浮山中学2009-2010学年度下学期期中考试

浮山中学2009-2010学年度下学期期中考试
高二数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分 命题：李善飞）
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数，则它的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．下面使用类比推理正确的是（ ）www.ks5u.com
A. “若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”
B. “若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”
C. “若(a+b)c=ac+bc”类推出“(c≠0)”
D. “(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” www.ks5u.com
3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）
Ａ．假设都是偶数 Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数 Ｄ．假设至多有两个是偶数
4．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点。以上推理中 （ ）
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
6．用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在内有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
8．图中,阴影部分的面积是 ( )
A.16 B.18
C.20 D.22
9．函数（ ）
A．在上单调递增 B．在和上单调递增
C．在上单调递增 D．在上单调递增
10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：编号为1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示，
按如此规律下去，则（　　）
A．1003 B．1005 C．1006 D．2011
二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知平行四边形OABC的顶点A、B分别对应复数，，点O为复平面的原点，那么顶点C对应的复数是
12．计算= .
13. 平面直角坐标系内，在，轴上的截距分别为，（）的直线方程为，类比到空间，在，，轴上的截距分别为，，（）的平面方程为
14．设函数，．如果对不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
15．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 .
三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。）
16．（本小题共12分）已知的三个内角成等差数列，
求证：
17．（本小题共12分）已知函数
（Ⅰ）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若上是增函数，求实数的取值范围。
18．（本小题共12分）
如图，已知抛物线与直线的两个交点分别为A、B，点P在抛物线上从A向B运动（点P不同于点A、B），
（Ⅰ）求由抛物线与直线所围成的图形面积；
（Ⅱ）求使⊿PAB的面积为最大时P点的坐标。
19．（本小题共12分）
如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．
20．（本小题满分13分）
把边长为a的等边三角形铁皮如图（1）剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图（2），设容器的高为x，容积为。
（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积。
21．（本小题满分14分）
已知数列，，，．
记： ．
求证：当时，
（Ⅰ）﹤1；
（Ⅱ）
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高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
B
A
B
C
B
二、填空题答案
11、3+5i 12、- 13、
14、 15、91
三、解答题答案
16．证明：要证原式成立，
只要证
即只要证 ------------4分
而， ----------8分
. --12分
17．解：（I）
有极大值点，极小值点。-----------3分
此时在上是减函数，在上是增函数。
在上的最小值是-18，最大值是-6 -------------6分
（Ⅱ）
-------------------9分
当时，是增函数，其最小值为

时也符合题意，
----------------12分
18．解（Ⅰ）由解得或
即，B -------------------------2分
因此所求图形的面积为
-------------------------4分
-------------------------6分
(Ⅱ)设点P的坐标为（a,b）由（Ⅰ）得，B
要使⊿PAB的面积最大即使点P到直线的距离最大 -----------------8分
故过点P的切线与直线平行
又过点P的切线得斜率为 -------------------------10分
即，
∴P点的坐标为时，⊿PAB的面积最大。 ------------------------12分
19．解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题。----------------------6分
证明如下：
在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．
因为面，，所以．
又，所以．
于是．-------------12分
20．解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为
则 . -------------------------5分
函数的定义域为. -------------------------6分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.
先求的极值点.
在开区间内， ----------------8分
令，即令，解得.
因为在区间内，可能是极值点. 当时，；
当时，. ------------------11分
因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，
所以是的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为. --------------13分
21．（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．----------------------4分
由及
所以﹤1． ------------------------6分
（Ⅱ）证明：由，得
---------------------9分
所以，
于是，
故当时，，-----------------12分
又因为，
所以． ------------------14分