河南省南阳市2025-2026学年上学期期末高一数学试卷（含答案）

南阳地区2025年秋季高一年级期末摸底考试卷
数 学
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合，，则
A. B.
C. D.
2. “”是“函数为幂函数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注。主办方为了调研不同观演模式下的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众1000人，VR全景云包厢观众500人，线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为
A.15 B.20 C.24 D.25
4. 函数的单调递减区间为
A. B.
C. D.
5. 已知奇函数在上单调递增，且，则的取值范围是
A. B.
C. D.
6. 某大学某专业开设了《数据分析》课程，在期末的“APM数据挖掘”项目中，老师从提交的作业中随机抽取了10份样本进行分析，其中选择A类方向作为研究对象的有6人（记为A组），选择B类方向作为研究对象的有4人（记为B组）。已知A组样本APM数据的平均数为120，方差为8，B组样本APM数据的平均数为100，方差为8，则这10份样本APM数据的平均数和方差分别是
A.112，104 B.112，114 C.114，104 D.114，114
7. 现有一个装有2000 mL水的水壶，每次均倒掉该水壶中剩余水的，若要使该水壶中的水不超过5 mL，则至少需要倒水的次数是
A.4 B.5 C.6 D.7
8. 已知正数 ， 满足 。现从①，②，③，④ 这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列结论正确的有
A.
B. “”是假命题
C. “有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D. “”的否定是“，”
10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体。现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C 3个字母的卡片代表小林参加A，B，C 3场活动，则
A. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥
B. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立
C. “小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立
D. “小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立
11. 已知函数 满足 ，，则
A.
B.
C. 为偶函数
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 某人工智能实验室在训练一款“中文大语言模型”时，为了评估该模型的生成速度，记录了其生成10段不同长度文本的“推理延迟”（单位：毫秒）。数据按从小到大排序如下：120，135，142，150，165，178，180，190，205，220。为了保证用户体验，工程师需要设定一个“极速响应”的标准，要求覆盖前30%的最快生成速度，则这个速度标准（即第30百分位数）应为 毫秒。
13. 已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为 。
14. 已知函数 ，且关于 的方程 有8个不相等的实数根，则 的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车A进行一次变道测试和一次泊车测试.
（1）求汽车A两项功能测试都成功的概率；
（2）求汽车A恰有一项功能测试成功的概率.
16.(15分)
某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分(满分100分).将评分数据按，50)，，60)，，70)，，80)，，90)，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)若从评分在，60)内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率.
17.(15分)
已知函数.
（1）设g（x）的图象恒过点A，求点A的坐标；
（2）试判断g（x）的奇偶性，并说明理由；
(3)当a时，不等式3g(x)<；k在，上恒成立，求k的取值范围.
18.(17分)
如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1.
（1）求的解析式.
（2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且.
（ⅰ）求与的解析式；
（ⅱ）若函数在上的最大值为0，求的值.
（3）设函数，是否存在，使得在上单调递增，且在上的值域为？ 若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
19.(17分)
若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数.
（1）证明：为“2积轴函数”.
（2）已知函数.
（ⅰ）试问是否为“积轴函数”？ 若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由.
（ⅱ）若函数有唯一零点，求正数的取值范围.
