人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第四单元导数的综合应用课时1三次函数的图象与性质的应用课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
第五章　一元函数的导数及其应用
第四单元　导数的综合应用
课时1　三次函数的图象与性质的应用
1. 掌握三次函数图象的几种模型和性质，会解决相应图象问题.
2. 理解三次函数的定义域、值域和图象特点（如中心对称性、开口方向 等）.
3. 熟练掌握三次函数的基本性质：导数与单调性的关系、极值点及其个数、 零点以及对称中心.
重点：三次函数图象的几种模型及其单调性与极值.
难点：三次函数的综合性质、零点与对称性.
教学过程设计
　　三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数，因为其导函数二次函
数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其
导函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质.本节试图从三次函数的基本
性质出发，展示其重要的一些应用手法.通过观察、类比、猜想、从特殊到一
般等方法得到一元三次函数具有哪些性质，数形结合辨析所猜想的性质是否正
确，最后利用导数，进行严谨证明，抽象出一般性的结论，提升数学抽象的核
心素养.
三次函数的定义
问题1：类比二次函数，同学们能给出三次函数的定义吗？
三次函数的定义：形如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的函数，称为 三次函数.
三次函数的图象及其单调性与极值
先确定定义域，再通过描点、连线作图.通过求导利用单调性确定函数图象 上升或下降的趋势，即图象形状；通过描出特征点，如极值点、与坐标轴的 交点、趋势点等确定函数图象的位置.
图5.4－1
问题5：所有的三次函数都有两个极值吗？什么条件下有两个极值，什么条 件下没有极值呢？
三次函数的单调性和极值与其导函数的正负及导函数的零点相关.当其导 函数的Δ＞0时，三次函数有两个极值，当其导函数的Δ≤0时，三次函数 无极值.
问题6：请同学们以这道题为起点，探究一元三次函数的图象有什么特点？ 通过图象我们又能得到哪些相关性质呢？由特殊到一般，请同学们自主探 究，总结一下三次函数的系数如何影响三次函数的单调性与极值.
1. 三次函数：（1）y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）；（2）y＝a（x－x1） （x－x2）·（x－x3）（a≠0）.
2. 三次函数的图象与导函数的图象
系数关系式 f（x）的图象 f'（x）的图象 f（x）的性质
f'（x）≥0恒成立；
f（x）在R上单调递增；
f（x）无极值点
f'（x）≤0恒成立；
f（x）在R上单调递减；
f（x）无极值点
系数关系式 f（x）的图象 f'（x）的图象 f（x）的性质
单调递增区间（－∞，x1），
（x2，＋∞）；
单调递减区间（x1，x2）；
f（x）有两个极值点；
极大值f（x1），极小值
f（x2）
系数关系式 f（x）的
图象 f'（x）的
图象 f（x）的性质
单调递增区间（x1，x2）；
单调递减区间（－∞，x1），
（x2，＋∞）；
f（x）有两个极值点；
极小值f（x1），极大值
f（x2）
归纳：①当y'＝3ax2＋2bx＋c（a≠0）的判别式Δ≤0时，三次函数y＝ax3 ＋bx2＋cx＋d（a≠0）在R上单调递增（a＞0）或单调递减（a＜0）；② 当y'＝3ax2＋2bx＋c（a≠0）的判别式Δ＞0时，三次函数y＝ax3＋bx2＋ cx＋d（a≠0）在R上有增有减（不单调）.
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.
三次函数的零点及根与系数的关系
图5.4－2

问题8：通过问题7，我们是如何判断三次函数零点个数的？各系数之间 的关系是怎样影响三次函数图象的位置的？试探究三次函数的系数与零 点的关系.
1. 三次函数的零点个数
其图象、零点、极值的关系如下：
性质 三次函数图象 说明
a＞0 a＜0
零
点
个
数 3
个
b2－3ac＞0；
f（x1）f（x2）＜0；
两个极值异号；
图象与x轴有3个交点
性质 三次函数图象 说明
a＞0 a＜0
零
点
个
数 2
个 b2－3ac＞0；
f（x1）f（x2）＝0；
有一个极值为0；
图象与x轴有2个交点
1
个 b2－3ac＞0；
f（x1）f（x2）＞0；
两个极值同号；
图象与x轴有1个交点
2. 三次函数的根与系数的关系
设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0，b2－3ac＞0）的三个零点分别为 x1，x2，x3，则
三次函数图象的对称性
问题9：我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的 充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝
f（x＋a）－b为奇函数.
（1）求函数f（x）＝x3－3x2图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图 形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论.
解：（1）∵f（x）＝x3－3x2＝（x－1）3－3（x－1）－2，
∴y＝f（x＋1）＋2＝x3－3x.设g（x）＝x3－3x，则g（－x）＝
（－x）3－3（－x）＝－x3＋3x＝－g（x），
∴g（x）为奇函数，
∴f（x）＝x3－3x2的图象关于点（1，－2）对称，即f（x）＝x3－3x2的 图象的对称中心是点（1，－2）.
（2）函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数 y＝f（x＋a）为偶函数.
问题10：三次函数的图象是否都具有对称性？对一元三次函数图象的对称性 同学们能给出证明吗？

方法三：三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象向左平移m个单位长度，再 向下平移n个单位长度后得到y＝a（x＋m）3＋b（x＋m）2＋c（x＋ m）＋d－n＝ax3＋（3am＋b）x2＋（3am2＋2mb＋c）x＋am3＋bm2＋ cm＋d－n的图象，
则函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象关于点（m，n）中心对称.
结论3：若y＝f（x）的图象关于点（m，n）对称，则y＝f'（x）的图象 关于直线x＝m对称.
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数.奇函数 的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
目标检测
1. 利用信息技术工具，根据给定a，b，c，d的值，可以画出函数f（x） ＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1 时，f（x）的图象如图所示.改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数f（x）图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能 从图象上大致估计它的单调区间吗？
解：a≠0时，f（x）有如图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点时，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调递增或单调递减.从图象上可以大致估计它的单调区间.
（答案图）
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间
2. 已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b.
（1）讨论f（x）的单调性.
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值 为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.

A. a＞0，b＜0，c＞0，d＞0
B. a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C. a＜0，b＜0，c＞0，d＞0
D. a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
A
A. （2，＋∞） B. （－∞，－2）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）
B
（2）若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，证明：f（x）所有的零点的 绝对值都不大于1.

2. 已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线 与曲线y＝f（x）的公共点的坐标.

∴（x－1）是x3－x2－x＋1的一个因式，
∴该方程可以分解因式为（x－1）（x2－1）＝0，
解得x1＝1，x2＝－1，f（－1）＝－1－a.
综上，曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标 为（1，a＋1）和（－1，－1－a）.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）三次函数的图象、定义域、值域；（2）三次函数的单调性和极 值；（3）三次函数的零点；（4）三次函数的对称性.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？