2.4等比数列
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(共30张PPT)
一、温故知新：
1、等差数列定义：
2、等差数列单调性：
an－an－１=d(d为常数)
d>0单调递增
d<0单调递减
d=0常数列
用什么方法如推出的呢？图像怎样？
要点扫描：
本节课主要学习
①等比数列的定义：“从第2项起，后项与前一项比为常数”。
②通项公式： an = a1 qn-1
及推导
5, 25, 125 ,625, ……
2, 4, 8, 16, ……,
它们有什么共同特点
特点 : 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数.
观察数列
从第2项起,每一项与它前一项的比等于5.
从第2项起,每一项与它前一项的比等于2
从第2项起,每一项与它前一项的比等于--
从第2项起,每一项与它前一项的比等于1/3
二、引入新课：
1.等比数列定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么,这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q 不等于0）。
数学语言：an : an-1 = q
(q是常数且不为0,n≥2，n∈N*）
记忆
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？
如果是,a必须满足什么条件？
(1) a＝0; 它只是等差数列。
(2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；
思考： 1 等比数列中的项能否为零 ？
2 等比数列的公比能否为零 ？
3 常数列一定是等比数列吗 ？
判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；
是
是
不是
不是
注：对定义的认识
1.等比数列的首项不为0, 即a1≠0。
2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
3.公比不为0，即q≠0。
在等比数列{an}中 ，首项为a1 ，公比为q，那么数列中的各项能不能用a1和q来表示 ？
a2=a1q
a3=a2q
= a1q2
a4=a3q
= a1q3
……………………
a10=
a1q9
猜想：an=
a1qn-1
当n=1时，上式也成立
等比数列的通项公式 ：an=a1qn-1
a2 : a1 = q
a3 : a2 = q
a4 : a3 = q
……
an-1 : an-2 = q
an : an-1 = q
这（n－1）个式子迭乘
an : a1 = qn-1
a2=a1q
a3=a2q=a1q2
a4=a3q=a1q3
……
由此得到 an = a1qn-1
等比数列的通项公式 ： an = a1 qn-1
2、等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
q>1 0递增
递减
常数列
递增
递减
常数列
分类：
a1<0
a1>0
练习 ：
（1） 已知 a1=2 ，q=2 ，求a10
（2） 已知 a10=2-10 ，a1= ，求q
（3） 已知 a1=2 ，q= ，an=210 ，求 n
（4）已知 a10=310 ，q= ， 求a1
答案：（1)a10=______ (2)q=_____
(3)n=______ (4)a1=_____
1024
319
18
例1 某农科小组培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
解 ：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍
所以，逐代的种子数组成一个等比数列，记为{an}，
其中 a1=120 ，q=120
所以 a5=a1q4=120×1204≈2.5×1010
答 ：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒。
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18
求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，则： 12=a1q2 18=a1q3
所以 a1=16/3 q=3/2 a2=8
答：这个数列的第1项与第2项分别为16/3 与8。
变式练习 ：如果已知等比数列{an}中的a3=8 ，a5=32， 求 a1与q。
结论：如果 是项数相同的等比数列，那么 也是等比数列．
证明：设数列 的公比为p， 的公比为q，那么数列 的第n项与第n+1项分别为 与 ，即 与 ．
因为
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列．
特别地，如果是 等比数列，c是不等于０的常数，那么数列 也是等比数列．
探究
对于例４中的等比数列 与 ，数
列 也一定是等比数列吗？
是
知识拓展
一、通项公式的推广
4、等比数列所有奇数项符号相同；
所有偶数项符号相同。
二、等比数列的性质
定义法:
三、判断等比数列的方法
中项法:
三个数a,b,c成等比数列
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
5.性质
(若m+n=p+q)
q不可以是0,
d可以是0
等比中项
等差中项
等差数列
等比数列
一、温故知新：
1、等差数列定义：
2、等差数列单调性：
an－an－１=d(d为常数)
d>0单调递增
d<0单调递减
d=0常数列
用什么方法如推出的呢？图像怎样？
要点扫描：
本节课主要学习
①等比数列的定义：“从第2项起，后项与前一项比为常数”。
②通项公式： an = a1 qn-1
及推导
5, 25, 125 ,625, ……
2, 4, 8, 16, ……,
它们有什么共同特点
特点 : 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数.
观察数列
从第2项起,每一项与它前一项的比等于5.
从第2项起,每一项与它前一项的比等于2
从第2项起,每一项与它前一项的比等于--
从第2项起,每一项与它前一项的比等于1/3
二、引入新课：
1.等比数列定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么,这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q 不等于0）。
数学语言：an : an-1 = q
(q是常数且不为0,n≥2，n∈N*）
记忆
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？
如果是,a必须满足什么条件？
(1) a＝0; 它只是等差数列。
(2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；
思考： 1 等比数列中的项能否为零 ？
2 等比数列的公比能否为零 ？
3 常数列一定是等比数列吗 ？
判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；
是
是
不是
不是
注：对定义的认识
1.等比数列的首项不为0, 即a1≠0。
2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
3.公比不为0，即q≠0。
在等比数列{an}中 ，首项为a1 ，公比为q，那么数列中的各项能不能用a1和q来表示 ？
a2=a1q
a3=a2q
= a1q2
a4=a3q
= a1q3
……………………
a10=
a1q9
猜想：an=
a1qn-1
当n=1时，上式也成立
等比数列的通项公式 ：an=a1qn-1
a2 : a1 = q
a3 : a2 = q
a4 : a3 = q
……
an-1 : an-2 = q
an : an-1 = q
这（n－1）个式子迭乘
an : a1 = qn-1
a2=a1q
a3=a2q=a1q2
a4=a3q=a1q3
……
由此得到 an = a1qn-1
等比数列的通项公式 ： an = a1 qn-1
2、等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
q>1 0
递减
常数列
递增
递减
常数列
分类：
a1<0
a1>0
练习 ：
（1） 已知 a1=2 ，q=2 ，求a10
（2） 已知 a10=2-10 ，a1= ，求q
（3） 已知 a1=2 ，q= ，an=210 ，求 n
（4）已知 a10=310 ，q= ， 求a1
答案：（1)a10=______ (2)q=_____
(3)n=______ (4)a1=_____
1024
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18
例1 某农科小组培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
解 ：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍
所以，逐代的种子数组成一个等比数列，记为{an}，
其中 a1=120 ，q=120
所以 a5=a1q4=120×1204≈2.5×1010
答 ：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒。
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18
求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，则： 12=a1q2 18=a1q3
所以 a1=16/3 q=3/2 a2=8
答：这个数列的第1项与第2项分别为16/3 与8。
变式练习 ：如果已知等比数列{an}中的a3=8 ，a5=32， 求 a1与q。
结论：如果 是项数相同的等比数列，那么 也是等比数列．
证明：设数列 的公比为p， 的公比为q，那么数列 的第n项与第n+1项分别为 与 ，即 与 ．
因为
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列．
特别地，如果是 等比数列，c是不等于０的常数，那么数列 也是等比数列．
探究
对于例４中的等比数列 与 ，数
列 也一定是等比数列吗？
是
知识拓展
一、通项公式的推广
4、等比数列所有奇数项符号相同；
所有偶数项符号相同。
二、等比数列的性质
定义法:
三、判断等比数列的方法
中项法:
三个数a,b,c成等比数列
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
5.性质
(若m+n=p+q)
q不可以是0,
d可以是0
等比中项
等差中项
等差数列
等比数列