课件26张PPT。2.2 直接证明与间接证明2.2.2
反 证 法复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法， 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。理论反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，用反证法证明命题的过程用框图表示为： 条件不变
否定结论导 致
逻辑矛盾反设
不成立结论
成立练习：
2. 不可能成等差数列注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反证法例1：已知：一个整数的平方能被2整除，
求证：这个数是偶数。证明：假设a不是偶数，
则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。注：直接证明难以下手的命题，考虑反证法！例题例2. 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法 ```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是方程的两个根.练习：已知1>a>0,1>b>0，1>c>0,
求证：
中不能都大于 。例3：已知x>0,y>0，x+y>2，
求证： 中至少有一个小于2。分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“所有都”不成立即可.注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 归纳总结：三个步骤：归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。（1）直接证明有困难
正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题“非”命题对常见的几个正面词语的否定.推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构例1用反证法证明：
如果a>b>0，那么注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。补充例题 练习 求证： 是无理数。作业唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。趣味数学课件38张PPT。已知的判断新的判断 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.推理与证明推理证明言之有理，论证有据！第二章 推理与证明2.1.1合情推理（1）10＝ 3＋7
20＝ 3＋17
30＝ 13＋17数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想的过程：归纳推理的过程： 由某类事物的 具有某些特征,
推出该类事物的 都具有这些特征
的推理,或者由 概括出
的推理,称为归纳推理(简称归纳).部分对象全部对象个别事实一般结论归纳推理例. 蛇是用肺呼吸的,
鳄鱼是用肺呼吸的，
海龟也是用肺呼吸的，
蜥蜴是用肺呼吸的，
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。例 三角形的内角和是 ,
凸四边形的内角和是 ,
凸五边形的内角和是 …
例题解析：由此我们猜想:凸边形的内角和是所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例：铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，→所有金属都导电。直角三角形内角和是180°；
等腰三角形内角和是180°；
等边三角形内角和是180°；→所有三角形内角和是180°。应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。例由此我们猜想: 上述例子均是从某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者从个别事实中概括出一般的结论,像这样的推理通常称为归纳推理，简称归纳法或归纳。例1、已知数列{an}中，a1=1，且
an+1= (n=1,2,…)
试归纳出这个数列的通项公式。例2、由下图可以发现什么结论？1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，……结论：1.观察下列式子，归纳结论：（以下a、b均为正数）结论：课堂练习课堂练习2.观察下列式子，归纳结论：结论：归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、
个别到一般的推理注意归纳推理的结论不一定成立可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星上是否存在生命火星与地球类比的思维过程：火星地球存在类似特征 由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.类比推理 从第二项起，每一项与其前一项的差等于一个常数的数列是等差数列. 从第二项起，每一项与其前一项的商等于一个常数的数列是等比数列.我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c;
(2) a=b? ac=bc;
(3) a=b?a2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1) a＞b?a+c＞b+c;(2) a＞b? ac＞bc;(3) a＞b?a2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？类比推理的结论不一定成立.探究球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
圆心连线垂直于截面圆.与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.类比推理类比推理
以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能
由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定成立注意类比推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结果；结论不一定成立.归纳推理由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础,推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立.具有发现的功能;例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆
弦
直径周长
面积球
截面圆大圆表面积体积 类比推理举例可以从不同角度确定类比对象：构成几何体的元素数目：四面体 三角形 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S归纳推理和类比推理的过程通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.例4.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.ABCPpapbpcABCDP “平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形” ； “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行” ．“空间中，两组对边分别相等的四边形是平
行四边形”；
“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线
互相平行”．类比归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 实验、观察概括、推广猜测一般性结论5、当n=1,2,3,4,5时， 的值分别是43，47，53，61，71都是素数。由归纳法你能得到什么猜想？所得的猜想正确吗？例. 1742年哥德巴赫观察到任何 一个不小于6偶数总可以表示成两个奇质数之和。任何 一个大于2偶数总可以表示成两个质数之和。归纳推理的特点:1. 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围。3. 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,或者提供一种方向，帮助人们发现问题和提出问题。2. 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具。类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即 观察、比较联想、类推猜想新结论课件35张PPT。数学归纳法及其
应用举例 问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：?多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下----------递推关系；即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下----------奠基；求证(一定要用上假设)二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。【归纳奠基】【归纳递推】数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。
其格式主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确；
验证初始条件--------游戏开始
（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确；
假设推理----------游戏规则
（3）由（1）、（2）得出结论.
