人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第一单元数列的概念课时1数列的概念与表示课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第一单元数列的概念课时1数列的概念与表示课件(共27张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
第四章 数列
第一单元 数列的概念
课时1 数列的概念与表示
1. 理解数列的有关概念及分类.
2. 掌握数列的几种简单的表示方法及通项公式.
数列的相关概念及表示方法.
教学过程设计
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些 数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.
数列的概念
请看下面几个例子：
1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据
（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168. ①
记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1＝75，h2＝87，…，h17＝168.
我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定
位置，即h1＝75是排在第1位的数，h2＝87是排在第2位的数……
h17＝168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.所以，①是具
有确定顺序的一列数.
2. 在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有 一列依次表示15天中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240. ②
注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表 份数的数来表示.
记第i天月亮可见部分的数为Si，那么S1＝5，S2＝10，…，S15＝240.这 里，Si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位 置，即S1＝5是排在第1位的数，S2＝10是排在第2位的数……S15＝240是排在 第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.
数列的一般形式是 a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
项数有限的数列叫做 ，项数无限的数列叫做 .
数列
项
第1
项
a1
第2项
a2
第n项
an
首项
有穷数列
无穷数列
问题2：通过上述三个具体例子，我们已经归纳了数列的概念，你能从中发 现数列的每一项an与该项的序号n具有怎样的对应关系？数列与函数是什么 关系？
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系：
序号 1 2 3 … n …
↓ ↓ ↓ ↓
项 a1 a2 a3 … an …
所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f （n）.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对 应的一列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}.另一方 面，对于函数y＝f（x），如果f（n）（n∈N*）有意义，那么
f（1），f（2），…，f（n），…
构成了一个数列{f（n）}.
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的 数的函数.数列本质上是特殊的函数.
数列的表示方法
问题3：类比函数，你认为数列可以用哪些方法来表示？
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，数列①可以表示 为下表.
图4.1－1
它的图象如图4.1－1所示.
问题4：从上表和图4.1－1中，你能发现数列①中的项随序号的变化呈现出 的特点吗？
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.从第2项起，每一项都大于它的前 一项的数列叫做 ；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数 列叫做 .特别地，各项都相等的数列叫做 .
递增数列
递减数列
常数列
通项公式
目标检测
1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，
数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15. 图象如图1所示.
（答案图1）
解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，
数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1.图象如图2所示.
（答案图2）
2. 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（2）2，0，2，0，….
解：这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，
所以它的一个通项公式为an＝（－1）n＋1＋1.
1. 根据数列{an}的通项公式填表：
12
22
21
33
69
解：当n＝1时，a1＝3×（3＋4×1）＝21；
当n＝2时，a2＝3×（3＋4×2）＝33；
当n＝5时，a5＝3×（3＋4×5）＝69；
当an＝153时，3×（3＋4n）＝153，解得n＝12；
当an＝273时，3×（3＋4n）＝273，解得n＝22；
所以填表如上表.
2. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
（1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；
解：根据题意可知，数列的前10项为4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如图1.
（答案图1）
（2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
（答案图2）
（3）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f（x）＝2x＋1的值构成的 数列；
解：根据题意可知，数列的前10项为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如图3.
（答案图3）
解：根据题意可知，数列的前10项为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.
图象如图4.
（答案图4）
3. 除数函数y＝d（n）（n∈N*）的函数值等于n的正因数的个数，例如， d（1）＝1，d（4）＝3.写出数列d（1），d（2），…，d（n），…的前 10项.
解：由题意可得d（1）＝1.
因为2＝1×2，所以d（2）＝2.
因为3＝1×3，所以d（3）＝2.
因为4＝1×4＝2×2，所以d（4）＝3.
因为5＝1×5，所以d（5）＝2.
因为6＝1×6＝2×3，所以d（6）＝4.
因为7＝1×7，所以d（7）＝2.
因为8＝1×8＝2×4，所以d（8）＝4.
因为9＝1×9＝3×3，所以d（9）＝3.
因为10＝1×10＝2×5，所以d（10）＝4.
所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
1. 写出下列数列的前10项，并绘出它们的图象：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
解：根据题意可知，数列的前10项为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，绘出图象如图所示.
（答案图）
（2）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值按自变量从小到大的顺序排列成 的数列.其中欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数 n，且与n互素的正整数的个数，例如，φ（1）＝1，φ（4）＝2.
解： 因为φ（1）＝1，φ（2）＝1，φ（3）＝2，φ（4）＝2，
φ（5）＝4，
φ（6）＝2，φ（7）＝6，φ（8）＝4，
φ（9）＝6，φ（10）＝4，
所以数列的前10项为1，1，2，2，4，2，6，4，6，4，
绘出图象如图所示.
（答案图）
2. 根据下列条件，写出数列{an}的前5项：
（2）an＝（－1）n＋1（n2＋1）；
解：由an＝（－1）n＋1（n2＋1），可得a1＝2，a2＝－5，a3＝10，a4 ＝－17，a5＝26.
3. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（ ），4，9，（ ），25，（ ），49；
解：中依次填写1，16，36，通项公式为an＝n2.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）数列的概念；
（2）数列的表示方法；
（3）数列的通项公式.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第四章 数列
第一单元 数列的概念
课时1 数列的概念与表示
1. 理解数列的有关概念及分类.
2. 掌握数列的几种简单的表示方法及通项公式.
数列的相关概念及表示方法.
教学过程设计
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些 数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.
数列的概念
请看下面几个例子：
1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据
（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168. ①
记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1＝75，h2＝87，…，h17＝168.
我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定
位置，即h1＝75是排在第1位的数，h2＝87是排在第2位的数……
h17＝168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.所以，①是具
有确定顺序的一列数.
2. 在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有 一列依次表示15天中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240. ②
注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表 份数的数来表示.
记第i天月亮可见部分的数为Si，那么S1＝5，S2＝10，…，S15＝240.这 里，Si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位 置，即S1＝5是排在第1位的数，S2＝10是排在第2位的数……S15＝240是排在 第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.
数列的一般形式是 a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
项数有限的数列叫做 ，项数无限的数列叫做 .
数列
项
第1
项
a1
第2项
a2
第n项
an
首项
有穷数列
无穷数列
问题2：通过上述三个具体例子，我们已经归纳了数列的概念，你能从中发 现数列的每一项an与该项的序号n具有怎样的对应关系？数列与函数是什么 关系？
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系：
序号 1 2 3 … n …
↓ ↓ ↓ ↓
项 a1 a2 a3 … an …
所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f （n）.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对 应的一列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}.另一方 面，对于函数y＝f（x），如果f（n）（n∈N*）有意义，那么
f（1），f（2），…，f（n），…
构成了一个数列{f（n）}.
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的 数的函数.数列本质上是特殊的函数.
数列的表示方法
问题3：类比函数，你认为数列可以用哪些方法来表示？
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，数列①可以表示 为下表.
图4.1－1
它的图象如图4.1－1所示.
问题4：从上表和图4.1－1中，你能发现数列①中的项随序号的变化呈现出 的特点吗？
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.从第2项起，每一项都大于它的前 一项的数列叫做 ；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数 列叫做 .特别地，各项都相等的数列叫做 .
递增数列
递减数列
常数列
通项公式
目标检测
1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，
数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15. 图象如图1所示.
（答案图1）
解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，
数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1.图象如图2所示.
（答案图2）
2. 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（2）2，0，2，0，….
解：这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，
所以它的一个通项公式为an＝（－1）n＋1＋1.
1. 根据数列{an}的通项公式填表：
12
22
21
33
69
解：当n＝1时，a1＝3×（3＋4×1）＝21；
当n＝2时，a2＝3×（3＋4×2）＝33；
当n＝5时，a5＝3×（3＋4×5）＝69；
当an＝153时，3×（3＋4n）＝153，解得n＝12；
当an＝273时，3×（3＋4n）＝273，解得n＝22；
所以填表如上表.
2. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
（1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；
解：根据题意可知，数列的前10项为4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如图1.
（答案图1）
（2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
（答案图2）
（3）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f（x）＝2x＋1的值构成的 数列；
解：根据题意可知，数列的前10项为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如图3.
（答案图3）
解：根据题意可知，数列的前10项为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.
图象如图4.
（答案图4）
3. 除数函数y＝d（n）（n∈N*）的函数值等于n的正因数的个数，例如， d（1）＝1，d（4）＝3.写出数列d（1），d（2），…，d（n），…的前 10项.
解：由题意可得d（1）＝1.
因为2＝1×2，所以d（2）＝2.
因为3＝1×3，所以d（3）＝2.
因为4＝1×4＝2×2，所以d（4）＝3.
因为5＝1×5，所以d（5）＝2.
因为6＝1×6＝2×3，所以d（6）＝4.
因为7＝1×7，所以d（7）＝2.
因为8＝1×8＝2×4，所以d（8）＝4.
因为9＝1×9＝3×3，所以d（9）＝3.
因为10＝1×10＝2×5，所以d（10）＝4.
所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
1. 写出下列数列的前10项，并绘出它们的图象：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
解：根据题意可知，数列的前10项为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，绘出图象如图所示.
（答案图）
（2）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值按自变量从小到大的顺序排列成 的数列.其中欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数 n，且与n互素的正整数的个数，例如，φ（1）＝1，φ（4）＝2.
解： 因为φ（1）＝1，φ（2）＝1，φ（3）＝2，φ（4）＝2，
φ（5）＝4，
φ（6）＝2，φ（7）＝6，φ（8）＝4，
φ（9）＝6，φ（10）＝4，
所以数列的前10项为1，1，2，2，4，2，6，4，6，4，
绘出图象如图所示.
（答案图）
2. 根据下列条件，写出数列{an}的前5项：
（2）an＝（－1）n＋1（n2＋1）；
解：由an＝（－1）n＋1（n2＋1），可得a1＝2，a2＝－5，a3＝10，a4 ＝－17，a5＝26.
3. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（ ），4，9，（ ），25，（ ），49；
解：中依次填写1，16，36，通项公式为an＝n2.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）数列的概念；
（2）数列的表示方法；
（3）数列的通项公式.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？