等差数列前n项和
图片预览
文档简介
课件34张PPT。2.3 等差数列的 前n项和学习目标1 .掌握等差数列的前n项和公式；对前n项和公式能进行简单应用.
2 .掌握前n项和公式的推导方法；
3. 能利用公式及其性质求一些特殊数列的和重点 难点重点 : 等比数列前n项和公式的推导与应用.
难点 : 前n项和公式的推导思路的寻找.
注意理论来源于实践而用于实践高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”. 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②问题分析已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？①②已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .＋＋＋… ＋ 各项组成新的等差数列①②倒序相加法求和公式等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；不含d可知三求一 想一想 在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?结论：知 三 求 二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)da1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550例1、计算
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
-n例题讲解n23230提示：n=76法二：例题讲解 例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：答变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片570块.课堂练习答案: 27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？答案: n=9，或n=-3（舍去）练习: P46 2课堂小结 1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3.公式的应用(知五求二)；
上页下页（两个）2.3 等差数列的 前n项和(2)执教:徐玲华学习目标1 .理解 关系,
2 .理解 关系
3. 能利用公式及其性质求一些特殊数列的和复习回顾1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式：an=a1+(n-1)d说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。-------倒序相加法例题讲解例1、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式可得所以例题讲解例1、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解： 两式相减得变题1.已知等差数列{an}的前m项的和是
30，前2m项的和是100，求前3m项
的和。仍成等差数列，其公差为K2d变式2.等差数列{an}中, S4=1,S8=4,求a9+a10+a11+a12=例2 .若数列{an}的前n项和 ，{an}是否为等差数列？若是，它的首项和公差分别是什么?变式.数列{an}的前n项和 ，{an}是否为等差数列？若是，给予证明，若不是，说明理由。证明：所以数列{an}是一个首项是32,公差为2的等差数列反思公式思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么特征？2.当d不为0时，点（n,Sn)是在常数项为0的一个二次函数的图象上。 结论1：{an}为等差数列? ，这是一个关于 的
没有 的“ ” Sn=an2+bn常数项二次函数（ 注意 a 还可以是 0）n例3．己知等差数列
5, 4 , 3 , …
的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差
为 ,所以sn= [2×5+(n-1)( )]
= = ( n- )2+
练习：1．求集合 的元素个数，并求这些元素的和.解：由 得∴正整数 共有14个即 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 是以 为首项，以 为末项的等差数列.∴小结:趣味数学 在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 请多指教！
2 .掌握前n项和公式的推导方法；
3. 能利用公式及其性质求一些特殊数列的和重点 难点重点 : 等比数列前n项和公式的推导与应用.
难点 : 前n项和公式的推导思路的寻找.
注意理论来源于实践而用于实践高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”. 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②问题分析已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？①②已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .＋＋＋… ＋ 各项组成新的等差数列①②倒序相加法求和公式等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；不含d可知三求一 想一想 在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?结论：知 三 求 二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)da1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550例1、计算
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
-n例题讲解n23230提示：n=76法二：例题讲解 例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：答变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片570块.课堂练习答案: 27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？答案: n=9，或n=-3（舍去）练习: P46 2课堂小结 1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3.公式的应用(知五求二)；
上页下页（两个）2.3 等差数列的 前n项和(2)执教:徐玲华学习目标1 .理解 关系,
2 .理解 关系
3. 能利用公式及其性质求一些特殊数列的和复习回顾1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式：an=a1+(n-1)d说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。-------倒序相加法例题讲解例1、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式可得所以例题讲解例1、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解： 两式相减得变题1.已知等差数列{an}的前m项的和是
30，前2m项的和是100，求前3m项
的和。仍成等差数列，其公差为K2d变式2.等差数列{an}中, S4=1,S8=4,求a9+a10+a11+a12=例2 .若数列{an}的前n项和 ，{an}是否为等差数列？若是，它的首项和公差分别是什么?变式.数列{an}的前n项和 ，{an}是否为等差数列？若是，给予证明，若不是，说明理由。证明：所以数列{an}是一个首项是32,公差为2的等差数列反思公式思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么特征？2.当d不为0时，点（n,Sn)是在常数项为0的一个二次函数的图象上。 结论1：{an}为等差数列? ，这是一个关于 的
没有 的“ ” Sn=an2+bn常数项二次函数（ 注意 a 还可以是 0）n例3．己知等差数列
5, 4 , 3 , …
的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差
为 ,所以sn= [2×5+(n-1)( )]
= = ( n- )2+
练习：1．求集合 的元素个数，并求这些元素的和.解：由 得∴正整数 共有14个即 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 是以 为首项，以 为末项的等差数列.∴小结:趣味数学 在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 请多指教！