点题找准起点
奠基要稳用上假设
递推才真写明结论
才算完整特别提醒：证明: (1) 当n=1时
左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k?1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+… +(2k?1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1
=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立
由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立递推基础递推依据例1.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n?1)=n2 证明: (1) 当n=1时
左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k?1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+… +(2k?1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1
=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立
由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立证明：1、当n=1时,左=12=1，右=
∴n=1时，等式成立
2、假设n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时
左=12+22+…+k2+(k+1)2=
=右
∴n=k+1时，原不等式成立
由1、2知当n?N*时，原不等式都成立练1、用数学归纳法证明：例:如下证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ 等式成立。
②设n=k时，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.例:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.例:用数学归纳法证明:
(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到
n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学
归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无
效. 证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时
应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要
分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什
么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清
应增加的项.练习巩固 2.已知:
则 等于( )
A: B:
C: D: 这就是说当 时等式成立，
所以 时等式成立.思考1：下列推证是否正确，并指出原因.
用数学归纳法证明：证明：假设 时，等式成立，就是那么思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?例、用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；
2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；
3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；
4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；
5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：例1、是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且
用数学归纳法证明:证:(1)当n=1时,
=1,结论成立.(2)假设当n=k时,结论成立,即则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:
当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命
题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例2、用数学归纳法证明: 能被8
整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即
是8的倍数.那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是
8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被
x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1
= x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.例6、平面内有n (n?2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N?原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 ∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(k∈N?,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线
的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.2k(4)数学归纳法证明不等式问题：例1、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时, 左边= 不等式
成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例2、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.例3、求证:证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于
故不等式成立. (2)假设n=k( )时命题成立,即
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例4、已知x> ?1，且x?0，n?N，n?2．
求证：(1+x)n>1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时，因为x> ?1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；
右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x?0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立例5、已知 求证 : . 证:(1)当n=2时, ,
不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当n=k+1时, 有:即当n=k+1时,不等式成立.由(1),(2)所证不等式对一切 都成立. 五、小结:1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证
明,但注意不要滥用.要掌握数学归纳法的实质与步
步. 2.归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的
辨证思想,是数学的基本思想,数学归纳法体现了有
限辨证关系与转化的思想.3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一
起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法
等. 数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在
第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设. 第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n≥n0)
时n取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n的取值,经不断地循环递推便得到对满足n≥n0的所有正整数命题都成立.(1)重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。课件14张PPT。数学归纳法（一）请问：?以上四个结论正确吗？为什么?
?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N ) ??1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
?共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。?一、概念1、归纳法：
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，
归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。特别注意：用不完全归纳法得出的结论不一定正确2、数学归纳法：思考题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？
（2）数学归纳法有几个步骤？每一个步骤说明什么问题？
（3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？ 例：由下表
1 ＝1＝12 ①
1＋3 ＝4＝22 ②
1＋3＋5 ＝9＝32 ③
1＋3＋5＋7 ＝16＝42 ④
…… ⑤ 结论：1＋3＋5＋…＋（2n?1）＝n2，(n?N) ⑥证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1 ⑦
?等式成立 ⑧
（2）假设当n=k（k ?N）时，等式成立，即 ⑨
1＋3＋5＋…＋（2k?1）＝k2 ⑩
则1＋3＋5＋…＋（2k?1）+(2k+1) ⑾
＝k2+(2k+1) =(k+1)2 ⑿
?当n=k+1时，等式也成立 ⒀
根据（1）（2），可知等式对任意n?N都成立。⒁ 设命题P(n)，其中n∈N且n≥n0
(1)当n=n0（譬如n0=1或2等）时，证明命题P(n0)成立；
