人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时2函数的极值与导数课件(共27张PPT)
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| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时2函数的极值与导数课件(共27张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时2 函数的极值与导数
1. 掌握函数极值的概念，理解函数的极值与导数的关系.
2. 会求已知函数的极值.
理解函数的极值与导数的关系，会求已知函数的极值.
教学过程设计
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断 函数的增减.如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什 么性质呢？
函数的极值
观察图5.3－5，我们发现，当t＝a时，跳水运动员距水面的高度最大.那 么，函数h（t）在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相 应地，导数的正负性有什么变化规律？
图5.3－5 图5.3－6
放大t＝a附近函数h（t）的图象，如图5.3－6.可以看出，h'（a）＝0； 在t＝a的附近，当t＜a时，函数h（t）单调递增，h'（t）＞0；当t＞a 时，函数h（t）单调递减，h'（t）＜0.这就是说，在t＝a附近，函数值先 增（当t＜a时，h'（t）＞0）后减（当t＞a时，h'（t）＜0）.这样，当t 在a的附近从小到大经过a时，h'（t）先正后负，且h'（t）连续变化，于 是有h'（a）＝0.
对于一般的函数y＝f（x），是否也有同样的性质呢？
问题1：如图5.3－7，函数y＝f（x）在x＝a，b，c，d，e等点处的函数 值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f（x）在这些点处的导数值是多 少？在这些点附近，y＝f（x）的导数的正负性有什么规律？
图5.3－7
以x＝a，b两点为例，可以发现，函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值
f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'（a）＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0.类似地，函数y＝f（x）在 点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，
f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0.
我们把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极 小值；b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极 大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
问题2：极值点是一个点吗？极值是最值吗？
极值点是取到极值时的x的取值，是一个实数.极值只是说明某个点的函数值 与该点附近的函数值比较是最大或最小的，并不意味着该点的函数值在整个 定义域内是最大或最小的.
追问：极大值一定大于极小值吗？函数的极大值和极小值唯一吗？
极值只是说明某个点的函数值与该点附近的函数值比较是最大或最小的，
所以极大值不一定大于极小值.一个函数在它的定义域内可能有多个极大值 和极小值.
问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数f（x）＝x3，我们 有f'（x）＝3x2.虽然f'（0）＝0，但由于无论x＞0，还是x＜0，恒有
f'（x）＞0，即函数f（x）＝x3是增函数，
所以0不是函数f（x）＝x3的极值点.
一般地，函数y＝f（x）在一点处的导数值为0是函数y＝f（x）在这点取 极值的必要条件，而非充分条件.
一般地，可按如下方法求函数y＝f（x）的极值：
解方程f'（x）＝0，当f'（x0）＝0时：
（1）如果在x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，那么f（x0）是极 大值；
（2）如果在x0附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，那么f（x0）是极 小值.
目标检测
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
（答案图）
1. 函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，试找出函数f（x）的 极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
解：因为x2，x4点的导数都为零，且这两点左、右两侧的导数值异号，
所以x2，x4是函数的极值点.又因为x∈（x1，x2）时，
f'（x）＞0，x∈（x2，x3）时，f'（x）＜0，
所以x2是极大值点.
因为x∈（x3，x4）时，f'（x）＜0，x∈（x4，x5）时，
f'（x）＞0，
所以x4是极小值点.
2. 求下列函数的极值：
（1）f（x）＝6x2－x－2；
解：f（x）＝6x2－x－2的定义域为R，f'（x）＝12x－1.
x
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增
（2）f（x）＝x3－27x；
解：f（x）＝x3－27x的定义域为R，f'（x）＝3x2－27.
令f'（x）＝0，解得x＝±3，列表得：
x （－∞，－3） －3 （－3，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 54 单调递减 －54 单调递增
所以函数f（x）＝x3－27x的极小值为f（3）＝－54，
极大值为f（－3）＝54.
（3）f（x）＝6＋12x－x3；
解：f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，f'（x）＝12－3x2.
令f'（x）＝0，解得x＝±2，列表得：
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 －10 单调递增 22 单调递减
所以函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值为f（－2）＝－10，
极大值为f（2）＝22.
