人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时1函数的单调性与导数课件(共34张PPT)
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| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时1函数的单调性与导数课件(共34张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时1 函数的单调性与导数
1. 理解并掌握函数的单调性与导数的关系.
2. 能利用导数与函数的关系确定函数的单调性.
利用导数与函数的关系确定函数的单调性.
教学过程设计
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解 函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常 重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基 本的了解.下面，我们运用导数先研究函数的单调性，从中体会导数在研 究函数中的作用.
函数的单调性
我们先来研究前面学习过的跳水问题.
（1） （2）
图5.3－1
问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状 态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间 t的增加而增加，即h（t）单调递增.相应地，v（t）＝h'（t）＞0.
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）单调递减.相应地，v（t）＝h'（t）＜0.
问题2：我们看到，函数h（t）的单调性与h'（t）的正负有内在联系.那 么，我们能否由h'（t）的正负来判断函数h（t）的单调性呢？
对于上述跳水问题，可以发现：
当t∈（0，a）时，h'（t）＞0，函数h（t）的图象是“上升”的，函数h （t）在（0，a）内单调递增；
当t∈（a，b）时，h'（t）＜0，函数h（t）的图象是“下降”的，函数 h（t）在（a，b）内单调递减.
这种情况是否具有一般性呢？
观察：观察下面一些函数的图象（图5.3－2），探讨函数的单调性与导数的 正负的关系.
如图5.3－3，导数f'（x0）表示函数y＝f（x）的图象在点（x0，f（x0））
处的切线的斜率.可以发现：
在x＝x0处，f'（x0）＞0，切线是“左下右上”的上升式，函数f（x）的 图象也是上升的，函数f（x）在x＝x0附近单调递增；
在x＝x1处，f'（x1）＜0，切线是“左上右下”
的下降式，函数f（x）的图象也是下降的，函
数f（x）在x＝x1附近单调递减.
图5.3－3
一般地，函数f（x）的单调性与导函数f'（x）的正负之间具有如下的
关系：
在某个区间（a，b）内，如果f'（x）＞0，那么函数y＝f（x）在区间 （a，b）内单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'（x）＜0，那么函数y＝f（x）在区间 （a，b）内单调递减.
问题3：如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数f（x）有什么特性？
如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么在这个区间上，函数y＝f（x）是 常函数.
注意：在某个区间上，若仅有有限个点所对应的导数值为0，则不能判定f （x）为常函数.
利用导数讨论函数的单调性
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f（x）的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f'（x）的零点；
第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出
f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
（1）
图5.3－4
幂函数y＝x3的导数为y'＝3x2＞0（x∈（0，＋∞）），
所以y＝x3在区间（0，＋∞）上单调递增.当x越来越大时，
y'＝3x2越来越大，函数y＝x3递增得越来越快，图象上升得
越来越“陡峭”（如图5.3－4（2））.
（2）
图5.3－4
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那
么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较
“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化
得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
目标检测
1. 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）f（x）＝x3＋3x；
解：因为f（x）＝x3＋3x，
所以f'（x）＝3x2＋3＝3（x2＋1）＞0；
所以，函数f（x）＝x3＋3x在R上单调递增，如图1所示.
（答案图1）
（2）f（x）＝ sin x－x，x∈（0，π）；
解：因为f（x）＝ sin x－x，x∈（0，π），
所以f'（x）＝ cos x－1＜0；
所以，函数f（x）＝ sin x－x在（0，π）内单调递减，如图2所示.
（答案图2）
（答案图3）
2. 已知导函数f'（x）的下列信息：
当1＜x＜4时，f'（x）＞0；
当x＜1，或x＞4时，f'（x）＜0；
当x＝1，或x＝4时，f'（x）＝0.
试画出函数f（x）图象的大致形状.
（答案图）
解：当1＜x＜4时，f'（x）＞0，可知f（x）在区间（1，4）内单调递增；
当x＜1，或x＞4时，f'（x）＜0，
可知f（x）在区间（－∞，1）和（4，＋∞）上都单调递减；
当x＝1，或x＝4时，f'（x）＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）图象的大致形状如图所示.
x （－∞，－1） －1 （－1，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
所以，f（x）在（－∞，－1）和（2，＋∞）上单调递增，
在（－1，2）内单调递减，如图所示.
（答案图）
1. 判断下列函数的单调性：
（1）f（x）＝x2－2x＋4；
解：f'（x）＝2x－2，令f'（x）＝2x－2＞0，得x＞1；
令f'（x）＝2x－2＜0，得x＜1；
所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减.
（2）f（x）＝ex－x.
解：f'（x）＝ex－1，令f'（x）＝ex－1＞0，得x＞0；
令f'（x）＝ex－1＜0，得x＜0；
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减.
2. 利用导数讨论二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的单调区间.
3. 函数y＝f（x）的图象如图所示，试画出函数y＝f'（x）在区间（0， b）内图象的大致形状.
解：函数y＝f'（x）图象的大致形状如图（图象形状不唯一）.
