人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时3函数的最值与导数课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第三单元导数在研究函数中的应用课时3函数的最值与导数课件(共25张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时3 函数的最值与导数
1. 理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数f（x）在闭区间[a，b]上 有最值的充分条件.
2. 掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
利用导数求函数在闭区间上的最大（小）值及证明简单的函数不等式；函数 极值与最大（小）值的区别与联系.
教学过程设计
函数的最大（小）值
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个 定义域内的性质.也就是说，如果x0是函数y＝f（x）的极大（小）值点， 那么在x＝x0附近找不到比f（x0）更大（小）的值.但是，在解决实际问题 或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪 个值最小.如果x0是某个区间上函数y＝f（x）的最大（小）值点，那么f （x0）不小（大）于函数y＝f（x）在此区间上的所有函数值.
图5.3－8是函数y＝f（x），x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极 大值吗？
图5.3－8
观察图象，我们发现，f（x1），f（x3），f（x5）是函数y＝f（x）的极 小值，f（x2），f（x4），f（x6）是函数y＝f（x）的极大值.
问题1：进一步地，你能找出函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值、最 大值吗？
从图5.3－8可以看出，函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值是f（x3），最大值是f（a）.
图5.3－8
问题2：在图5.3－9、图5.3－10中，观察[a，b]上的函数y＝f（x）和y＝ g（x）的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最 小值分别是什么？
图5.3－9 图5.3－10
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲 线，那么它必有最大值和最小值.
结合图5.3－9、图5.3－10，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函 数y＝f（x）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最 大值与最小值.所以在图5.3－9中，函数f（x）的最大值为f（b），最小值 为f（a）；在图5.3－10中，函数g（x）的最大值为g（x3），最小值为g （x4）.
图5.3－9 图5.3－10
一般地，求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极值；
当x变化时，s'（x），s（x）的变化情况如表所示.
x （0，1） 1 （1，＋∞）
s'（x） － 0 ＋
s（x） 单调递减 0 单调递增
目标检测
所以f'（x）＝x2－4＝（x＋2）·（x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝－2（舍去）或x＝2.当x∈（0，2）时，
f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（2，3）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
又由于f（0）＝4，f（3）＝1，
（答案图）
2. 设函数f（x）＝ln（2x＋3）＋x2.
（1）讨论f（x）的单调性；
1. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1）f（x）＝6x2－x－2，x∈[0，2]；
（2）f（x）＝x3－27x，x∈[－4，4]；
解：f（x）＝x3－27x，x∈[－4，4]的导数为f'（x）＝3x2－27，
令f'（x）＝0，可得x＝±3，
f（－3）＝－27＋81＝54，f（3）＝27－81＝－54，
f（4）＝64－108＝－44，f（－4）＝－64＋108＝44，
则f（x）在x∈[－4，4]上的最大值为54，最小值为－54.
（4）f（x）＝3x－x3，x∈[2，3].
解：f（x）＝3x－x3的导数为f'（x）＝3－3x2，由x∈[2，3]，
可得f'（x）＜0，则f（x）在[2，3]上单调递减，
即f（x）在x∈[2，3]上的最大值为f（2）＝－2，
最小值为f（3）＝－18.
2. 证明不等式：x－1≥ln x，x∈（0，＋∞）.
D
A. －1 D. 1
B
3. （2023·全国乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax＋（1＋a）x在 （0，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是 .
4. 函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 .
1
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续是f（x）在闭区间[a，b]上 有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.
（2）闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值，开区间（a，b）内的可导函 数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.
（3）利用导数求函数的最值的步骤：
①求f（x）在（a，b）内的极值；
②将f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f（x）在[a，b]上的最值.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第五章 一元函数的导数及其应用
第三单元 导数在研究函数中的应用
课时3 函数的最值与导数
1. 理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数f（x）在闭区间[a，b]上 有最值的充分条件.
2. 掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
利用导数求函数在闭区间上的最大（小）值及证明简单的函数不等式；函数 极值与最大（小）值的区别与联系.
教学过程设计
函数的最大（小）值
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个 定义域内的性质.也就是说，如果x0是函数y＝f（x）的极大（小）值点， 那么在x＝x0附近找不到比f（x0）更大（小）的值.但是，在解决实际问题 或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪 个值最小.如果x0是某个区间上函数y＝f（x）的最大（小）值点，那么f （x0）不小（大）于函数y＝f（x）在此区间上的所有函数值.
图5.3－8是函数y＝f（x），x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极 大值吗？
图5.3－8
观察图象，我们发现，f（x1），f（x3），f（x5）是函数y＝f（x）的极 小值，f（x2），f（x4），f（x6）是函数y＝f（x）的极大值.
问题1：进一步地，你能找出函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值、最 大值吗？
从图5.3－8可以看出，函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值是f（x3），最大值是f（a）.
图5.3－8
问题2：在图5.3－9、图5.3－10中，观察[a，b]上的函数y＝f（x）和y＝ g（x）的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最 小值分别是什么？
图5.3－9 图5.3－10
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲 线，那么它必有最大值和最小值.
结合图5.3－9、图5.3－10，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函 数y＝f（x）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最 大值与最小值.所以在图5.3－9中，函数f（x）的最大值为f（b），最小值 为f（a）；在图5.3－10中，函数g（x）的最大值为g（x3），最小值为g （x4）.
图5.3－9 图5.3－10
一般地，求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极值；
当x变化时，s'（x），s（x）的变化情况如表所示.
x （0，1） 1 （1，＋∞）
s'（x） － 0 ＋
s（x） 单调递减 0 单调递增
目标检测
所以f'（x）＝x2－4＝（x＋2）·（x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝－2（舍去）或x＝2.当x∈（0，2）时，
f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（2，3）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
又由于f（0）＝4，f（3）＝1，
（答案图）
2. 设函数f（x）＝ln（2x＋3）＋x2.
（1）讨论f（x）的单调性；
1. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1）f（x）＝6x2－x－2，x∈[0，2]；
（2）f（x）＝x3－27x，x∈[－4，4]；
解：f（x）＝x3－27x，x∈[－4，4]的导数为f'（x）＝3x2－27，
令f'（x）＝0，可得x＝±3，
f（－3）＝－27＋81＝54，f（3）＝27－81＝－54，
f（4）＝64－108＝－44，f（－4）＝－64＋108＝44，
则f（x）在x∈[－4，4]上的最大值为54，最小值为－54.
（4）f（x）＝3x－x3，x∈[2，3].
解：f（x）＝3x－x3的导数为f'（x）＝3－3x2，由x∈[2，3]，
可得f'（x）＜0，则f（x）在[2，3]上单调递减，
即f（x）在x∈[2，3]上的最大值为f（2）＝－2，
最小值为f（3）＝－18.
2. 证明不等式：x－1≥ln x，x∈（0，＋∞）.
D
A. －1 D. 1
B
3. （2023·全国乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax＋（1＋a）x在 （0，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是 .
4. 函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 .
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小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续是f（x）在闭区间[a，b]上 有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.
（2）闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值，开区间（a，b）内的可导函 数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.
（3）利用导数求函数的最值的步骤：
①求f（x）在（a，b）内的极值；
②将f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f（x）在[a，b]上的最值.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？