人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时4导数与函数的零点及用导数解决实际问题课件(共28张PPT)
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| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时4导数与函数的零点及用导数解决实际问题课件(共28张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时4 导数与函数的零点及用导数解决实际问题
1. 利用导数研究函数的零点，并会解决与之有关的方程、不等式问题.
2. 利用导数解决某些简单的实际问题.
3. 能将生活中的优化问题转化为求函数的最值问题，并熟悉利用导数方法解 决优化问题的基本步骤.
利用导数研究函数的零点，并用导数解决实际问题.
教学过程设计
我们在本单元“导数在研究函数的应用”中，利用导数研究了函数的哪 些性质？回顾以往通过代数运算研究的函数性质，你觉得还有哪些函数性质 可以利用导数进行研究？
前面我们利用导数研究了函数的单调性、函数的极值与函数的最大 （小）值，还可以利用导数研究函数的零点等，在得出函数的性质后，可以 进一步研究函数的图象，还可以利用导数研究函数的实际应用问题等.
函数的零点
回顾前面的知识，函数零点的概念是什么？
对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝
f（x）的零点.
方程f（x）＝0有实数解 函数y＝f（x）有零点 函数y＝f（x）的图象 与x轴有公共点.
函数f（x）的图象直观地反映了函数f（x）的性质，通常可以按如下步骤 画出函数f（x）的大致图象：
（1）求出函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x）及函数f'（x）的零点；
（3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f' （x）在各个区间上的正负，并得出f（x）的单调性与极值；
（4）确定f（x）的图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f（x）的大致图象.
利用导数解决生活中的优化问题
利用导数解决优化问题的基本思路：
由此思路可得用导数解决优化问题的步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，构建实际问题的函数模型，进而求 出函数解析式y＝f（x）；
（2）求函数f（x）的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和使f'（x）＝0的点的函数值的大小，确定最值 或取得最值时所满足的条件；
（4）将问题还原到实际问题中作答.
目标检测
1. 给定函数f（x）＝（x＋1）ex.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
解：函数的定义域为R. f'（x）＝（x＋1）'ex＋（x＋1）（ex）'＝ex＋
（x＋1）ex＝（x＋2）ex.
令f'（x）＝0，解得x＝－2.f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，－2） －2 （－2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增
（2）画出函数f（x）的大致图象；
解：令f（x）＝0，解得x＝－1.
当x＜－1时，f（x）＜0；当x＞－1时，f（x）＞0；
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x呈爆炸性增长，
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞.
根据以上信息，画出f（x）的大致图象如图所示.
（答案图）
（3）求出方程f（x）＝a（a∈R）的解的个数.
2. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分， 其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
1. 已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.
（1）讨论f（x）的单调性；
解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），
f'（x）＝2ae2x＋（a－2）ex－1＝（aex－1）（2ex＋1）.
①若a≤0，则f'（x）＜0恒成立，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减.
②若a＞0，则由f'（x）＝0，得x＝－ln a.当x∈（－∞，－ln a）时，
f'（x）＜0；
当x∈（－ln a，＋∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，－ln a）上单调递减，在（－ln a，＋∞）上单调递增.
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
3. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的 面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
4. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做 成一个无盖方盒.
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容积V最大？
6. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2. 为使所用材料最省，圆的直径应为多少？
7. 已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（2a＋3）x ＋1只有一个公共点，求a的值.
C
2. （2024·全国甲卷）曲线y＝x3－3x与y＝－（x－1）2＋a在（0，＋∞） 上有两个不同的交点，则a的取值范围为 .
解析：令x3－3x＝－（x－1）2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，
令g（x）＝x3＋x2－5x＋1（x＞0），
则g'（x）＝3x2＋2x－5＝（3x＋5）（x－1），
令g'（x）＝0（x＞0），得x＝1，当x∈（0，1）时，
g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，
g'（x）＞0，g（x）单调递增，
g（0）＝1，g（1）＝－2，
如图，曲线y＝x3－3x与y＝－（x－1）2＋a在（0，＋∞）上有两个不同 的交点，等价于直线y＝a与g（x）的图象有两个交点，
所以a∈（－2，1）.故答案为（－2，1）.
（－2，1）
（答案图）
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）函数零点的概念.
（2）利用导数研究函数零点个数的方法：
①利用导数确定函数的单调性和极值；
②利用函数的极值、最值，数形结合判定零点的个数.