（4）f（x）＝3x－x3.
解：f（x）＝3x－x3的定义域为R，f'（x）＝3－3x2.
令f'（x）＝0，解得x＝±1，列表得：
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减
所以函数f（x）＝3x－x3的极小值为f（－1）＝－2，
极大值为f（1）＝2.
A. x＝3是f（x）的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
ACD
解析：对于A，因为函数f（x）的定义域为R，
而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）（x－3），
易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，
在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，
故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；
对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，
所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
所以f（x）＞f（x2），B错误；
对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，
函数f（x）在（1，3）上单调递减，
所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；
对于D，当－1＜x＜0时，f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－ （x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2－2x）＞0，
所以f（2－x）＞f（x），D正确. 故选ACD.
A. bc＞0 B. ab＞0
C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0
BCD
3. 导函数y＝f'（x）的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处：
（1）导函数y＝f'（x）有极大值？
解：由图知，极大值点左、右两侧的单调性是 先增后减，即x2为极大值点.
（2）导函数y＝f'（x）有极小值？
解：由图知，极小值点左、右两侧的单调性是先减后增，即x1，x4为极小值点.
（3）函数f（x）有极大值？
解：由图知，x∈（－∞，x3），f'（x）＞0，函数
f（x）单调递增；x∈（x3，x5），f'（x）＜0，
函数f（x）单调递减；
x∈（x5，＋∞），f'（x）＞0，函数f（x）单调 递增.则函数f（x）在x3处取极大值.
（4）函数f（x）有极小值？
解：（4）由（3）知，函数f（x）在x5处取极小值.
4. 设函数f（x）＝[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
解：因为f（x）＝[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex，
所以f'（x）＝[2ax－（4a＋1）]ex＋[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex
＝[ax2－（2a＋1）x＋2]ex，
所以f'（1）＝（1－a）e.
由题设知f'（1）＝0，即（1－a）e＝0，解得a＝1.
此时f（1）＝3e≠0，
所以a的值为1.
（2）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）导数为零的点与函数的极值点的关系；
（2）求可导函数f（x）的极值的步骤.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时2 函数的极值与导数
1. 掌握函数极值的概念，理解函数的极值与导数的关系.
2. 会求已知函数的极值.
理解函数的极值与导数的关系，会求已知函数的极值.
教学过程设计
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断 函数的增减.如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什 么性质呢？
函数的极值
观察图5.3－5，我们发现，当t＝a时，跳水运动员距水面的高度最大.那 么，函数h（t）在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相 应地，导数的正负性有什么变化规律？
图5.3－5 图5.3－6
放大t＝a附近函数h（t）的图象，如图5.3－6.可以看出，h'（a）＝0； 在t＝a的附近，当t＜a时，函数h（t）单调递增，h'（t）＞0；当t＞a 时，函数h（t）单调递减，h'（t）＜0.这就是说，在t＝a附近，函数值先 增（当t＜a时，h'（t）＞0）后减（当t＞a时，h'（t）＜0）.这样，当t 在a的附近从小到大经过a时，h'（t）先正后负，且h'（t）连续变化，于 是有h'（a）＝0.
对于一般的函数y＝f（x），是否也有同样的性质呢？
问题1：如图5.3－7，函数y＝f（x）在x＝a，b，c，d，e等点处的函数 值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f（x）在这些点处的导数值是多 少？在这些点附近，y＝f（x）的导数的正负性有什么规律？
图5.3－7
以x＝a，b两点为例，可以发现，函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值
f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'（a）＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0.类似地，函数y＝f（x）在 点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，
f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0.
我们把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极 小值；b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极 大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
问题2：极值点是一个点吗？极值是最值吗？
极值点是取到极值时的x的取值，是一个实数.极值只是说明某个点的函数值 与该点附近的函数值比较是最大或最小的，并不意味着该点的函数值在整个 定义域内是最大或最小的.
追问：极大值一定大于极小值吗？函数的极大值和极小值唯一吗？
极值只是说明某个点的函数值与该点附近的函数值比较是最大或最小的，
所以极大值不一定大于极小值.一个函数在它的定义域内可能有多个极大值 和极小值.
