人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第一单元导数的概念及其意义课时2导数的概念及其几何意义课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第一单元导数的概念及其意义课时2导数的概念及其几何意义课件(共33张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共33张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
第一单元 导数的概念及其意义
课时2 导数的概念及其几何意义
1. 理解导数的概念，会求简单函数的导数.
2. 理解导数的几何意义，会求简单函数图象在一点处的切线方程.
从具体案例中抽象概括出导数的概念；理解导数的几何意义，体会极限和以 直代曲的思想方法.
教学过程设计
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速 度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两 类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率” 逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我 们用上述思想方法研究更一般的问题.
导数的概念
对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就 从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy ＝f（x0＋Δx）－f（x0）.
注意事项：
①Δx是自变量x在x0处的改变量，
所以Δx可正、可负，但不能等于0，Δy是函数值的改变量，可以为0；
②函数在某点处的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的 极限，因此它是一个常数而不是变量；
导数的几何意义
我们知道，导数f'（x0）表示函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，反 映了函数y＝f（x）在x＝x0附近的变化情况.那么导数f'（x0）的几何意义 是什么？
导数f'（x0）是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率.
图5.1－3
如图5.1－4，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P （x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于
点P0（x0，f（x0））时，割线P0P无限趋近于一
个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线
y＝f（x）在点P0处的切线.
图5.1－4
思考：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义
有什么不同？初中圆的切线定义方式不能推广到一
般曲线的切线的情形；由曲线的切线的一般定义得
到圆的切线，与初中圆的切线定义具有一致性，这
里给出的曲线的切线定义具有一般性.
继续观察图5.1－4，可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0 附近的曲线.进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（图 5.1－5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此，在点P0附 近，曲线y＝f（x）可以用点P0处的切线P0T近似代替.
图5.1－5
“函数f（x）在点x0处的导数f'（x0）”与“导函数f'（x）”之间的区别 与联系：
①函数的导数是对某一区间内的任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数 f'（x）；
目标检测
2. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和 加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x2－7x＋15 （0≤x≤8）.计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的 意义.
3. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度 （单位：m/s）为y＝v（t）＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬 时加速度，并说明它们的意义.
4. 如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h （t）＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h（t）在t ＝t0，t1，t2附近的变化情况.
解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在 上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.
这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减.
（3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.
这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减.
从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，
这说明曲线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢.
A. f'（1）＞f'（2）＞f'（3）＞0
B. f'（1）＜f'（2）＜f'（3）＜0
C. 0＜f'（1）＜f'（2）＜f'（3）
D. f'（1）＞f'（2）＞0＞f'（3）
A
解析：由图象可知函数f（x）是单调递增的，
所以f'（1），f'（2），f'（3）均为正.
从图中还可以看出函数f（x）切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小 的，因此该函数的导函数是单调递减的，
所以有f'（1）＞f'（2）＞f'（3）＞0.故选A.
2. 设f（x）＝x，求f'（1）.
3. 设函数f（x）＝x2－1.求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（2）函数在x＝1处的导数.
4. 求曲线y＝－2x2＋1在点（1，－1）处的切线方程.
C
A. B.
C. D.
解析：四个选项中，横坐标表示时间，纵坐标表示离开学校的距离，
由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，
又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有函数图象与x轴平行，
由此排除D；
之后为了赶时间加快速度行驶，此段时间内函数图象下降得比较快，
由此可确定C正确，B不正确.故选C.
2. 圆的面积S（单位：cm2）与半径R（单位：cm）的关系为S＝πR2，求R ＝5 cm时面积关于半径的瞬时变化率.
4. 如图，试描述函数f（x）在x＝－5，－4，－2，0，1附近的变化情况.
