人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第一单元数列的概念课时2数列的递推公式与前n项和课件(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第一单元数列的概念课时2数列的递推公式与前n项和课件(共19张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共19张PPT)
第四章 数列
第一单元 数列的概念
课时2 数列的递推公式与前n项和
1. 理解递推公式及前n项和的概念.
2. 能够由递推公式求出数列的前几项，利用数列前n项和求简单的数列通项 公式.
数列的递推公式与前n项和的定义，由数列的前n项和公式求解数列的通项 公式an.
教学过程设计
复习旧知
问题1：如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的 项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使 得n2＋2n＝120.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.
解：令n2＋2n＝120，解这个关于n的方程，得n＝－12（舍去），或n＝ 10.所以，120是数列{an}的项，是第10项.
数列的递推公式
问题2：图4.1－2中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个 大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数 列的一个通项公式.
（1） （2） （3） （4）
图4.1－2
解：在图4.1－2（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3， 9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.
问题3：换个角度观察图4.1－2中的4个图形，你发现数列中相邻前后项之间 的变化规律了吗？
（1） （2） （3） （4）
图4.1－2
当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如 依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
像an＝3an－1（n≥2）这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .知道了 首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
递推公式
（1） （2） （3） （4）
图4.1－2
数列的前n项和
探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题.
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{an}从第 1项起到第n项止的各项之和，称为 ，记作 ， 即 .
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2），于是我们有
数列{an}的前n项和
Sn
Sn＝a1＋a2＋…＋an
目标检测
2. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2＋n，你能求出{an}的通项公
式吗？
解：因为a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝ 2n（n≥2），并且当n＝1时，a1＝2×1＝2依然成立.
所以{an}的通项公式是an＝2n.
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并 在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
（1）
（ ）；
解：设第n项的点数为an（n∈N*）.
∵a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，
∴该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公
式为an＝1＋5（n－1）＝5n－4，第5项的图形和点数如图1所示.
（答案图1）
（2）
解：（2）设第n项的点数为bn（n∈N*）.
∵b1＝1，b2＝1＋3，b3＝1＋2×3，b4＝1＋3×3，
∴该数列的第5项为b5＝1＋4×3＝13，数列{bn}的一
个通项公式为bn＝1＋3（n－1）＝3n－2，第5项的
图形和点数如图2所示.
（ ）；
（答案图2）
（3）
解：（3）设第n项的点数为cn（n∈N*）.
∵c1＝1×3，c2＝2×4，c3＝3×5，c4＝4×6，
∴该数列的第5项为c5＝5×7＝35，
数列{cn}的一个通项公式为cn＝n（n＋2），
第5项的图形和点数如图3所示.
（ ）；
（答案图3）
2. 根据下列条件，写出数列{an}的前5项：
（1）a1＝1，an＝an－1＋2n－1（n≥2）；
解：因为a1＝1，an＝an－1＋2n－1（n≥2），
所以a2＝a1＋21＝1＋2＝3，a3＝a2＋22＝3＋4＝7，a4＝a3＋23＝7＋8＝15， a5＝a4＋24＝15＋16＝31，故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.
3. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，求{an}的通项公式.
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2（n－1）2＝－4n＋2；
当n＝1时，a1＝S1＝－2，满足an＝－4n＋2.
故{an}的通项公式为an＝－4n＋2.
4. 已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，求{an}的通项公式.
解：由题意得，a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n ①，
当n＝1时，a1＝1×21＝2，
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝（n－1）·2n－1 ②，①－②，
得2n－1an＝n·2n－（n－1）·2n－1，化简得an＝n＋1（n≥2），
当n＝1时，a1＝2也满足an＝n＋1.故{an}的通项公式为an＝n＋1.
2
2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据 沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称 为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称 为五边形数.请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的 第5项和第6项.
解：三角形数：第一个数是1，第二个数是1＋2＝3，第三个数是1＋2＋3＝ 6，第四个数是1＋2＋3＋4＝10，第五个数是1＋2＋3＋4＋5＝15，第六个数 是1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.
