人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第四单元导数的综合应用课时5导数与六个经典的函数模型课件(共40张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第四单元导数的综合应用课时5导数与六个经典的函数模型课件(共40张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
第四单元 导数的综合应用
课时5 导数与六个经典的函数模型
1. 熟练掌握六个常见的经典函数模型的图象和性质.
2. 利用函数模型解决常见问题，如比较大小、求取值范围、证明不等式等
重点：六个模型的图象和性质.
难点：利用模型进行构造解决综合性问题.
教学过程设计
有一些常见的函数在导数解答题中经常出现，在导数解答题中或利用其 性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪种方式命题，掌握这 些函数的性质，并有目的地使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思路， 并使问题得以解决.
本节内容源于教材P95例7，是在学生已经掌握了利用导数工具研究函数 的单调性、极值与最值之后，通过一道例题对整章内容进行总结，是对这一 章知识进行深入归纳和整合的内容，达到对这一章知识的学以致用.
函数y＝xex的图象与性质
通过教材上例题、练习题以及高考真题，我们发现有一些常见的函数在导数 解答题中经常出现，如果我们熟悉一些经典函数模型的图象和性质，可以给 我们提供做题的思路并提高做题的效率.我们以y＝xex为例研究一下它的图 象和性质.
问题1：对于不熟悉的函数我们一般如何作图？如何确定函数图象的形状和 位置？
先确定定义域，再通过描点、连线作图.通过求导利用单调性确定函数上升 或下降的趋势，即图象形状；通过描出特征点，如极值点、与坐标轴交点、 趋势点等确定函数图象的位置.
问题2：求导并判断函数y＝xex的单调性，并求出极值.
函数的定义域为R，f'（x）＝（x）'ex＋x（ex）'＝ex＋xex＝（x＋1） ex.令f'（x）＝0，解得x＝－1.
f'（x），f（x）的变化情况如下表所示.
x （－∞，－1） －1 （－1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增
问题3：有了单调性和极值，我们可以大致确定函数图象的形状，但是函数 图象的具体位置如何确定呢？试求一下该函数图象与坐标轴的交点，试求当 x趋近于无穷时函数值的大小并判断函数零点个数.
通过描出特征点，如极值点、与坐标轴交点、趋势点等确定函数图象的 位置.
令x＝0，得y＝0，函数图象过原点.
图象走势：当x→－∞时，y→0；当x→＋∞时，y→＋∞.一个零点，当x ＜0时，函数图象在x轴下方.
问题4：画出函数的图象.
图象如图5.4－4.
图5.4－4
六个经典函数模型的图象与性质
问题5：类比上述研究过程，你能画出以下常见函数模型的图象，并总结相 应的定义域、值域、单调性和极值、最值等性质吗？
常见函数模型的图象与性质：
性 质 y＝xex y＝xln x
定 义 域 R R {x｜x≠0} {x｜x＞ 0} {x｜x＞0且 x≠1} {x｜x ＞0}
值 域 （－∞，0）
∪[e，＋∞） （－∞，0） ∪[e，＋∞）
单 调 性 在（－ ∞，－ 1）上单 调递减， 在（－ 1，＋ ∞）上单 调递增 在（－ ∞，1） 上单调 递增， 在（1， ＋∞） 上单调 递减 在（－∞， 0）上单调递 减，在（0， 1）上单调递 减，在（1， ＋∞）上单 调递增 在（0，1） 上单调递 减，在（1， e）上单调递 减，在（e， ＋∞）上单 调递增 在（0，e）上单调 递增，在 （e，＋ ∞）上单 调递减
走 势 当x→
－∞时， y→0， 当x→＋ ∞时， y→＋∞ 当x→
－∞时，y→ －∞，
当x→＋ ∞时， y→0 当x→－∞ 时，y→0， 当x→0－时，y→－ ∞，当x→0 ＋时，y→＋∞，当x→＋∞时，y→
＋∞ 当x→0＋ 时，y→
0，当x→＋∞时，
y→＋∞ 当x→0＋时，y→0，当x→1－时，y→
－∞，当x→1＋时， y→＋∞，当 x→＋∞时， y→＋∞ 当x→0＋ 时，y→ －∞，当 x→＋∞ 时，y→0
最值、 极 值 有极小 值e，无极大值，无 最值 有极小值 e，无极大 值，无最值
图 象
函数模型的综合应用
问题6：观察以上六个经典函数模型，我们发现它们的结构形式和图象相互 之间存在着一定的联系，试着探究一下这六个函数之间的联系.
我们以f（x）＝xex为母函数，则其他五个同构函数都可以用f（x）的复 合形式表示.
