中考试题(中考压轴题)

数学中考压轴题详解
第一题：（2008连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的ΔAOB，ΔCOD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至ΔPEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H．
（1）求直线AC所对应的函数关系式；
（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知两点的坐标分别为．
设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．
因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
则有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．
．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．
第二题：（2008沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点在轴上
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：
点在轴上，点在轴上．
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为
抛物线经过点，
由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为：
（3）存在符合条件的点，点．
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，．
第三题：（未知）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；
(2) 当t= 秒或 秒时，MN=AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
解：(1)（4，0），（0，3）；
(2) 2，6；
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得，
∴ ON=，S=．
当4＜t＜8时，
如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-．
由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4．
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
=12--（8-t）（6-）-
=．
方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．
由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=．
以下同方法一．
(4) 有最大值．
方法一：
当0＜t≤4时，
∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，
∴ 当t=4时，S可取到最大值=6；
当4＜t＜8时，
∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6．
综上，当t=4时，S有最大值6．
方法二：
∵ S=
∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示．
显然，当t=4时，S有最大值6．
第四题：（2008郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥DG
所以
所以
（2）的周长之和为定值．
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．
（3）设BE＝x，则
所以
配方得：．
所以，当时，y有最大值．
最大值为．
第五题：（2008镇江）如图，在直角坐标系xoy中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，于C，Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．
（1）求证：H点为线段AQ的中点；
（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；
②平行四边形APQR为菱形；
（3）除P点外，直线PH与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
解： （1）解法一：由题可知．
，，
．
，即为的中点．）
解法二：，，．
又轴，．
（2）①由（1）可知，，
，，
．
，
又，四边形为平行四边形．
②设，轴，则，则．
过作轴，垂足为，在中，
．
平行四边形为菱形．
（3）设直线为，由，得，代入得：
直线为．
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
，，解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点．
第六题：（2008无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=600，；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：
（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．
解：（1）过作轴于，
，，
，，
点的坐标为．
（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，
，，
．
②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，
过作于，则，
，．
③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，
则，，
．
过作轴于，则，
，
化简，得，
解得，
，
．
所求的值是，和．
第七题：(2008辽宁)如图，在RtΔABC中，∠A=900,AB=AC,BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB,AC上，且G,F分别是AB,AC的中点．
（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定ΔABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图15）．
探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．
探究2：设在运动过程中ΔABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．
解：如图6，（1）过点作于．
，，，为中点
．
又分别为的中点
等腰梯形的面积为6．
（2）能为菱形 如图7，由，
四边形是平行四边形
当时，四边形为菱形，此时可求得
当秒时，四边形为菱形．
（3）分两种情况：①当时，
方法一：，
重叠部分的面积为：
当时，与的函数关系式为
②当时，
设与交于点，则
，
作于，则
重叠部分的面积为：
第八题：（未知）如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与ΔOO1M相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）圆心的坐标为，半径为1，，
二次函数的图象经过点，
可得方程组
解得：二次函数解析式为
（2）过点作轴，垂足为．
是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在中，
为锐角，
，
在中，．
．
点坐标为
设切线的函数解析式为，由题意可知，
切线的函数解析式为
（3）存在．
①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似）
，
②过点作，垂足为，过点作，垂足为．
可得（两角对应相等两三角开相似）
在中，，，
在中，，
，
符合条件的点坐标有，
第九题：（未知）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）作轴，为垂足，
，半径
，
（2），半径
，故，
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为
设抛物线解析式
把点代入上式，解得
（4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形
且．
轴，点在轴上．
又，，即．
又满足，
点在抛物线上
所以存在使线段与互相平分．
第十题：（2008芜湖）如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式;
（2）抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
解： （1）
过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：
△ABO∽△ACD， ∴．
由已知，可知： ．
∴．∴C点坐标为．
直线BC的解析是为：
化简得：
（2）设抛物线解析式为，由题意得： ，
解得：
∴解得抛物线解析式为或．
又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为
（准确画出函数图象）
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，，
∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为
同理可求得直线与y轴交点坐标为
∴两直线解析式；．
根据题意列出方程组： ⑴；⑵
∴解得：；；；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，
第十一题：（2008仙桃）如图，直角梯形OABC中，AB∥CD,O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2），∠BCO= 60°，OH⊥BC于点H.动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.
（1）求OH的长；
（2）若ΔOPQ的面积为S（平方单位）. 求S与t之间的函数关系式.并求为何值时，ΔOPQ的面积最大，最大值是多少？
（3）设PQ与OB交于点M.①当ΔOPM为等腰三角形时，求（2）中S的值.
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论.
解：（1）∵∥ ∴
在中， , ∴，
∴ 而 ∴为等边三角形
∴
（2）∵
∴
∴= （）
即 ∴当时，
（3）①若为等腰三角形，则：
（i）若，
∴∥
∴ 即
解得：
此时
（ii）若，
∴
过点作，垂足为，则有：
即
解得：
此时
（iii）若，
∴∥
此时在上，不满足题意.
②线段长的最大值为
第十二题：（2008宜昌）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，
C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点，且在双曲线y＝上时，求这时四边形OABC的面积．
.解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S＝mz， z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2 .
同理，AB＝1，故点B的坐标是(1，2).
(2)解法一：
∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，
∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标为(，－am2).
如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.
当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，
这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，
∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①
当点P与C重合时，双曲线y＝不可能经过P,
故也不存在m的值.②
(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)
当P在AB上运动时，即当0抛物线l的顶点为P(，2).