（3）解决优化问题的一般步骤.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时4 导数与函数的零点及用导数解决实际问题
1. 利用导数研究函数的零点，并会解决与之有关的方程、不等式问题.
2. 利用导数解决某些简单的实际问题.
3. 能将生活中的优化问题转化为求函数的最值问题，并熟悉利用导数方法解 决优化问题的基本步骤.
利用导数研究函数的零点，并用导数解决实际问题.
教学过程设计
我们在本单元“导数在研究函数的应用”中，利用导数研究了函数的哪 些性质？回顾以往通过代数运算研究的函数性质，你觉得还有哪些函数性质 可以利用导数进行研究？
前面我们利用导数研究了函数的单调性、函数的极值与函数的最大 （小）值，还可以利用导数研究函数的零点等，在得出函数的性质后，可以 进一步研究函数的图象，还可以利用导数研究函数的实际应用问题等.
函数的零点
回顾前面的知识，函数零点的概念是什么？
对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝
f（x）的零点.
方程f（x）＝0有实数解 函数y＝f（x）有零点 函数y＝f（x）的图象 与x轴有公共点.
函数f（x）的图象直观地反映了函数f（x）的性质，通常可以按如下步骤 画出函数f（x）的大致图象：
（1）求出函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x）及函数f'（x）的零点；
（3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f' （x）在各个区间上的正负，并得出f（x）的单调性与极值；
（4）确定f（x）的图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f（x）的大致图象.
利用导数解决生活中的优化问题
利用导数解决优化问题的基本思路：
由此思路可得用导数解决优化问题的步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，构建实际问题的函数模型，进而求 出函数解析式y＝f（x）；
（2）求函数f（x）的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和使f'（x）＝0的点的函数值的大小，确定最值 或取得最值时所满足的条件；
（4）将问题还原到实际问题中作答.
目标检测
1. 给定函数f（x）＝（x＋1）ex.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
解：函数的定义域为R. f'（x）＝（x＋1）'ex＋（x＋1）（ex）'＝ex＋
（x＋1）ex＝（x＋2）ex.
令f'（x）＝0，解得x＝－2.f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，－2） －2 （－2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增
（2）画出函数f（x）的大致图象；
解：令f（x）＝0，解得x＝－1.
当x＜－1时，f（x）＜0；当x＞－1时，f（x）＞0；
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x呈爆炸性增长，
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞.
根据以上信息，画出f（x）的大致图象如图所示.
（答案图）
（3）求出方程f（x）＝a（a∈R）的解的个数.
2. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分， 其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
1. 已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.
（1）讨论f（x）的单调性；
解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），
f'（x）＝2ae2x＋（a－2）ex－1＝（aex－1）（2ex＋1）.
①若a≤0，则f'（x）＜0恒成立，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减.
②若a＞0，则由f'（x）＝0，得x＝－ln a.当x∈（－∞，－ln a）时，
f'（x）＜0；
当x∈（－ln a，＋∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，－ln a）上单调递减，在（－ln a，＋∞）上单调递增.
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
3. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的 面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
4. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做 成一个无盖方盒.
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容积V最大？
6. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2. 为使所用材料最省，圆的直径应为多少？
7. 已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（2a＋3）x ＋1只有一个公共点，求a的值.
C
2. （2024·全国甲卷）曲线y＝x3－3x与y＝－（x－1）2＋a在（0，＋∞） 上有两个不同的交点，则a的取值范围为 .
解析：令x3－3x＝－（x－1）2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，
令g（x）＝x3＋x2－5x＋1（x＞0），
则g'（x）＝3x2＋2x－5＝（3x＋5）（x－1），
令g'（x）＝0（x＞0），得x＝1，当x∈（0，1）时，
g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，
g'（x）＞0，g（x）单调递增，
g（0）＝1，g（1）＝－2，
如图，曲线y＝x3－3x与y＝－（x－1）2＋a在（0，＋∞）上有两个不同 的交点，等价于直线y＝a与g（x）的图象有两个交点，
所以a∈（－2，1）.故答案为（－2，1）.
（－2，1）
（答案图）
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）函数零点的概念.
（2）利用导数研究函数零点个数的方法：
①利用导数确定函数的单调性和极值；
②利用函数的极值、最值，数形结合判定零点的个数.
（3）解决优化问题的一般步骤.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？