（3）y＝x·ln x＝eln x·ln x＝f（ln x）；
问题7：我们总结了常见的六种经典函数模型，利用以上模型我们就可以解 决类似函数综合问题，利用函数的相关性质都有哪些常见题型呢？
常见的题型有：单调区间、零点、交点、极值、最值、比较大小、切线方 程、不等式及参数取值范围等.
目标检测
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
C
①ln a－ln b＝0.1＋ln（1－0.1），
令f（x）＝x＋ln（1－x），x∈（0，0.1]，
可得f（0.1）＜f（0）＝0，即ln a－ln b＜0，所以a＜b.
②a－c＝0.1e0.1＋ln（1－0.1），
令g（x）＝xex＋ln（1－x），x∈（0，0.1]，
令k（x）＝（1＋x）（1－x）ex－1，
所以k'（x）＝（1－x2－2x）ex＞0，
所以k（x）在（0，0.1]上单调递增，
可得k（x）＞k（0）＝0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，
可得g（0.1）＞g（0）＝0，即a－c＞0，
所以a＞c.故c＜a＜b.
2. 已知函数y＝xln x.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程.
解：易知所求切线的斜率存在，设斜率为k，
则k＝y'｜x＝1＝ln 1＋1＝1，又切点为（1，0），
所以切线的方程为y－0＝1×（x－1），即y＝x－1，
故这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程为y＝x－1.
方法二（同构处理）：由f（x）≥0，得e－ln x＋x＋x－ln x－a≥0，
令t＝x－ln x，t≥1，设m（t）＝et＋t－a≥0，即a≤et＋t，
令g（t）＝et＋t，t∈[1，＋∞），则g'（t）＝et＋1＞0，
故g（t）＝et＋t在区间[1，＋∞）上是增函数，
故g（t）min＝g（1）＝e＋1，即a≤e＋1，
所以a的取值范围为（－∞，e＋1].
1. 已知函数f（x）＝（x＋1）ln x－a（x－1）.
（1）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围.
2. 已知函数f（x）＝（x－1）ln x－x－1.证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞g'（1）＝0，
则当x∈（1，＋∞）时，g（x）＝（x－1）ln x单调递增.
又g（1）＝0，所以函数g（x）＝（x－1）ln x与h（x）＝x＋1的图 象如图所示，
只有两个交点，横坐标分别为x1和x2，且0＜x1＜1，x2＞1，
即x1和x2为f（x）＝（x－1）ln x－x－1＝0的两个实根.
（答案图）
所以f（x）＝0有且仅有两个实根x1，x2，可令0＜x1＜1＜x0＜e＜x2.
综上，f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
方法三（利用函数的单调性结合函数零点存在定理）：f（x）的定义域为 （0，＋∞），显然x＝1不是方程f（x）＝0的根，
所以g（x）在区间（0，1）上单调递增，
在区间（1，＋∞）上单调递增.
所以g（x）在区间（1，＋∞）内有唯一零点x1，
所以g（x）有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数，
即f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
3. （2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1－ax）ln（1＋x）－x.
（1）当a＝－2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
已知a＞0，函数f（x）＝ax－xex.
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
解：f'（x）＝a－（x＋1）ex，则f'（0）＝a－1，
又f（0）＝0，则切线方程为y＝（a－1）x.
（2）证明：f（x）存在唯一的极值点；
证明：令f'（x）＝a－（x＋1）ex＝0，则a＝（x＋1）ex，
令g（x）＝（x＋1）ex，则g'（x）＝（x＋2）ex，
当x∈（－∞，－2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（－2，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x→－∞时，g（x）＜0，g（－1）＝0，当x→＋∞时，
g（x）＞0，画出g（x）的大致图象如图：
（答案图）
所以当a＞0时，直线y＝a与y＝g（x）的图象仅有一个交点，
令g（m）＝a，则m＞－1，且f'（m）＝a－g（m）＝0，
当x∈（－∞，m）时，a＞g（x），则f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（m，＋∞）时，a＜g（x），则f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x＝m为f（x）的极大值点，故f（x）存在唯一的极值点.
（3）若存在a，使得f（x）≤a＋b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围.
解：由（2）知f（x）max＝f（m），
此时a＝（1＋m）em，m＞－1，
所以f（m）－a＝（m2－m－1）em，m＞－1，
令h（x）＝（x2－x－1）ex，x＞－1，
若存在a，使得f（x）≤a＋b对任意x∈R成立，
等价于存在x∈（－1，＋∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，
h'（x）＝（x2＋x－2）ex＝（x－1）·（x＋2）ex，x＞－1，
当x∈（－1，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（1）＝－e，故b≥－e，
所以实数b的取值范围是[－e，＋∞）.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）导数的四则运算法则以及常见函数求导；
（2）函数图象的切线方程；
（3）常见六个经典函数模型的图象与性质.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
第五章 一元函数的导数及其应用
第四单元 导数的综合应用
课时5 导数与六个经典的函数模型
1. 熟练掌握六个常见的经典函数模型的图象和性质.
