人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第四单元数列的综合应用课时2数列求和的常用方法课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第四单元数列的综合应用课时2数列求和的常用方法课件(共25张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第四章 数列
第四单元 数列的综合应用
课时2 数列求和的常用方法
掌握数列求和的常用方法，并能识别各种问题模型，从而选择适当的方法解 决问题.
重点：数列求和的常用方法.
难点：能识别各种问题模型从而选择适当的方法解决问题.
教学过程设计
求数列的前n项和Sn是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、分组 求和法、错位相减法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的 适用范围，其中的计算量较大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.
数列求和的常用方法
1. 公式法
若已知数列是等差或等比数列，求其前n项和可直接使用对应的公式.
2. 倒序相加法
（1）对于某个数列{an}，若满足a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1，则 求前n项和Sn可使用倒序相加法.
具体解法：
设Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，①
把①反序可得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1，②
（2）对于某个数列{an}，若满足a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1，则求前n项 积Tn可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.
3. 分组求和法
若数列{cn}中通项公式cn＝an＋bn，可分成两个数列{an}，{bn}之和，则数 列{cn}的前n项和等于两个数列{an}，{bn}的前n项和的和.
4. 错位相减法
当数列{an}的通项公式an＝bn·cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列 时，可使用错位相减法.
目标检测
1. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100， 求数列{an＋bn}的前100项和.
解：可以发现，对于等差数列{an}，
因为a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示Sn：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1②.
3. 求和：（2－3×5－1）＋（4－3×5－2）＋…＋（2n－3×5－n）.
4. 求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.
当x≠1时，记Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1①，
①×x得xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn②，
1. 求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1 111，11 111，….
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1 （n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n－1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：因为cn＝anbn＝（2n－1）3n－1，
所以Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1①，
①×3，得3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋（2n－1）×3n②.
3. （2024·全国甲卷）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1 －3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和.
1. （2024·全国甲卷节选）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. 设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
3. 设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
（1）求{an}的公比；
解：设{an}的公比为q，
∵a1为a2，a3的等差中项，
∴2a1＝a2＋a3，a1≠0，
∴q2＋q－2＝0.
∵q≠1，
∴q＝－2.
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：数列求和的常用方法.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第四单元 数列的综合应用
课时2 数列求和的常用方法
掌握数列求和的常用方法，并能识别各种问题模型，从而选择适当的方法解 决问题.
重点：数列求和的常用方法.
难点：能识别各种问题模型从而选择适当的方法解决问题.
教学过程设计
求数列的前n项和Sn是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、分组 求和法、错位相减法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的 适用范围，其中的计算量较大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.
数列求和的常用方法
1. 公式法
若已知数列是等差或等比数列，求其前n项和可直接使用对应的公式.
2. 倒序相加法
（1）对于某个数列{an}，若满足a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1，则 求前n项和Sn可使用倒序相加法.
具体解法：
设Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，①
把①反序可得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1，②
（2）对于某个数列{an}，若满足a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1，则求前n项 积Tn可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.
3. 分组求和法
若数列{cn}中通项公式cn＝an＋bn，可分成两个数列{an}，{bn}之和，则数 列{cn}的前n项和等于两个数列{an}，{bn}的前n项和的和.
4. 错位相减法
当数列{an}的通项公式an＝bn·cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列 时，可使用错位相减法.
目标检测
1. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100， 求数列{an＋bn}的前100项和.
解：可以发现，对于等差数列{an}，
因为a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示Sn：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1②.
3. 求和：（2－3×5－1）＋（4－3×5－2）＋…＋（2n－3×5－n）.
4. 求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.
当x≠1时，记Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1①，
①×x得xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn②，
1. 求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1 111，11 111，….
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1 （n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n－1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：因为cn＝anbn＝（2n－1）3n－1，
所以Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1①，
①×3，得3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋（2n－1）×3n②.
3. （2024·全国甲卷）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1 －3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和.
1. （2024·全国甲卷节选）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. 设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
3. 设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
（1）求{an}的公比；
解：设{an}的公比为q，
∵a1为a2，a3的等差中项，
∴2a1＝a2＋a3，a1≠0，
∴q2＋q－2＝0.
∵q≠1，
∴q＝－2.
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：数列求和的常用方法.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？