正方形数：第一个数是12＝1，第二个数是22＝4，第三个数是32＝9，第四个 数是42＝16，第五个数是52＝25，第六个数是62＝36.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）数列递推公式的定义；
（2）数列前n项和的定义；
（3）数列的前n项和公式与通项公式.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第一单元 数列的概念
课时2 数列的递推公式与前n项和
1. 理解递推公式及前n项和的概念.
2. 能够由递推公式求出数列的前几项，利用数列前n项和求简单的数列通项 公式.
数列的递推公式与前n项和的定义，由数列的前n项和公式求解数列的通项 公式an.
教学过程设计
复习旧知
问题1：如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的 项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使 得n2＋2n＝120.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.
解：令n2＋2n＝120，解这个关于n的方程，得n＝－12（舍去），或n＝ 10.所以，120是数列{an}的项，是第10项.
数列的递推公式
问题2：图4.1－2中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个 大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数 列的一个通项公式.
（1） （2） （3） （4）
图4.1－2
解：在图4.1－2（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3， 9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.
问题3：换个角度观察图4.1－2中的4个图形，你发现数列中相邻前后项之间 的变化规律了吗？
（1） （2） （3） （4）
图4.1－2
当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如 依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
像an＝3an－1（n≥2）这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .知道了 首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
递推公式
（1） （2） （3） （4）
图4.1－2
数列的前n项和
探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题.
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{an}从第 1项起到第n项止的各项之和，称为 ，记作 ， 即 .
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2），于是我们有
数列{an}的前n项和
Sn
Sn＝a1＋a2＋…＋an
目标检测
2. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2＋n，你能求出{an}的通项公
式吗？
解：因为a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝ 2n（n≥2），并且当n＝1时，a1＝2×1＝2依然成立.
所以{an}的通项公式是an＝2n.
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并 在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
（1）
（ ）；
解：设第n项的点数为an（n∈N*）.
∵a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，
∴该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公
式为an＝1＋5（n－1）＝5n－4，第5项的图形和点数如图1所示.
（答案图1）
（2）
解：（2）设第n项的点数为bn（n∈N*）.
∵b1＝1，b2＝1＋3，b3＝1＋2×3，b4＝1＋3×3，
∴该数列的第5项为b5＝1＋4×3＝13，数列{bn}的一
个通项公式为bn＝1＋3（n－1）＝3n－2，第5项的
图形和点数如图2所示.
（ ）；
（答案图2）
（3）
解：（3）设第n项的点数为cn（n∈N*）.
∵c1＝1×3，c2＝2×4，c3＝3×5，c4＝4×6，
∴该数列的第5项为c5＝5×7＝35，
数列{cn}的一个通项公式为cn＝n（n＋2），
第5项的图形和点数如图3所示.
（ ）；
（答案图3）
2. 根据下列条件，写出数列{an}的前5项：
（1）a1＝1，an＝an－1＋2n－1（n≥2）；
解：因为a1＝1，an＝an－1＋2n－1（n≥2），
所以a2＝a1＋21＝1＋2＝3，a3＝a2＋22＝3＋4＝7，a4＝a3＋23＝7＋8＝15， a5＝a4＋24＝15＋16＝31，故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.
3. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，求{an}的通项公式.
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2（n－1）2＝－4n＋2；
当n＝1时，a1＝S1＝－2，满足an＝－4n＋2.
故{an}的通项公式为an＝－4n＋2.
4. 已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，求{an}的通项公式.
解：由题意得，a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n ①，
当n＝1时，a1＝1×21＝2，
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝（n－1）·2n－1 ②，①－②，
得2n－1an＝n·2n－（n－1）·2n－1，化简得an＝n＋1（n≥2），
当n＝1时，a1＝2也满足an＝n＋1.故{an}的通项公式为an＝n＋1.
2
2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据 沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称 为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称 为五边形数.请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的 第5项和第6项.
解：三角形数：第一个数是1，第二个数是1＋2＝3，第三个数是1＋2＋3＝ 6，第四个数是1＋2＋3＋4＝10，第五个数是1＋2＋3＋4＋5＝15，第六个数 是1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.
正方形数：第一个数是12＝1，第二个数是22＝4，第三个数是32＝9，第四个 数是42＝16，第五个数是52＝25，第六个数是62＝36.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）数列递推公式的定义；
（2）数列前n项和的定义；
（3）数列的前n项和公式与通项公式.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？