∵P在双曲线y＝上，可得 m＝，∵>2,与 x＝≤1不合，舍去.③
容易求得直线BC的解析式是：，
当P在BC上运动，设P的坐标为 (x,y)，当P是顶点时 x＝，
故得y＝＝，顶点P为(，)，
∵1< x＝2，又∵P在双曲线y＝上，
于是，×＝，化简后得5m－22m＋22＝0,
解得,,
与题意2故由①②③④，满足条件的只有一个值：.
这时四边形OABC的面积＝＝.
第十三题：（2008襄樊）如图15，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把ΔFAC分成面积之比为1：3的两部分？
解：（1）四边形是矩形，
，．
又，．
．
，
即，
解之，得．
（2）．如图4，过作于，
．
，．，．
．
因点为坐标原点，故可设过三点抛物线的解析式为．
解之，得
．
（3）抛物线的对称轴为，其顶点坐标为．
设直线的解析式为，则解之，得
．
设直线交直线于，过作于．
．．
或，
或，或．
或，即或．
，．
直线的解析式为．当时，．
直线的解析式为．当时，．
当秒或秒时，直线把分成面积之比为的两部分
第十四题：（2008兰州）如图19-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；
（2）如图19-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t（0（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．
解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，．
．．
点坐标为（2，4）．
在中，， 又．
． 解得：．
点坐标为
（2）如图①，．
，又知，，
， 又．
而显然四边形为矩形．
，又
当时，有最大值．
（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）
在中，，，为的中点，
．
又，为的中点．
过点作，垂足为，则是的中位线，
，，
当时，，为等腰三角形．
此时点坐标为．
（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）
在中，．
过点作，垂足为．
，．
．
，．
，，
当时，（），此时点坐标为．
综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．
第十五题：（10分）（2008南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
解：
（1）900；
（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h．
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．
设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得
解得
所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．
自变量的取值范围是．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把代入，得．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h
第十六题：（2008江苏南通）已知双曲线与直线相交于
A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是
双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴
于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线
于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．
解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．
∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
从而．
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．
S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =，
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴．
由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得
解得．
∴直线CM的解析式是．
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别
为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是．
同理，
∴．
第十七题：（08江苏宿迁）
如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．
(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；
(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；
(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．
解：(1) ∵四边形为正方形 ∴
∵、、在同一条直线上 ∴ ∴直线与⊙相切；
(2)直线与⊙相切分两种情况:
　　①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．
由∽ 得
∴　∴，故直线的函数关系式为；
　　②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．
由∽ 得
∴　∴，故直线的函数关系式为.
(3)设,则,由得
∴
∵
∴.
第十八题：（08江苏泰州）已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）。
（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）
（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）
（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足2<<3，试求实数k的取值范围。（5分）
解：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)
（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）
将（0，—）代入，解得a=.
∴抛物线解析式为y=x2+x-
（无论解析式是什么形式只要正确都得分）
画图（略）。（没有列表不扣分）
（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像
由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。
（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），
y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×22+2-，解得K＞5。
同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×32+3—＞，解得K＜18。
所以K的取值范围为5 ＜K＜18
第十九题：（静安区2006学年教学质量检测）
如图，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E，CD、AE的延长线相交于点F．
（1） 求证：∠ADB=3∠B；
（2） 设⊙C的半径为，EF的长为，求与的函数解析式，并写出定义域；
（3） 点C在线段AB上移动的过程中，⊙C能否与AE相切？如果能够，请求出这时⊙C的半径；如果不能，请说明理由．
解：(1) ∵点B、D在⊙C上，∴CD=CB,∴∠CDB=∠B．∴∠ACD=2∠B．　
∵点C、D在⊙A上，∴AC=AD,∴∠ADC=∠ACD=2∠B．
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC，∴∠ADB=3∠B．
（2）∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE．∴∠FED=∠ADB=3∠B．
∵∠FAC =∠FED–∠B，∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA．
∴△ACD∽△FAC，∴．　
∵BC=CD=，∴AE=AC=，AF=，
∴．定义域为.
（3）如图，⊙C能与AE相切，设切点为G，
连结CG，则∠AGC=90°.
在Rt△ACG中，.
．
过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，
cos∠FAH=.
∴
（负值舍去）
∴⊙C的半径为．
第二十题：（2008宁波）如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；
第二步 将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．
则的值是 ，的长分别是 ， ．
（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．
（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
解：（1）．
（2）相等，比值为．
（3）设，
在矩形中，，，
，
，，．
同理．
，，．
，，
解得．即．
（4）， ．
A
O
E
G
B
F
H
N
C
P
I
x
y
M
（答图）
K
II
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
B
A
D
O
P
C
x
y
图1
y
x
B
C
P
O
A
E
图2
y
x
A
F
C
B
P
O
G
H
图3
A
F
G
(D)B
C(E)
图6
M
F
G
A
B
D
C
E
图7
M
F
G
A
B
C
E
图8
Q
D
P
y
A
H
F
M
O
P1
P2
O1
x
B
y
x
B
C
O
A
D
E
图①
P
M
N
F
y
x
B
C
O
A
D
E
图②
P
M
N
F
4
x/h
12
900
y/km
O
D
C
B
A
y
O
·
A
D
x
B
C
E
N
M
·
y
O
·
A
x
B
M
·
Q
A1
P
M1
A
B
C
D
B
C
A
D
E
G
H
F
F
E
4开
2开
8开
16开
图1
图2
图3
a
①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形．
②本题中所求边长或面积都用含的代数式表示．
各大中考数学压轴题详解，by——xue35，页- 2 -