河南省南阳市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省南阳市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-17 00:00:00 | ||
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文档简介
南阳地区2025年秋季高二年级期末考试卷
数 学
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第六章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是
A. B.
C. D.
2. 从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有
A.7条 B.12条 C.64条 D.81条
3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为
A. B.
C. D.
4. 某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（参考数据：若随机变量，则，，）
A.0.8185 B.0.9544 C.0.9759 D.0.9974
5. 在正三棱锥中，，，是棱的中点，则点到直线的距离是
A.3 B.
C.8 D.
6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积是
A.12 B.24
C. D.
7. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个. 现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则取得最大值时，
A.2 B.3 C.4 D.5
8. 将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有
A.110种 B.140种 C.220种 D.280种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，是的平分线，且，为坐标原点，是双曲线上的一点，则
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的离心率是
C.
D. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积是
11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体. 如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示. 若，则
A. 该石凳的表面积是
B. 异面直线与所成的角为
C. 直线与平面所成角的余弦值
D. 点到平面的距离是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中含的项的系数是.
13. 从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是.
14. 在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，，则点的轨迹方程是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测”和“大气成分分析”两项核心任务，每个探测器可完成其中一项，两项任务或均不完成.已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响.
（1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；
（2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望.
16.(15分)
如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，，分别是棱，的中点.
(1)证明:.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.(15分)
如图，已知平面图形的内部连有线段.
（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？
（2）由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？
（3）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？
18.(17分)
甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军。已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局。
（1） 求甲不参加第三轮比赛的概率；
（2） 求甲、乙进行第四轮比赛的概率；
（3） 求甲获得冠军的概率。
19.(17分)
已知椭圆的长轴长为，且点在上。
（1） 求的方程。
（2） 若斜率为1的直线与交于，两点，求的最大值。
（3） 过点的直线交于，（异于的左、右顶点）两点，直线，分别交直线于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
数学参考答案
1.A由题意可知直线的斜率，则直线的倾斜角是。
2.B由题意可知所求不同的路线有条。
3.B由题意可知向量在向量方向上的投影向量为。
4.C由题意可得。
5.D如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交于点，交于点，连接。易证平面，，则，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系。因为是边长为的等边三角形，所以，。因为，所以，所以，，，所以，，则点到直线的距离是。
6.A设，。因为，所以，则，解得。由抛物线的对称性，不妨取，则直线的斜率，所以直线的方程为。由，得，解得或，则，，故的面积是。
7.B由题意可知服从超几何分布，则。当取得最大值时，，即，解得。因为，所以。
8.D 1名医生和2名护士一组，有种分配方案；1名医生和3名护士一组，有种分配方案；2名医生和2名护士一组，有种分配方案。故满足要求的不同的分配方案有种。
9.ACD由题意可得，，则，，故A，C，D均正确，B错误。
10.BCD由题意可得，解得舍去），则双曲线的渐近线方程为，A错误。由题意可得双曲线的离心率，B正确。延长，，且交于点（图略）。因为是的平分线，且，所以，是线段的中点。因为是线段的中点，所以。由双曲线的定义可得，则，C正确。设，则，即，故点到双曲线的两条渐近线的距离之积是，D正确。
11.ACD由题意可得该石凳的表面积是，A正确。将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系。因为，则，，，，，所以，，，。因为，所以，所以异面直线与所成的角为，B错误。设平面的法向量为，则，令，得。设直线与平面所成的角为，则，，故，C正确。因为平面的一个法向量为，且，所以点到平面的距离是，D正确。
12. 的展开式的通项。令，得。
13. 由题意可知不大于的素数有，，，，，，，，，，共个。从中随机选取
两个数的情况有种，其中被选取的两个数之和为30的情况有，，，共3种，故所求概率为.
14. （或） 因为，，所以，所以.因为，所以，所以，即.设，则，.因为，所以，整理得.
15. 解：（1）该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率.