(2)假设当n=k（k∈N且n≥n0）时命题P(k)成立，证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立；
根据(1)、(2)，命题P(n)对一切自然数n（n≥n0）都成立。 数学归纳法的基本形式：1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没
有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
由以上可知，用数学归纳法需注意：归纳法
完全归纳法
不完全归纳法
数学归纳法
可能错误，
如何避免
穷举法
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…
Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明：
证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边= =1=S1，等式成立。
2）假设当n=k(k∈N )时，有：
Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，
当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2+ …+22+12
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2
=Sk+2k2+2k+1
= + 2k2+2k+1
= (2k3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]
= (k+1)(2k2+4k+2+1)= (k+1)[2(k+1)2+1],
∴ 当n=k+1时公式仍成立。
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 。
??例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…
Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明：
证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边= =1=S1，等式成立。当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2+ …+22+12=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2=Sk+2k2+2k+1= + 2k2+2k+1 = (2k3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]= (k+1)(2k2+4k+2+1)= (k+1)[2(k+1)2+1],∴ 当n=k+1时公式仍成立。练习：?1+a+a2C1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中
n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二
是“凑”目标式。
小结数学归纳法的概念及应用（一）：课件14张PPT。数 学 归 纳 法 及 其 应 用 举 例（2）参评人：王朝阳
二〇〇三年四月四日
欢迎指导!什么是数学归纳法？对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.然后假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 。课前复习数学归纳法(1) 第一步，是否可省略？ 不可以省略。(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。反例小结：
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。思考假设n=k时，等式
成立，就是
那么，
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。
能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立例题2 用数学归纳法证明证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。例3 用数学归纳法证明 1）第一步应做什么？此时n0= ，左 ，2）假设n=k时命题成立，即 1×4＝41当n=2时，左＝ ，右＝ 。2(2＋1)2 当n=k时，等式左边共有 项，
第(k－1)项是 。 k1×4＋2×7(K－1)×[3(k－1)＋1]思考？3）当n=k+1时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？证明：（1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到哪些变形手段？ 、 、 、 等变形手段。复习巩固、小结提高（1）如下证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ 等式成立。
②设n=k时，有思考小结乘法公式因式分解添拆项配方那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。既然不对，如何改正？第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。（2）分组练习P66 1、2、3（3）小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：① 明确首取值n0并验证真假。（必不可少）
② “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的
方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，
并 用上假设民。可明确为：重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。作业布置
P68 习题2.1 3、4题 课堂小结数 学 归 纳 法 及 其 应 用 举 例（2）参评人：王朝阳
二〇〇三年四月四日
谢谢指导!课件11张PPT。数学归纳法班级:聋部高三
授课人:王志华从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。” "万百千"的笑话犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。万百千在学习上犯了什么错误?多米诺骨牌和台球的游戏骨牌倒下用不用一块一块人工推倒？
课题探究第一，必须推倒第一块，
第二,假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。 想一想要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？
人群中的多米诺一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：( 2 ) 假设n = k ( k ≥ n0 ，k ∈ N* ) 时命题成立，
证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数
都成立。上述证明方法叫做数学归纳法（1） 证明当n取第一个值 n0 时命题成立。（归纳基础）( 归纳推理 )提炼原理,得出概念（1）第一块骨牌倒下。
（1）当n=1时猜想成立。
（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。
——利用相似性,规范二步骤用框图表示为： 验证n=1时命题成立。若n = k ( k ≥ 1 ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对所有的自然数n都成立。归纳基础归纳推理 注：两个步骤,一个结论,缺一不可当n=k+1时，代入 得：证明
证明：(1) 当，左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
所以等式成立。
综合（1）和（2）等式对一切自然数n均成立。点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。在推证过程中一定要利用好归纳假设。请为我检查作业小 结1、我们学习了数学归纳法，要认同数学归纳法的科学性
2、它的两个步骤一个结论,第一步基础，第二步是关键，值得注意的是，利用好归纳假设.1、阅读作业：通读教材
2、书面作业：先写出首项为a1，公比为q 的等比数列的通项公式,然后用数学归纳法证明
3、弹性作业：简析我国古代烽火传递
军情的合理性 (可以上网) 送你作业,增你知识,长你技能课件9张PPT。数学归纳法
(2)什么是数学归纳法？复习 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.然后假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做数学归纳法。 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明
莫忘掉(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）：练习(1)用数学归纳法证: D(2)用数学归纳法证: (n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（ ）：Ａ.１项Ｂ. 项Ｄ. 项Ｃ. 项Ｃ例１.用数学归纳法证明：例2.设数列{an}满足an+1=an2?nan+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1?3时，证明：对所有的n?1，有an?n+2 注意： 此问题解答过程中用到了
“观察---归纳—猜想---证明”的思维方式.例3.已知x> ?1，且x?0，n?N，n?2．
求证：(1+x)n>1+nx2.假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时，因为x> ?1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；
右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立
证明：1.当n=2时，
左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x?0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
课堂小结3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
2.是否存在常数a、b、c使得下面等式 成立 注意： 存在性问题，一般都要通过“观察---归纳—猜想---证明”的过程补充作业：(题目抄到作业本）（８９年全国理科高考题）