问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数f（x）＝x3，我们 有f'（x）＝3x2.虽然f'（0）＝0，但由于无论x＞0，还是x＜0，恒有
f'（x）＞0，即函数f（x）＝x3是增函数，
所以0不是函数f（x）＝x3的极值点.
一般地，函数y＝f（x）在一点处的导数值为0是函数y＝f（x）在这点取 极值的必要条件，而非充分条件.
一般地，可按如下方法求函数y＝f（x）的极值：
解方程f'（x）＝0，当f'（x0）＝0时：
（1）如果在x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，那么f（x0）是极 大值；
（2）如果在x0附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，那么f（x0）是极 小值.
目标检测
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
（答案图）
1. 函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，试找出函数f（x）的 极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
解：因为x2，x4点的导数都为零，且这两点左、右两侧的导数值异号，
所以x2，x4是函数的极值点.又因为x∈（x1，x2）时，
f'（x）＞0，x∈（x2，x3）时，f'（x）＜0，
所以x2是极大值点.
因为x∈（x3，x4）时，f'（x）＜0，x∈（x4，x5）时，
f'（x）＞0，
所以x4是极小值点.
2. 求下列函数的极值：
（1）f（x）＝6x2－x－2；
解：f（x）＝6x2－x－2的定义域为R，f'（x）＝12x－1.
x
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增
（2）f（x）＝x3－27x；
解：f（x）＝x3－27x的定义域为R，f'（x）＝3x2－27.
令f'（x）＝0，解得x＝±3，列表得：
x （－∞，－3） －3 （－3，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 54 单调递减 －54 单调递增
所以函数f（x）＝x3－27x的极小值为f（3）＝－54，
极大值为f（－3）＝54.
（3）f（x）＝6＋12x－x3；
解：f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，f'（x）＝12－3x2.
令f'（x）＝0，解得x＝±2，列表得：
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 －10 单调递增 22 单调递减
所以函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值为f（－2）＝－10，
极大值为f（2）＝22.
（4）f（x）＝3x－x3.
解：f（x）＝3x－x3的定义域为R，f'（x）＝3－3x2.
令f'（x）＝0，解得x＝±1，列表得：
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减
所以函数f（x）＝3x－x3的极小值为f（－1）＝－2，
极大值为f（1）＝2.
A. x＝3是f（x）的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
ACD
解析：对于A，因为函数f（x）的定义域为R，
而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）（x－3），
易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，
在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，
故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；
对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，
所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
所以f（x）＞f（x2），B错误；
对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，
函数f（x）在（1，3）上单调递减，
所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；
对于D，当－1＜x＜0时，f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－ （x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2－2x）＞0，
所以f（2－x）＞f（x），D正确. 故选ACD.
A. bc＞0 B. ab＞0
C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0
BCD
3. 导函数y＝f'（x）的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处：
（1）导函数y＝f'（x）有极大值？
解：由图知，极大值点左、右两侧的单调性是 先增后减，即x2为极大值点.
（2）导函数y＝f'（x）有极小值？
解：由图知，极小值点左、右两侧的单调性是先减后增，即x1，x4为极小值点.
（3）函数f（x）有极大值？
解：由图知，x∈（－∞，x3），f'（x）＞0，函数
f（x）单调递增；x∈（x3，x5），f'（x）＜0，
函数f（x）单调递减；
x∈（x5，＋∞），f'（x）＞0，函数f（x）单调 递增.则函数f（x）在x3处取极大值.
（4）函数f（x）有极小值？
解：（4）由（3）知，函数f（x）在x5处取极小值.
4. 设函数f（x）＝[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
解：因为f（x）＝[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex，
所以f'（x）＝[2ax－（4a＋1）]ex＋[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex
＝[ax2－（2a＋1）x＋2]ex，
所以f'（1）＝（1－a）e.
由题设知f'（1）＝0，即（1－a）e＝0，解得a＝1.
此时f（1）＝3e≠0，
所以a的值为1.
（2）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）导数为零的点与函数的极值点的关系；
（2）求可导函数f（x）的极值的步骤.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？