8.2 特殊的平行四边形（第1课时矩形的性质）同步练习（含解析） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.2特殊的平行四边形（第1课时 矩形的性质）同步练习
一、单选题
1．矩形的对称轴的条数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，矩形的对角线交于点O，则是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线
3．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角相等
5．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有
7．如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．所在直线为矩形的对称轴
8．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ．
10．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如图，矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数为，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 ．
12．如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ．
14．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则 ．
15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
三、解答题
16．如图，四边形是矩形，．求证：四边形是平行四边形．
17．如图，矩形中，，．
(1)利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长．
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中作边的中线．
(2)在图②中作边的高线．
(3)在图③中作的角平分线．
19．如图，在矩形中，点在上，平分．
(1)求证：△BEC是等腰三角形．
(2)若，，求的长．
20．学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下：
(1)用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）；
(2)已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是矩形，
，，
，
平分，
① ，
平分，
，
②
，
在△DFO与中，
，
④ ，
四边形是平行四边形．
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．
(1)线段的长度为_____；
(2)求直线所对应的函数表达式；
(3)求点E的坐标；
(4)若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，矩形的性质，矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线所在的直线，据此可得答案．
【详解】解：矩形的对称轴有两条，是通过对边中点的两条直线，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的性质“对角线互相平分”即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
对角线互相平分，
即，
是的中线．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，准确计算是解题的关键．
根据四边形是矩形，可得到，可得到，再根据得到，即可得解．
【详解】四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
故选．
4．C
【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【详解】解：A. 对边平行且相等， B. 对角线互相平分，D. 对角相等，
均是矩形和平行四边形都具有的性质．
C.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．
【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形，
故A选项正确；
B选项：平行四边形的内角不一定是直角，
平行四边形不一定是矩形，
故B选项错误；
C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故C选项正确；
D选项：矩形是特殊的平行四边形，
矩形具有平行四边形的所有性质，
故D选项正确．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断．
【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案．
【详解】解：作于点，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
故选：C．
9．
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．
∴矩形的对称中心为，
设直线的解析式为，把和代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
故答案为：
10．6
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又
∴，
∴
∴
，
故答案为：6．
11．/
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果．
【详解】解：如图，四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
，
以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示，
点所表示的数为：.
故答案为：.
12．
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答．
【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．102.5°
【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键．
由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键．
延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解．
【详解】解：如图，延长，相交于点，
矩形，
，，，
点E是的中点，
，
()，
，则，
平分，
，
，
，则
平分，
在和中，
，
，
，
，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：.
15．3s或6s或9s
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；
根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程．
【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时，
点Q的运动轨迹为．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴．
若，则四边形PQCD是矩形．
设运动时间为ts．由题意，得．
分三种情况讨论：
①当时，，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
解得；
③当时，，
∴，
解得．
综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
16．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．根据矩形的性质得到，进而得到，，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
17．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）以点为圆心，长为半径画弧，与相交，交点即为所求；
（2）由矩形的性质和平行线的性质，可证三角形全等，根据全等的性质，可得线段的长度，从而可得线段的长．
【详解】（1）解：如图，点为所求，
证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）作图知，，
在矩形中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点和，连接交于点，利用矩形的性质知点为中点，连接，则为边的中线；
（2）取格点I，连接交于点，得到，推出，得到，则为边的高；
（3）取格点，得到，连接，利用矩形的性质找到的中点，连接交于点，利用等腰三角形的性质得到是的角平分线．
【详解】（1）解：如图，为边的中线；
（2）解：如图，为边的高；
（3）解：如图，是的角平分线；
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到，从而可以得到，根据角平分线的定义，可以得到，进而得到，然后根据等角对等边即可证明结论；
（2）根据矩形的性质得到是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可以求得的长，再根据（1）中得到的，即可得到的长．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
．
平分，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：四边形是矩形，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
．
由（1）知，
．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握等腰三角形的判定．
20．(1)见解析
(2)；；；
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先作出作的角平分线交于点F，
（2）结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：依题意，点F如图所示：
（2）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
平分，
①，
平分，
，
②
，
在与中，
，
④，
四边形是平行四边形．
故答案为：；；；．
21．(1)10
(2)
(3)
(4)存在，
【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长；
（2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式；
（3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标；
（4）根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可．
【详解】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10；
（2）解：设，则，，，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线所对应的函数表达式为；
（3）解：过点E作轴于点F，如图所示．
∵，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴点E的坐标为．
（4）解：存在，
如图所示，由，设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
∴存在，点P的坐标为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．