人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第四单元数列的综合应用课时3函数与数列课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
第四章　数列
第四单元　数列的综合应用
课时3　函数与数列
理解数列是一种特殊的函数，能利用数列的周期性、单调性、最值解决简单 的问题.
重点：掌握数列的周期性、单调性、最值等函数的性质.
难点：利用数列的函数性质解决数列综合题.
教学过程设计
　　数列是高考考查的热点之一，作为数列综合题，常考查其函数性质，涉 及周期性、单调性、最值以及恒成立等问题，对于基础能力和基础运算要求 较高.
数列与函数的关系
问题1：从函数与数列概念的角度出发，数列与函数有什么关系？等差数 列、等比数列呢？
答：数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集的函 数，即f（n）＝an，n∈N*.
（1）等差数列 一次函数
（2）等比数列 指数函数
数列函数角度的性质
1. 数列的周期性
问题2：类比函数的周期性，你能否给数列的周期性下定义呢？
数列的周期性的概念：若数列{an}满足存在正整数T，使得an＋T＝an对一切 正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，T叫做数列{an}的周期.
问题3：如何求数列的周期性呢？
可以根据给出的关系式求出数列的前n项，观察归纳出数列的周期，进而 求有关项的值或者前n项的和；也可以根据数列的递推关系，寻找数列的 周期性.
例　已知an＋an－1＝A（定值）（n≥2），则数列{an}是周期数列吗？
解：∵an＋an－1＝A，
∴an＋1＋an＝A，
两式相减，得an＋1＝an－1，即an＋2＝an，
∴数列{an}是周期为2的周期数列.
2. 数列的单调性
问题4：类比函数的单调性，你能否给数列的单调性下定义呢？
数列单调性的概念：
单调递增数列： n∈N*，an＋1＞an；单调递减数列： n∈N*，an＋1＜an； 常数列： n∈N*，an＋1＝an.
问题5：如何求数列的单调性呢？
解决数列单调性的方法主要有作差比较法、作商比较法及结合相应函数直观 判断.
（1）作差比较法：an＋1－an＞0 数列{an}是单调递增数列；
an＋1－an＜0 数列{an}是单调递减数列；
an＋1－an＝0 数列{an}是常数列.
（2）作商比较法
an＞0时
an＜0时
3. 数列的最大（小）项
问题6：如何定义数列的最大（小）项呢？
目标检测
（2）求{an}的通项公式；


（1）求a3，a5的值；
（2）求{an}的前2 026项和S2 026.

A
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
B
故数列{Tn}中的正项只有有限项：T2＝63，T4＝63×15＝945.
故数列{Tn}中存在最大项，且最大项为T4.故选B.


1. 记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
（1）求数列{an}的通项公式an；
解：由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0.
设等差数列的公差为d，
从而a2a4＝（a3－d）（a3＋d）＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a3－2d）
＋（a3－d）＋a3＋（a3＋d）＝－2d，从而－d2＝－2d.
由于公差不为零，故d＝2，
∴数列的通项公式为an＝a3＋（n－3）d＝2n－6.
（2）求使Sn＞an成立的n的最小值.
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.

3. （2024·上海卷）若f（x）＝logax（a＞0，a≠1）.
（1）y＝f（x）的图象过点（4，2），求f（2x－2）＜f（x）的解集；
解：因为y＝f（x）的图象过（4，2），故loga 4＝2，故a2＝4，
即a＝2（负的舍去），而f（x）＝log2 x在（0，＋∞）上为增函数，
又f（2x－2）＜f（x），故0＜2x－2＜x，即1＜x＜2，
故f（2x－2）＜f（x）的解集为{x｜1＜x＜2}.
（2）存在x使得f（x＋1），f（ax），f（x＋2）成等差数列，求a的取 值范围.

小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：数列与函数的关系.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？