k＋1块骨牌倒下”的递 推关系，那么猜想的正确性也就得到证明了.为此，我们先回顾一下猜想的 获得过程：
由a1＝1，利用递推关系，推出a2＝1；
由a2＝1，利用递推关系，推出a3＝1；
由a3＝1，利用递推关系，推出a4＝1；
……
数学归纳法的概念
问题5：归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？
我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推 结构：
以ak＝1成立为条件，推出ak＋1＝1也成立.
它相当于命题：
当n＝k时猜想成立，则n＝k＋1时猜想也成立.
只要能够证明这个命题，我们就可以在a1＝1的条件下，由这个命题得到：对 任意正整数n，an＝1成立.
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
这样，对于猜想“an＝1”，由n＝1成立，就有n＝2成立；由n＝2成立， 就有n＝3成立；…….所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列{an} 的通项公式是an＝1（n∈N*）.
数学归纳法的概念：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件， 推出“当n＝k＋1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立， 这种证明方法称为数学归纳法.
问题6：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式 改写如下：
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，
则P（k＋1）也为真.
结论：P（n）为真.
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立， 即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个 新命题：
若P（k）为真，则P（k＋1）也为真.
完成这两步，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1） 真…….从而完成证明.
目标检测
1. 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么
an＝a1＋（n－1）d对任何n∈N*都成立.
证明：（1）当n＝1时，左边＝a1，右边＝a1＋0×d＝a1，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即ak＝a1＋（k－1）d，
根据等差数列的定义，有ak＋1－ak＝d，
于是ak＋1＝ak＋d＝[a1＋（k－1）d]＋d＝a1＋[（k－1）＋1]d＝a1＋[（k ＋1）－1]d，即当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）（2）可知，等式对任何n∈N*都成立.
3. 已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1（n∈N*），试猜想数列{an} 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
4. 设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列x，x（1＋ x），x（1＋x）2，…，x（1＋x）n－1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与 nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解：方法一：由已知可得Sn＝x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋ x）n－1.当n＝2时，S2＝x＋x（1＋x）＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可 得S2＞2x；
当n＝3时，S3＝x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＝x2（x＋3）＋3x，
由x＞－1且x≠0，知x2（x＋3）＞0，可得S3＞3x.
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n＝2时，由上述过程知，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，不等式成立，即Sk＞kx，
则Sk＋1＝Sk＋x（1＋x）k＞kx＋x（1＋x）k.
①当x＞0时，因为k＞1，所以（1＋x）k＞1，所以x（1＋x）k＞x.
②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0.
又因为k＞1，所以（1＋x）k＜1＋x，
可得x（1＋x）k＞x（1＋x）＝x＋x2＞x.
综合①②可得，当x＞－1且x≠0时，Sk＋1＞kx＋x（1＋x）k＞kx＋x＝ （k＋1）x，
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立.由（1）（2）可知，
不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立.
方法二：因为x＞－1，x≠0，
所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，
当n＝2时，S2＝（1＋x）2－1＝x2＋2x，
由x≠0，知x2＞0，可得S2＞2x；
当n＝3时，S3＝（1＋x）3－1＝x2（x＋3）＋3x，
由x＞－1，x≠0，得x2（x＋3）＞0，可得S3＞3x.
由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx.
下面用数学归纳法证明.
（1）当n＝2时，由上述过程知，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，不等式Sk＞kx成立，
即（1＋x）k－1＞kx，亦即（1＋x）k＞1＋kx.
由x＞－1，得x＋1＞0.又因为k＞1，x≠0，
所以kx2＞0.于是Sk＋1＝（1＋x）k＋1－1＝（1＋x）k（1＋x）－1＞（1＋ kx）（1＋x）－1＝kx2＋（k＋1）x＞（k＋1）x；
所以，当n＝k＋1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立.