南阳地区2025年秋季高一年级期末摸底考试卷
数学参考答案
1.B由题意得 ，所以 。
2.A若 是幂函数，则 ，解得 ，所以“”是“函数 为幂函数”的充分不必要条件。
3.B应从线下现场观众中抽取的人数为 。
4.B令 ，解得 或 。因为函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，根据复合函数的单调性可得 的单调递减区间为 。
5.C根据题意可得不等式 即为 ，即 ，因为 在 上单调递增，所以 ，解得 。
6.A设这10份样本APM数据的平均数为 ，方差为 ，则 ，。
7.B设经过 次倒水后该水壶中的水的体积（单位：mL）为 ，则 ，由 ，得 ，因为 随 的增大而增大，，，所以至少需要倒水的次数是5。
8.D由 ，得 ，即 。设函数 ，易得 在 上单调递增，所以 ，即 ，则 ，所以 ，①正确。 与 的大小比较无法判断，②错误。易得 ，，③正确。，④正确。从这4个不等式中随机抽取2个不等式，共有6种选法，其中恰有1个不等式成立的选法有3种，所以所求概率为 。
9.AB ，A正确。因为 ，所以“”是假命题，B正确。“有理数的平方是有理数”是全称量词命题，C错误。“”的否定是“”，D错误。
10.BC若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误。“小林参加A场活动”的概率为
，“小林参加B场活动”的概率为，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为，，B正确。“小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，，C正确。“小林参加B场或C场活动”的概率为，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为，，D错误。
11.ACD令，，得，解得，A正确。令，，得，解得，B错误。令，得，所以，所以为偶函数，C正确。令，得，即，则，，D正确。
12.146因为，所以这个速度标准（即第30百分位数）应为毫秒。
13.8 ，当且仅当即，时，等号成立，所以，得，即的最大值为8。
14. 画出的大致图象。设，当时，的图象与直线有4个交点，所以在上有2个零点，所以 解得，即的取值范围是。
15. 解：（1）汽车A两项功能测试都成功的概率为。 …………………… 6分
（2）汽车A恰有一项功能测试成功的概率为。…… ………………………………………………………………………… 13分
16. 解：（1）由， …………………… 2分
解得。 …………………………………………………………………… 4分
（2）这100名用户评分的平均数约为。 ……………………………………………………………… 9分
（3）根据题意可得被抽取的5人中有人评分在内，记为A，
有人评分在内，记为，，，。…………………………………… 10分
从这5人中随机抽取2人赠送会员的所有可能结果有，，，，，，，，，，共10种， ………………………………………………………………………… 12分
其中这2人来自不同评分区间的情况有4种， …………………………………………………… 13分
所以这2人来自不同评分区间的概率为。 …………………………………………………… 15分
7. 解：（1）因为， …………………………………………………… 2分
所以点A的坐标为。 …………………………………………………… 4分
（2）易得的定义域为，关于原点对称。 …………………………………………………… 5分
，…… 7分
所以是奇函数。 …………………………………………………… 9分
（3）当时，， …………………………………………………… 10分
易得在上单调递减， …………………………………………………… 11分
所以， …………………………………………………… 13分
因为不等式在上恒成立，所以，即的取值范围为。 …………………………………………………… 15分
8. 解：（1）设，其中。
设，因为的面积为1，所以，得，…………… 1分
将A的坐标代入，得，解得，
所以。 …………………………………………………… 3分
（2）（ⅰ）由①，得②，……… 4分
因为是偶函数，是奇函数，所以由②得③， …… 5分
由①和③得，，。 …………………………………………………… 6分
（ⅱ），。 …………………………………………………… 7分
，。
当时，，解得（舍去）或； … 8分
当时，，解得（舍去）或。 … 9分
故的值为或。 …………………………………………………… 10分
（3）依题意得 11分
则在上单调递减，在上单调递增. 12分
因为在上单调递增，所以， 13分
则 14分
即解得 16分
故，. 17分
.（1）证明：易得的定义域为，任取，
且， 1分
则，，
故是“积轴函数”. 4分
（2）解：（ⅰ）是“积轴函数”，的值为. 5分
理由如下：设函数，易得的
定义域为，任取，且，
则， 6分
， 7分
若，则，即， 8分
由，得，验证成立，故.
9分
（ⅱ）令，
得，由（ⅰ）得，，
所以，………………… 10分
，当且仅当，即时，等号成立，则，……………………………………………………………………… 11分
令，设函数，由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减. ……………………………………………………………… 12分
因为，，所以根据函数单调性可得，
则关于的方程在上只有一个根. ………… 13分
当时，方程可化为，其解为，符合题意. …………………………… 14分
当时，设函数.
因为，所以当，即时，显然成立. …………………… 15分
当，即时， 无解. …………………… 16分
综上可得，正数的取值范围为. ………………………………………………… 17分