5分
（2）由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数X服从二项分布B(2,0.9)，则X=0，1，2， 7分
P(X=0)=C20×0.12=0.01, 8分
P(X=1)=C21×0.9×0.1=0.18, 9分
P(X=2)=C22×0.92=0.81, 10分
所以的分布列为
0 1 2
0.01 0.18 0.81
11分
E(X)=2×0.9=1.8 13分
16.(1)证明:因为 PAB是等边三角形,所以PA=PB 1分
因为F是棱AB的中点,所以PF⊥AB 2分
因为平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PAB⊥平面ABCD,所以PF⊥平面ABCD 4分
因为CD 平面ABCD,所以PF⊥CD 5分
（2）解：取棱的中点，连接.易证，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2，则A(-1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，E(-12,2,32)，P(0,0,3)， 7分
故BC→=(0,2,0)，BP→=(-1,0,3)，AC→=(2,2,0)，AE→=(12,2,32) 9分
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 。 11分
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 。 13分
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，，即平面 与平面 夹角的余弦值为 。 15分
17. 解：（1） 由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 1分
则由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条。 3分
（2） 由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 4分
则由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条， 6分
其中两次向上行走连续且最近的路线有7条。 7分
故所求路线有 条。 8分
（3） 设 ， 的位置如图所示，
则由 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线可分为以下三种情况：
① ，有 条最近路线； 10分
② ，有 条最近路线； 12分
③ ，有 条最近路线。 14分
故由 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条。 15分
18. 解：（1） 甲不参加第三轮比赛的情况有以下两种：
第一种，甲第一轮和第二轮比赛均获胜，其概率为 ； 2分
第二种，甲第一轮和第二轮比赛均不胜，其概率为 。 4分
故甲不参加第三轮比赛的概率为. ………………………………………… 5分
（2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有以下两种：
第一种，甲、乙在第四轮比赛前相遇，其概率为； ………………… 7分
第二种，甲、乙在第四轮比赛前不相遇，其概率为 …… 9分
故甲、乙进行第四轮比赛的概率为. ………………………………………… 10分
（3）甲获得冠军的情况有以下三种：
第一种，甲、乙进行第四轮比赛，由（2）可知其概率为； ………………………………………… 11分
第二种，甲、丙进行第四轮比赛，其概率为； ………………………………………… 13分
第三种，甲、丁进行第四轮比赛，其概率为 ………………………………………… 15分
故甲获得冠军的概率为. ………………………………………… 17分
19.解：（1）根据题意可得，所以. ………………………………………… 1分
将点的坐标代入，得，解得， ………………………………………… 2分
所以的方程为. ………………………………………… 3分
（2）设的方程为，，.
由得，
由，得， ………………………………………… 4分
，， ………………………………………… 5分
所以， ………………………………………… 7分
当时，取得最大值，最大值为。 ………………………………………… 9分
（3）设直线。
由得， ……………………………………………… 10分
设，。
，得，，。 ……………… 11分
直线的方程为，
令，得， ……………… 13分
同理可得，， ……………………………………………………………… 14分
所以。 …………………… 15分
因为，所以。 ……………………………………………………………… 17分
数 学
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第六章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是
A. B.
C. D.
2. 从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有
A.7条 B.12条 C.64条 D.81条
3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为
A. B.
C. D.
4. 某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（参考数据：若随机变量，则，，）
A.0.8185 B.0.9544 C.0.9759 D.0.9974
5. 在正三棱锥中，，，是棱的中点，则点到直线的距离是
A.3 B.
C.8 D.
6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积是
A.12 B.24
C. D.
7. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个. 现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则取得最大值时，
A.2 B.3 C.4 D.5
8. 将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有
A.110种 B.140种 C.220种 D.280种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，是的平分线，且，为坐标原点，是双曲线上的一点，则
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的离心率是
C.
D. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积是
11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体. 如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示. 若，则
A. 该石凳的表面积是
B. 异面直线与所成的角为
C. 直线与平面所成角的余弦值
D. 点到平面的距离是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中含的项的系数是.
13. 从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是.
14. 在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，，则点的轨迹方程是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测”和“大气成分分析”两项核心任务，每个探测器可完成其中一项，两项任务或均不完成.已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响.
（1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；
（2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望.
16.(15分)
如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，，分别是棱，的中点.
(1)证明:.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.(15分)
如图，已知平面图形的内部连有线段.