1. 用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn （n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1，左边＝右边，等式成立；
（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，
即－1＋3－5＋…＋（－1）k·（2k－1）＝（－1）kk，
则当n＝k＋1时，左边＝－1＋3－5＋…＋（－1）k·（2k－1）＋（－1）k＋ 1[2（k＋1）－1]＝（－1）kk＋（－1）k＋1（2k＋1）＝（－1）k（k－2k －1）＝（－1）k（－k－1）＝（－1）k＋1（k＋1）＝右边.
所以当n＝k＋1时，等式成立.
由（1）（2）可知，对 n∈N*，－1＋3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝ （－1）nn.
3. 观察下列两个数列{an}，{bn}：
数列{an}：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列{bn}：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….
猜想从第几项起an小于bn，并用数学归纳法证明你的结论.
解：根据题意可得数列{an}的通项公式为an＝n2，
数列{bn}的通项公式为bn＝2n，
由a1＜b1，a2＝b2，a3＞b3，a4＝b4，a5＜b5，a6＜b6，a7＜b7，
猜想从第5项起an＜bn，即证当n≥5时，n2＜2n，
（1）当n＝5时，a5＝25，b5＝32，显然25＜32，猜想成立；
（2）假设当n＝k（k≥5，k∈N*）时，猜想成立，即k2＜2k，
当n＝k＋1时，（k＋1）2＝k2＋2k＋1＜k2＋2k＋k＝k2＋3k＜k2＋k2＝ 2k2＜2×2k＝2k＋1，即（k＋1）2＜2k＋1，即当n＝k＋1时，猜想成立.
由（1）（2）可知，当n≥5，n∈N*时，都有n2＜2n，即an＜bn.
4. 猜想满足a1＝a，2an＋1－anan＋1＝1的数列{an}的通项公式，并用数学归 纳法证明你的结论.
下面用数学归纳法证明：
1. 用数学归纳法证明：
（1）1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2；
证明：当n＝1时，等式左边＝1，右边＝1，
所以等式成立；
假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－1）＝k2，
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋（2k－1）＋（2k＋1）＝k2＋（2k＋1）
＝（k＋1）2，故n＝k＋1时等式成立.
综上可知，等式1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2成立.
（2）1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1；
证明：当n＝1时，等式左边＝1，右边＝1，
所以等式成立；
假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝（2k－1）＋2k＝2×2k－1＝ 2k＋1－1，故n＝k＋1时等式成立.
综上可知，等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1成立.
2. 已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1－anan＋1＋2an＝9（n∈N*）.计算a2， a3，a4，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
4. 已知数列{xn}满足x1＝1，xn＝xn＋1＋ln（1＋xn＋1）（n∈N*）.试用数学 归纳法证明xn＞0，并比较xn与xn＋1的大小关系.
证明：xn＞0，当n＝1时，x1＝1＞0，成立，
假设当n＝k（k∈N*）时成立，则xk＞0，
那么n＝k＋1时，若xk＋1＜0，
则0＜xk＝xk＋1＋ln（1＋xk＋1）＜0，矛盾，故xn＋1＞0，
因此xn＞0（n∈N*），∴xn＝xn＋1＋ln（1＋xn＋1）＞xn＋1，
因此0＜xn＋1＜xn（n∈N*）.
5. 用数学归纳法证明：n3＋5n（n∈N*）能够被6整除.
证明：（1）当n＝1时，n3＋5n＝6，显然能够被6整除，命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，命题成立，即k3＋5k能够被6整除，当n ＝k＋1时，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋ 5k）＋3k（k＋1）＋6，由假设知，k3＋5k能够被6整除，而k（k＋1）为 偶数，故3k（k＋1）能够被6整除，故（k＋1）3＋5（k＋1）＝（k3＋ 5k）＋3k（k＋1）＋6能够被6整除，即当n＝k＋1时，命题成立.由（1） （2）可知，命题对一切正整数成立，即n3＋5n（n∈N*）能够被6整除.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？