（答案图）
4. 证明函数f（x）＝2x3－6x2＋7在区间（0，2）内单调递减.
证明：因为f（x）＝2x3－6x2＋7，
所以f'（x）＝6x2－12x，当x∈（0，2）时，f'（x）＝6x2－12x＜0，
所以函数f（x）＝2x3－6x2＋7在区间（0，2）内单调递减.
5. 函数y＝f'（x）的图象如图所示，试画出函数y＝f（x）图象的大致
形状.
解：由图知，当0＜x＜a时，f'（x）＞0且为定值；
当a＜x＜c时，f'（x）单调递减，且在x∈（a，b）
上f'（x）＞0，在x∈（b，c）上f'（x）＜0；
当c＜x＜e时，f'（x）单调递增，且在x∈（c，d）
上f'（x）＜0，在x∈（d，e）上f'（x）＞0，
∴当0＜x＜a时，f（x）单调递增且图象为斜率大于0的直线，
当a＜x＜b时，f（x）单调递增，当b＜x＜c时，f（x）单调递减，
当c＜x＜d时，f（x）单调递减，当d＜x＜e时，f（x）单调递增，
∴函数f（x）图象的大致形状如图.
（答案图）
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）f（x）＝－2x＋1；
解：f'（x）＝－2＜0，则函数在x∈R上单调递减，
即单调递减区间为（－∞，＋∞），无单调递增区间.
（3）f（x）＝2x－4；
解：f'（x）＝2＞0，则函数在x∈R上单调递增，
即单调递增区间为（－∞，＋∞），无单调递减区间.
（4）f（x）＝2x3＋4x.
解：f'（x）＝6x2＋4＞0，则函数在x∈R上单调递增，
即单调递增区间为（－∞，＋∞），无单调递减区间.
2. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）f（x）＝x2＋2x－4；
解：因为f（x）＝x2＋2x－4，
所以f'（x）＝2x＋2，由f'（x）＞0得x＞－1，
由f'（x）＜0得x＜－1，
所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），
单调递增区间为（－1，＋∞）.
（2）f（x）＝2x2－3x＋3；
（3）f（x）＝3x＋x3；
解：因为f（x）＝3x＋x3，
所以f'（x）＝3＋3x2，由于f'（x）＝3＋3x2＞0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞），
无单调递减区间.
（4）f（x）＝x3＋x2－x.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）利用导数研究函数y＝f（x）的单调性的一般步骤；
（2）利用导数求函数y＝f（x）的单调区间的步骤；
（3）函数增减的快慢与导数的关系；
（4）函数的单调性的应用.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时1 函数的单调性与导数
1. 理解并掌握函数的单调性与导数的关系.
2. 能利用导数与函数的关系确定函数的单调性.
利用导数与函数的关系确定函数的单调性.
教学过程设计
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解 函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常 重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基 本的了解.下面，我们运用导数先研究函数的单调性，从中体会导数在研 究函数中的作用.
函数的单调性
我们先来研究前面学习过的跳水问题.
（1） （2）
图5.3－1
问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状 态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间 t的增加而增加，即h（t）单调递增.相应地，v（t）＝h'（t）＞0.
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）单调递减.相应地，v（t）＝h'（t）＜0.
问题2：我们看到，函数h（t）的单调性与h'（t）的正负有内在联系.那 么，我们能否由h'（t）的正负来判断函数h（t）的单调性呢？
对于上述跳水问题，可以发现：
当t∈（0，a）时，h'（t）＞0，函数h（t）的图象是“上升”的，函数h （t）在（0，a）内单调递增；
当t∈（a，b）时，h'（t）＜0，函数h（t）的图象是“下降”的，函数 h（t）在（a，b）内单调递减.
这种情况是否具有一般性呢？
观察：观察下面一些函数的图象（图5.3－2），探讨函数的单调性与导数的 正负的关系.
如图5.3－3，导数f'（x0）表示函数y＝f（x）的图象在点（x0，f（x0））
处的切线的斜率.可以发现：
在x＝x0处，f'（x0）＞0，切线是“左下右上”的上升式，函数f（x）的 图象也是上升的，函数f（x）在x＝x0附近单调递增；
在x＝x1处，f'（x1）＜0，切线是“左上右下”
的下降式，函数f（x）的图象也是下降的，函
数f（x）在x＝x1附近单调递减.
图5.3－3
一般地，函数f（x）的单调性与导函数f'（x）的正负之间具有如下的
关系：
在某个区间（a，b）内，如果f'（x）＞0，那么函数y＝f（x）在区间 （a，b）内单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'（x）＜0，那么函数y＝f（x）在区间 （a，b）内单调递减.
问题3：如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数f（x）有什么特性？
如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么在这个区间上，函数y＝f（x）是 常函数.
注意：在某个区间上，若仅有有限个点所对应的导数值为0，则不能判定f （x）为常函数.