（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？
（2）由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？
（3）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？
18.(17分)
甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军。已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局。
（1） 求甲不参加第三轮比赛的概率；
（2） 求甲、乙进行第四轮比赛的概率；
（3） 求甲获得冠军的概率。
19.(17分)
已知椭圆的长轴长为，且点在上。
（1） 求的方程。
（2） 若斜率为1的直线与交于，两点，求的最大值。
（3） 过点的直线交于，（异于的左、右顶点）两点，直线，分别交直线于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
数学参考答案
1.A由题意可知直线的斜率，则直线的倾斜角是。
2.B由题意可知所求不同的路线有条。
3.B由题意可知向量在向量方向上的投影向量为。
4.C由题意可得。
5.D如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交于点，交于点，连接。易证平面，，则，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系。因为是边长为的等边三角形，所以，。因为，所以，所以，，，所以，，则点到直线的距离是。
6.A设，。因为，所以，则，解得。由抛物线的对称性，不妨取，则直线的斜率，所以直线的方程为。由，得，解得或，则，，故的面积是。
7.B由题意可知服从超几何分布，则。当取得最大值时，，即，解得。因为，所以。
8.D 1名医生和2名护士一组，有种分配方案；1名医生和3名护士一组，有种分配方案；2名医生和2名护士一组，有种分配方案。故满足要求的不同的分配方案有种。
9.ACD由题意可得，，则，，故A，C，D均正确，B错误。
10.BCD由题意可得，解得舍去），则双曲线的渐近线方程为，A错误。由题意可得双曲线的离心率，B正确。延长，，且交于点（图略）。因为是的平分线，且，所以，是线段的中点。因为是线段的中点，所以。由双曲线的定义可得，则，C正确。设，则，即，故点到双曲线的两条渐近线的距离之积是，D正确。
11.ACD由题意可得该石凳的表面积是，A正确。将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系。因为，则，，，，，所以，，，。因为，所以，所以异面直线与所成的角为，B错误。设平面的法向量为，则，令，得。设直线与平面所成的角为，则，，故，C正确。因为平面的一个法向量为，且，所以点到平面的距离是，D正确。
12. 的展开式的通项。令，得。
13. 由题意可知不大于的素数有，，，，，，，，，，共个。从中随机选取
两个数的情况有种，其中被选取的两个数之和为30的情况有，，，共3种，故所求概率为.
14. （或） 因为，，所以，所以.因为，所以，所以，即.设，则，.因为，所以，整理得.
15. 解：（1）该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率.
5分
（2）由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数X服从二项分布B(2,0.9)，则X=0，1，2， 7分
P(X=0)=C20×0.12=0.01, 8分
P(X=1)=C21×0.9×0.1=0.18, 9分
P(X=2)=C22×0.92=0.81, 10分
所以的分布列为
0 1 2
0.01 0.18 0.81
11分
E(X)=2×0.9=1.8 13分
16.(1)证明:因为 PAB是等边三角形,所以PA=PB 1分
因为F是棱AB的中点,所以PF⊥AB 2分
因为平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PAB⊥平面ABCD,所以PF⊥平面ABCD 4分
因为CD 平面ABCD,所以PF⊥CD 5分
（2）解：取棱的中点，连接.易证，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2，则A(-1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，E(-12,2,32)，P(0,0,3)， 7分
故BC→=(0,2,0)，BP→=(-1,0,3)，AC→=(2,2,0)，AE→=(12,2,32) 9分
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 。 11分
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 。 13分
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，，即平面 与平面 夹角的余弦值为 。 15分
17. 解：（1） 由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 1分
则由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条。 3分
（2） 由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 4分
则由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条， 6分
其中两次向上行走连续且最近的路线有7条。 7分
故所求路线有 条。 8分
（3） 设 ， 的位置如图所示，
则由 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线可分为以下三种情况：
① ，有 条最近路线； 10分
② ，有 条最近路线； 12分
③ ，有 条最近路线。 14分
故由 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条。 15分
18. 解：（1） 甲不参加第三轮比赛的情况有以下两种：
第一种，甲第一轮和第二轮比赛均获胜，其概率为 ； 2分
第二种，甲第一轮和第二轮比赛均不胜，其概率为 。 4分
故甲不参加第三轮比赛的概率为. ………………………………………… 5分
（2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有以下两种：
第一种，甲、乙在第四轮比赛前相遇，其概率为； ………………… 7分
第二种，甲、乙在第四轮比赛前不相遇，其概率为 …… 9分
故甲、乙进行第四轮比赛的概率为. ………………………………………… 10分
（3）甲获得冠军的情况有以下三种：
第一种，甲、乙进行第四轮比赛，由（2）可知其概率为； ………………………………………… 11分
第二种，甲、丙进行第四轮比赛，其概率为； ………………………………………… 13分
第三种，甲、丁进行第四轮比赛，其概率为 ………………………………………… 15分
故甲获得冠军的概率为. ………………………………………… 17分
19.解：（1）根据题意可得，所以. ………………………………………… 1分
将点的坐标代入，得，解得， ………………………………………… 2分
所以的方程为. ………………………………………… 3分
（2）设的方程为，，.
由得，
由，得， ………………………………………… 4分
，， ………………………………………… 5分
所以， ………………………………………… 7分
当时，取得最大值，最大值为。 ………………………………………… 9分
（3）设直线。
由得， ……………………………………………… 10分
设，。
，得，，。 ……………… 11分
直线的方程为，
令，得， ……………… 13分
同理可得，， ……………………………………………………………… 14分
所以。 …………………… 15分
因为，所以。 ……………………………………………………………… 17分
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