2. 利用函数模型解决常见问题，如比较大小、求取值范围、证明不等式等
重点：六个模型的图象和性质.
难点：利用模型进行构造解决综合性问题.
教学过程设计
有一些常见的函数在导数解答题中经常出现，在导数解答题中或利用其 性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪种方式命题，掌握这 些函数的性质，并有目的地使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思路， 并使问题得以解决.
本节内容源于教材P95例7，是在学生已经掌握了利用导数工具研究函数 的单调性、极值与最值之后，通过一道例题对整章内容进行总结，是对这一 章知识进行深入归纳和整合的内容，达到对这一章知识的学以致用.
函数y＝xex的图象与性质
通过教材上例题、练习题以及高考真题，我们发现有一些常见的函数在导数 解答题中经常出现，如果我们熟悉一些经典函数模型的图象和性质，可以给 我们提供做题的思路并提高做题的效率.我们以y＝xex为例研究一下它的图 象和性质.
问题1：对于不熟悉的函数我们一般如何作图？如何确定函数图象的形状和 位置？
先确定定义域，再通过描点、连线作图.通过求导利用单调性确定函数上升 或下降的趋势，即图象形状；通过描出特征点，如极值点、与坐标轴交点、 趋势点等确定函数图象的位置.
问题2：求导并判断函数y＝xex的单调性，并求出极值.
函数的定义域为R，f'（x）＝（x）'ex＋x（ex）'＝ex＋xex＝（x＋1） ex.令f'（x）＝0，解得x＝－1.
f'（x），f（x）的变化情况如下表所示.
x （－∞，－1） －1 （－1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增
问题3：有了单调性和极值，我们可以大致确定函数图象的形状，但是函数 图象的具体位置如何确定呢？试求一下该函数图象与坐标轴的交点，试求当 x趋近于无穷时函数值的大小并判断函数零点个数.
通过描出特征点，如极值点、与坐标轴交点、趋势点等确定函数图象的 位置.
令x＝0，得y＝0，函数图象过原点.
图象走势：当x→－∞时，y→0；当x→＋∞时，y→＋∞.一个零点，当x ＜0时，函数图象在x轴下方.
问题4：画出函数的图象.
图象如图5.4－4.
图5.4－4
六个经典函数模型的图象与性质
问题5：类比上述研究过程，你能画出以下常见函数模型的图象，并总结相 应的定义域、值域、单调性和极值、最值等性质吗？
常见函数模型的图象与性质：
性 质 y＝xex y＝xln x
定 义 域 R R {x｜x≠0} {x｜x＞ 0} {x｜x＞0且 x≠1} {x｜x ＞0}
值 域 （－∞，0）
∪[e，＋∞） （－∞，0） ∪[e，＋∞）
单 调 性 在（－ ∞，－ 1）上单 调递减， 在（－ 1，＋ ∞）上单 调递增 在（－ ∞，1） 上单调 递增， 在（1， ＋∞） 上单调 递减 在（－∞， 0）上单调递 减，在（0， 1）上单调递 减，在（1， ＋∞）上单 调递增 在（0，1） 上单调递 减，在（1， e）上单调递 减，在（e， ＋∞）上单 调递增 在（0，e）上单调 递增，在 （e，＋ ∞）上单 调递减
走 势 当x→
－∞时， y→0， 当x→＋ ∞时， y→＋∞ 当x→
－∞时，y→ －∞，
当x→＋ ∞时， y→0 当x→－∞ 时，y→0， 当x→0－时，y→－ ∞，当x→0 ＋时，y→＋∞，当x→＋∞时，y→
＋∞ 当x→0＋ 时，y→
0，当x→＋∞时，
y→＋∞ 当x→0＋时，y→0，当x→1－时，y→
－∞，当x→1＋时， y→＋∞，当 x→＋∞时， y→＋∞ 当x→0＋ 时，y→ －∞，当 x→＋∞ 时，y→0
最值、 极 值 有极小 值e，无极大值，无 最值 有极小值 e，无极大 值，无最值
图 象
函数模型的综合应用
问题6：观察以上六个经典函数模型，我们发现它们的结构形式和图象相互 之间存在着一定的联系，试着探究一下这六个函数之间的联系.
我们以f（x）＝xex为母函数，则其他五个同构函数都可以用f（x）的复 合形式表示.