利用导数讨论函数的单调性
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f（x）的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f'（x）的零点；
第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出
f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
（1）
图5.3－4
幂函数y＝x3的导数为y'＝3x2＞0（x∈（0，＋∞）），
所以y＝x3在区间（0，＋∞）上单调递增.当x越来越大时，
y'＝3x2越来越大，函数y＝x3递增得越来越快，图象上升得
越来越“陡峭”（如图5.3－4（2））.
（2）
图5.3－4
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那
么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较
“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化
得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
目标检测
1. 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）f（x）＝x3＋3x；
解：因为f（x）＝x3＋3x，
所以f'（x）＝3x2＋3＝3（x2＋1）＞0；
所以，函数f（x）＝x3＋3x在R上单调递增，如图1所示.
（答案图1）
（2）f（x）＝ sin x－x，x∈（0，π）；
解：因为f（x）＝ sin x－x，x∈（0，π），
所以f'（x）＝ cos x－1＜0；
所以，函数f（x）＝ sin x－x在（0，π）内单调递减，如图2所示.
（答案图2）
（答案图3）
2. 已知导函数f'（x）的下列信息：
当1＜x＜4时，f'（x）＞0；
当x＜1，或x＞4时，f'（x）＜0；
当x＝1，或x＝4时，f'（x）＝0.
试画出函数f（x）图象的大致形状.
（答案图）
解：当1＜x＜4时，f'（x）＞0，可知f（x）在区间（1，4）内单调递增；
当x＜1，或x＞4时，f'（x）＜0，
可知f（x）在区间（－∞，1）和（4，＋∞）上都单调递减；
当x＝1，或x＝4时，f'（x）＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）图象的大致形状如图所示.
x （－∞，－1） －1 （－1，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
所以，f（x）在（－∞，－1）和（2，＋∞）上单调递增，
在（－1，2）内单调递减，如图所示.
（答案图）
1. 判断下列函数的单调性：
（1）f（x）＝x2－2x＋4；
解：f'（x）＝2x－2，令f'（x）＝2x－2＞0，得x＞1；
令f'（x）＝2x－2＜0，得x＜1；
所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减.
（2）f（x）＝ex－x.
解：f'（x）＝ex－1，令f'（x）＝ex－1＞0，得x＞0；
令f'（x）＝ex－1＜0，得x＜0；
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减.
2. 利用导数讨论二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的单调区间.
3. 函数y＝f（x）的图象如图所示，试画出函数y＝f'（x）在区间（0， b）内图象的大致形状.
解：函数y＝f'（x）图象的大致形状如图（图象形状不唯一）.
（答案图）
4. 证明函数f（x）＝2x3－6x2＋7在区间（0，2）内单调递减.
证明：因为f（x）＝2x3－6x2＋7，
所以f'（x）＝6x2－12x，当x∈（0，2）时，f'（x）＝6x2－12x＜0，
所以函数f（x）＝2x3－6x2＋7在区间（0，2）内单调递减.
5. 函数y＝f'（x）的图象如图所示，试画出函数y＝f（x）图象的大致
形状.
解：由图知，当0＜x＜a时，f'（x）＞0且为定值；
当a＜x＜c时，f'（x）单调递减，且在x∈（a，b）
上f'（x）＞0，在x∈（b，c）上f'（x）＜0；
当c＜x＜e时，f'（x）单调递增，且在x∈（c，d）
上f'（x）＜0，在x∈（d，e）上f'（x）＞0，
∴当0＜x＜a时，f（x）单调递增且图象为斜率大于0的直线，
当a＜x＜b时，f（x）单调递增，当b＜x＜c时，f（x）单调递减，
当c＜x＜d时，f（x）单调递减，当d＜x＜e时，f（x）单调递增，
∴函数f（x）图象的大致形状如图.
（答案图）
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）f（x）＝－2x＋1；
解：f'（x）＝－2＜0，则函数在x∈R上单调递减，
即单调递减区间为（－∞，＋∞），无单调递增区间.
（3）f（x）＝2x－4；
解：f'（x）＝2＞0，则函数在x∈R上单调递增，
即单调递增区间为（－∞，＋∞），无单调递减区间.
（4）f（x）＝2x3＋4x.
解：f'（x）＝6x2＋4＞0，则函数在x∈R上单调递增，
即单调递增区间为（－∞，＋∞），无单调递减区间.
2. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）f（x）＝x2＋2x－4；
解：因为f（x）＝x2＋2x－4，
所以f'（x）＝2x＋2，由f'（x）＞0得x＞－1，
由f'（x）＜0得x＜－1，
所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），
单调递增区间为（－1，＋∞）.
（2）f（x）＝2x2－3x＋3；
（3）f（x）＝3x＋x3；
解：因为f（x）＝3x＋x3，
所以f'（x）＝3＋3x2，由于f'（x）＝3＋3x2＞0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞），
无单调递减区间.
（4）f（x）＝x3＋x2－x.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）利用导数研究函数y＝f（x）的单调性的一般步骤；
（2）利用导数求函数y＝f（x）的单调区间的步骤；
（3）函数增减的快慢与导数的关系；
（4）函数的单调性的应用.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？