解：由图可知，函数f（x）的图象在x＝－5处的切线的斜率f'（－5）＞ 0，曲线上升，即f（x）在x＝－5附近单调递增；
函数f（x）的图象在x＝－4处的切线的斜率f'（－4）＞0，
曲线上升，即f（x）在x＝－4附近单调递增；
函数f（x）的图象在x＝－2处的切线的斜率f'（－2）＝0，
即f（x）在x＝－2附近几乎没有变化；
函数f（x）的图象在x＝0处的切线的斜率f'（0）＜0，
曲线下降，即f（x）在x＝0附近单调递减；
函数f（x）的图象在x＝1处的切线的斜率f'（1）＜0，
曲线下降，即f（x）在x＝1附近单调递减.
6. 如图，已知函数f（x）的图象，试画出其导函数f'（x）图象的大致
形状.
（1） （2） （3）
解：（1）函数f（x）的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导函数f'（x）的图象如图1所示.
（答案图1）
（2）函数f（x）为增函数，则其导函数f'（x）的函数值恒大于或等于零，并且随着x的增大，导数值f'（x）也在逐渐增大，因此，其导函数f'（x）的图象如图2所示.
（3）当x＜0时，f'（x）＜0，当x＞0时，f'（x）＞0，并且随着x的增加，f'（x）的值也在增加.因此，其导函数f'（x）的图象如图3所示.
（答案图2）
（答案图3）
7. 在一次跳水运动中，t s时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 h（t）＝－4.9t2＋2.8t＋11.高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于 时间t的导数v'的物理意义是什么？试求v，v'关于时间t的函数解析式.
解：高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数v'是瞬时加速 度.v（t）＝h'（t）＝－9.8t＋2.8，v'（t）＝－9.8.
8. 根据下列条件，分别画出函数y＝f（x）的图象在这点附近的大致形状.
（1）f（1）＝－5，f'（1）＝－1；
解：函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率.
f（1）＝－5，f'（1）＝－1，故函数图象可以如图1所示.
（答案图1）
（2）f（5）＝10，f'（5）＝15；
解：f（5）＝10，f'（5）＝15，故函数图象可以如图2所示.
（答案图2）
（3）f（10）＝20，f'（10）＝0.
解：f（10）＝20，f'（10）＝0，故函数图象可以如图3所示.
（答案图3）
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）导数的概念.
（3）导数的几何意义：从几何的角度来看，函数y＝f（x）在x＝x0处的导 数是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第五章 一元函数的导数及其应用
第一单元 导数的概念及其意义
课时2 导数的概念及其几何意义
1. 理解导数的概念，会求简单函数的导数.
2. 理解导数的几何意义，会求简单函数图象在一点处的切线方程.
从具体案例中抽象概括出导数的概念；理解导数的几何意义，体会极限和以 直代曲的思想方法.
教学过程设计
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速 度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两 类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率” 逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我 们用上述思想方法研究更一般的问题.
导数的概念
对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就 从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy ＝f（x0＋Δx）－f（x0）.
注意事项：
①Δx是自变量x在x0处的改变量，
所以Δx可正、可负，但不能等于0，Δy是函数值的改变量，可以为0；
②函数在某点处的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的 极限，因此它是一个常数而不是变量；
导数的几何意义
我们知道，导数f'（x0）表示函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，反 映了函数y＝f（x）在x＝x0附近的变化情况.那么导数f'（x0）的几何意义 是什么？
导数f'（x0）是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率.
图5.1－3
如图5.1－4，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P （x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于
点P0（x0，f（x0））时，割线P0P无限趋近于一
个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线
y＝f（x）在点P0处的切线.
图5.1－4
思考：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义
有什么不同？初中圆的切线定义方式不能推广到一
般曲线的切线的情形；由曲线的切线的一般定义得
到圆的切线，与初中圆的切线定义具有一致性，这
里给出的曲线的切线定义具有一般性.
继续观察图5.1－4，可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0 附近的曲线.进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（图 5.1－5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此，在点P0附 近，曲线y＝f（x）可以用点P0处的切线P0T近似代替.
图5.1－5
“函数f（x）在点x0处的导数f'（x0）”与“导函数f'（x）”之间的区别 与联系：
①函数的导数是对某一区间内的任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数 f'（x）；
目标检测
2. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和 加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x2－7x＋15 （0≤x≤8）.计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的 意义.
3. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度 （单位：m/s）为y＝v（t）＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬 时加速度，并说明它们的意义.
4. 如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h （t）＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h（t）在t ＝t0，t1，t2附近的变化情况.
解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在 上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.
这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减.
（3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.
这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减.
从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，
这说明曲线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢.
A. f'（1）＞f'（2）＞f'（3）＞0
B. f'（1）＜f'（2）＜f'（3）＜0
C. 0＜f'（1）＜f'（2）＜f'（3）
D. f'（1）＞f'（2）＞0＞f'（3）
A
解析：由图象可知函数f（x）是单调递增的，
所以f'（1），f'（2），f'（3）均为正.
从图中还可以看出函数f（x）切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小 的，因此该函数的导函数是单调递减的，
所以有f'（1）＞f'（2）＞f'（3）＞0.故选A.
2. 设f（x）＝x，求f'（1）.
3. 设函数f（x）＝x2－1.求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（2）函数在x＝1处的导数.
4. 求曲线y＝－2x2＋1在点（1，－1）处的切线方程.
C
A. B.
C. D.
解析：四个选项中，横坐标表示时间，纵坐标表示离开学校的距离，
由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，
又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有函数图象与x轴平行，
由此排除D；
之后为了赶时间加快速度行驶，此段时间内函数图象下降得比较快，
由此可确定C正确，B不正确.故选C.
2. 圆的面积S（单位：cm2）与半径R（单位：cm）的关系为S＝πR2，求R ＝5 cm时面积关于半径的瞬时变化率.
4. 如图，试描述函数f（x）在x＝－5，－4，－2，0，1附近的变化情况.
解：由图可知，函数f（x）的图象在x＝－5处的切线的斜率f'（－5）＞ 0，曲线上升，即f（x）在x＝－5附近单调递增；
函数f（x）的图象在x＝－4处的切线的斜率f'（－4）＞0，
曲线上升，即f（x）在x＝－4附近单调递增；
函数f（x）的图象在x＝－2处的切线的斜率f'（－2）＝0，
即f（x）在x＝－2附近几乎没有变化；
函数f（x）的图象在x＝0处的切线的斜率f'（0）＜0，
曲线下降，即f（x）在x＝0附近单调递减；
函数f（x）的图象在x＝1处的切线的斜率f'（1）＜0，
曲线下降，即f（x）在x＝1附近单调递减.
6. 如图，已知函数f（x）的图象，试画出其导函数f'（x）图象的大致
形状.
（1） （2） （3）
解：（1）函数f（x）的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导函数f'（x）的图象如图1所示.
（答案图1）
（2）函数f（x）为增函数，则其导函数f'（x）的函数值恒大于或等于零，并且随着x的增大，导数值f'（x）也在逐渐增大，因此，其导函数f'（x）的图象如图2所示.
（3）当x＜0时，f'（x）＜0，当x＞0时，f'（x）＞0，并且随着x的增加，f'（x）的值也在增加.因此，其导函数f'（x）的图象如图3所示.
（答案图2）
（答案图3）
7. 在一次跳水运动中，t s时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 h（t）＝－4.9t2＋2.8t＋11.高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于 时间t的导数v'的物理意义是什么？试求v，v'关于时间t的函数解析式.
解：高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数v'是瞬时加速 度.v（t）＝h'（t）＝－9.8t＋2.8，v'（t）＝－9.8.
8. 根据下列条件，分别画出函数y＝f（x）的图象在这点附近的大致形状.
（1）f（1）＝－5，f'（1）＝－1；
解：函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率.
f（1）＝－5，f'（1）＝－1，故函数图象可以如图1所示.
（答案图1）
（2）f（5）＝10，f'（5）＝15；
解：f（5）＝10，f'（5）＝15，故函数图象可以如图2所示.
（答案图2）
（3）f（10）＝20，f'（10）＝0.
解：f（10）＝20，f'（10）＝0，故函数图象可以如图3所示.
（答案图3）
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）导数的概念.
（3）导数的几何意义：从几何的角度来看，函数y＝f（x）在x＝x0处的导 数是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？