1.1.1 多边形及其内角和 课件(共34张PPT) 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

(共34张PPT)
第1章 四边形
1.1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
1.能正确识别多边形、多边形的顶点、边、内角、对角线以及正多边形等概念．
2.探索、归纳多边形的内角和公式，并能用于解决计算问题．
3.让学生学会用类比、转化的方法解决问题，培养学生主动参与、合作交流的良好学习习惯．
素养目标
重点：多边形内角和公式的推导．
难点：如何把多边形转化为三角形，用分割法推导多边形的内角和公式．
教学重难点
观察图形，从图中抽象出多边形.
导入新课
活动一：总结共性，生成概念
问题1：这些多边形有什么特征？
这些多边形都在一个平面内，且均由几条(不少于三条)线段首尾顺次相接而成.
课堂探究
问题2：仿照三角形的概念给出多边形的概念.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
注意两个条件：①在同一平面内；②线段首尾顺次相接.
课堂探究
凸多边形：多边形总在任何一条边所在直线的同一旁.
凹多边形：一个多边形的所有边中，有一条边向两端无限延长为一条直线时，其他各边不都在此直线的同一旁.
课堂探究
组成多边形的各条线段叫作多边形的____.
边
边
相邻两条边的公共端点叫作多边形的_____.
顶点
顶点
连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______.
对角线
对角线
相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____.
内角
角
内角
课堂探究
为了方便，可用几何语言来表示多边形及其相关概念.
例如，在如图所示的多边形中，线段AB是边，点E是顶点，线段BD是对角线，∠A是内角.
课堂探究
边
顶点
对角线
内角
问题3：如图所示多边形的边有几条？ 它们分别是什么？ 顶点呢？ 内角呢？ 对角线呢？ 画图找找.
有五条边，分别是线段AB，BC，CD，DE，EA；
有五个顶点，分别是点A，B，C，D，E；
有五个内角，分别是∠A，∠ABC，∠C，∠CDE，∠E；
有五条对角线，分别是线段AC，AD，BD，BE，CE.
课堂探究
多边形的分类及表示方法：
边数大于3时，有几条边就是几边形；用表示多边形的几个顶点的大写字母来表示，如六边形ABCDEF.
课堂探究
问题4：三角形中有一种最特殊的三角形，它是谁？ 它的定义是什么？
等边三角形.
三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形).
已经知道正三角形的三个角相等，三条边也相等.多边形中有没有这种特殊的多边形？
有，比如正方形，它的四条边相等，四个角也相等.
课堂探究
在平面内，像正方形这样，各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.例如，如图所示.
课堂探究
下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
注意：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
想一想
1. 下列说法中，正确的有（　C　）
①由几条线段连接起来组成的图形叫作多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点、n个内角.
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
C
跟踪练习
2.下列说法中错误的是( )
B
A.正多边形的各边都相等 B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形的三条边都相等 D.正六边形的六个内角都相等
【解析】 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形，故B项
符合题意.
活动二：思考探究，得出结论
思考：三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度？
知道长方形和正方形的内角和是360°，猜想任意四边形的内角和也是360°.
课堂探究
正方形
360°
长方形
360°
方法1：证明：如图所示，四边形ABCD被它的一条对角线AC分成△ADC和△ABC.
由于三角形的内角和为180°，
所以四边形ABCD的内角和为180°×2＝360°.
课堂探究
方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
A
B
C
D
E
结论： 四边形的内角和为360°.
总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解
180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED)
= 180°×3 - 180°
= 360°.
总结：利用对角线把四边形分割成两个三角形，从而把四边形的内角和与三角形的内角和有效地联系起来，从而得出任意四边形的内角和是360°.
课堂探究
想一想，五边形、六边形、七边形的内角和怎么求？
图形 五边形 六边形 七边形 ···
边数 5 6 7 ···
从一个顶点出发的对角线条数 ···
可分成三角形的个数 ···
多边形的内角和 ···
2
(5-2)×180°
3
(6-2)×180°
3
4
(7-2)×180°
4
5
课堂探究
在下列各个多边形中，任取一个顶点，画出通过该顶点的所有对角线，并完成下表.
猜测：n边形(n是不小于3的整数)的内角和等于多少？
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n ≥ 3) 边形共有 条对角线.
总结
1.[2025平顶山鲁山模拟]过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形
分成8个三角形，这个多边形的边数是( )
C
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】 设这个多边形的边数是，由题意得,，解得 ．
跟踪练习
2.[2025武汉青山区期中]若从一个多边形的一个顶点出发，可以作7条对角
线，则这个多边形是( )
D
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
【解析】 设这个多边形的边数是， 从一个多边形的一个顶点出发，
可以作7条对角线，，解得 ，故这个多边形是十边形.
证明
方法1 如图，n边形A1A2…An有n个顶点A1，A2，A3，…，An.由于与任一顶点（如点A1）不相邻的顶点均有（n-3）个，因而从某一顶点出发有（n-3）条对角线，于是n边形A1A2…An被分成了（n-2）个三角形.
因此，n边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和，即（n-2）·180°.
n边形的内角和等于（n-2）·180°.
由此得出：
思考
还可以用其他方法求n边形的内角和吗？
方法2 如图，在n边形A1A2…An内任取一点O，连接OA1，OA2，…，OAn，则n边形A1A2…An被分成了n个三角形.
由于n个三角形的内角和为n·180°，且这n个三角形有一个共同顶点O，以O为顶点的内角构成了一个周角.
n·180°-360°=（n-2）·180°.
因此，n边形的内角和为
结论：n边形的内角和等于(n－2)·180°.
这二种方法有什么共同点？
二种方法都运用了转化思想，即把多边形分割成三角形，将多边形的内角和转化成学过的三角形的内角和进行求解.
课堂探究
活动三：知识迁移与应用
例1（1） 十边形的内角和是多少度？
（2） 一个多边形的内角和等于 1980°，它是几边形？
解 （1）十边形的内角和是
(10-2)×180°= 1440°.
（2）设这个多边形的边数为 n，则
(n-2)×180°= 1980°，
解得 n = 13.
所以这是一个十三边形.
课堂探究
1.[2025云南中考]一个六边形的内角和等于( )
C
A. B. C. D.
【解析】 六边形的内角和等于 .
跟踪练习
2.[2025武威中考]如图，一个多边形纸片的内角和为
，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多
边形的边数为( )
A
A.12 B.11 C.10 D.9
【解析】 设原多边形的边数为，则 ，解得
，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边
数多1，为12.
3. （教材P52练习T1变式）求下图中x的值：
解：x°＋（x＋30）°＋60°＋x°＋（x－10）°
＝（5－2）×180°，
解得x＝115.
4.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到其结果为 ，老师说他算错
了，于是小马虎认真地检查了一遍.
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，则这个多边形的边数是多少？
【解】设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是 ，则
.
为正整数，为 的倍数，, .
故这个多边形的边数是12.
（2）若他检查发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角是多少度？这个多边形是
几边形？
【解】设这个多边形的边数是，漏算的那个内角的度数是 ，则
.
为正整数，为 的倍数，, ，
故漏算的那个内角是 ，这个多边形是十三边形.
关键点拨
本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和是 的整倍数是解
题的关键.
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.在学习的过程中，你都运用了哪些数学思想方法？
课堂总结
n 边形从任一顶点出发有 (n-3) 条对角线，n 边形被分成了 (n-2) 个三角形.
n 边形的内角和等于 (n-2) ·180°.