（3）y＝x·ln x＝eln x·ln x＝f（ln x）；
问题7：我们总结了常见的六种经典函数模型，利用以上模型我们就可以解 决类似函数综合问题，利用函数的相关性质都有哪些常见题型呢？
常见的题型有：单调区间、零点、交点、极值、最值、比较大小、切线方 程、不等式及参数取值范围等.
目标检测
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
C
①ln a－ln b＝0.1＋ln（1－0.1），
令f（x）＝x＋ln（1－x），x∈（0，0.1]，
可得f（0.1）＜f（0）＝0，即ln a－ln b＜0，所以a＜b.
②a－c＝0.1e0.1＋ln（1－0.1），
令g（x）＝xex＋ln（1－x），x∈（0，0.1]，
令k（x）＝（1＋x）（1－x）ex－1，
所以k'（x）＝（1－x2－2x）ex＞0，
所以k（x）在（0，0.1]上单调递增，
可得k（x）＞k（0）＝0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，
可得g（0.1）＞g（0）＝0，即a－c＞0，
所以a＞c.故c＜a＜b.
2. 已知函数y＝xln x.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程.
解：易知所求切线的斜率存在，设斜率为k，
则k＝y'｜x＝1＝ln 1＋1＝1，又切点为（1，0），
所以切线的方程为y－0＝1×（x－1），即y＝x－1，
故这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程为y＝x－1.
方法二（同构处理）：由f（x）≥0，得e－ln x＋x＋x－ln x－a≥0，
令t＝x－ln x，t≥1，设m（t）＝et＋t－a≥0，即a≤et＋t，
令g（t）＝et＋t，t∈[1，＋∞），则g'（t）＝et＋1＞0，
故g（t）＝et＋t在区间[1，＋∞）上是增函数，
故g（t）min＝g（1）＝e＋1，即a≤e＋1，
所以a的取值范围为（－∞，e＋1].
1. 已知函数f（x）＝（x＋1）ln x－a（x－1）.
（1）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围.
2. 已知函数f（x）＝（x－1）ln x－x－1.证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞g'（1）＝0，
则当x∈（1，＋∞）时，g（x）＝（x－1）ln x单调递增.
又g（1）＝0，所以函数g（x）＝（x－1）ln x与h（x）＝x＋1的图 象如图所示，
只有两个交点，横坐标分别为x1和x2，且0＜x1＜1，x2＞1，
即x1和x2为f（x）＝（x－1）ln x－x－1＝0的两个实根.
（答案图）
所以f（x）＝0有且仅有两个实根x1，x2，可令0＜x1＜1＜x0＜e＜x2.
综上，f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
方法三（利用函数的单调性结合函数零点存在定理）：f（x）的定义域为 （0，＋∞），显然x＝1不是方程f（x）＝0的根，
所以g（x）在区间（0，1）上单调递增，
在区间（1，＋∞）上单调递增.
所以g（x）在区间（1，＋∞）内有唯一零点x1，
所以g（x）有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数，
即f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
3. （2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1－ax）ln（1＋x）－x.
（1）当a＝－2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
已知a＞0，函数f（x）＝ax－xex.
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
解：f'（x）＝a－（x＋1）ex，则f'（0）＝a－1，
又f（0）＝0，则切线方程为y＝（a－1）x.
（2）证明：f（x）存在唯一的极值点；
证明：令f'（x）＝a－（x＋1）ex＝0，则a＝（x＋1）ex，
令g（x）＝（x＋1）ex，则g'（x）＝（x＋2）ex，
当x∈（－∞，－2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（－2，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x→－∞时，g（x）＜0，g（－1）＝0，当x→＋∞时，
g（x）＞0，画出g（x）的大致图象如图：
（答案图）
所以当a＞0时，直线y＝a与y＝g（x）的图象仅有一个交点，
令g（m）＝a，则m＞－1，且f'（m）＝a－g（m）＝0，
当x∈（－∞，m）时，a＞g（x），则f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（m，＋∞）时，a＜g（x），则f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x＝m为f（x）的极大值点，故f（x）存在唯一的极值点.
（3）若存在a，使得f（x）≤a＋b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围.
解：由（2）知f（x）max＝f（m），
此时a＝（1＋m）em，m＞－1，
所以f（m）－a＝（m2－m－1）em，m＞－1，
令h（x）＝（x2－x－1）ex，x＞－1，
若存在a，使得f（x）≤a＋b对任意x∈R成立，
等价于存在x∈（－1，＋∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，
h'（x）＝（x2＋x－2）ex＝（x－1）·（x＋2）ex，x＞－1，
当x∈（－1，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（1）＝－e，故b≥－e，
所以实数b的取值范围是[－e，＋∞）.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）导数的四则运算法则以及常见函数求导；
（2）函数图象的切线方程；
（3）常见六个经典函数模型的图象与性质.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？