辽宁省实验中学2024-2025学年高一下4月月考数学试卷（PDF版，含答案）

27届高一下学期第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
3
1．在直角坐标系 xOy中，锐角 的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点 A , y5 0
，

则 sin （ ）
A．-
3 4 3 4
B． C． D．
5 5 5 5
2．已知点 P tan ,sin 是第二象限的点，则 的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列四个函数中以 π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A． f x sin x f x cos 2x B． C． f x sin(2x ) D． f x tan x
3
4．鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图 1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长
为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加
工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为
R的圆O 5π π（如图 2），A，B，C分别为圆周上的点，其中 AOB ， BOC ，现将扇形 AOB，BOC分别剪
6 3
下来，又在扇形 AOC中裁剪下两个弓形分别补到扇形 BOC的两条直边上，将扇形 BOC补成鲁洛克斯三角形，设此
鲁洛克斯三角形的面积为 S1，扇形 AOC剩余部分的面积为 S2，若不计损耗，则 S1 : S2 （ ）
A 6π 2 3 6π 6 3 6π 6 3 6π 3 3． B． C． D．
π 6 3 π 6 3 π 3 3 π 3 3
5.将函数 f x Asin x B, A 0, 0, 0, 2π π的图像按以下顺序进行变换：①向左平移 个单位长度；
6
1
②横坐标变为原来的 2 ，纵坐标不变；③向上平移 1个单位长度.可得到 g x sinx的图像，则 f x （ ）
sin 1 x 23π πA．

1 B． sin

2x

2 12 12
1

C． sin
1
x
23π
1 sin 1D． x
π
1
2 24 2 12
试卷第 1页，共 4页
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2
f x y 2 f x sin x y f x cos x 2 π6 ．已知函数 的定义域为R ， 是偶函数， 是奇函数，则 f x f x2


（ ）
3 5
A．5 B． 2 C． D．
2 4

7．如图，圆M 为VABC的外接圆，AB 4，AC 6，N为边 BC的中点，则 AN AM （ ）
A．10 B．13 C．18 D．26
8．已知函数 f (x) sin x，若存在 x1， x2， ， xm满足 0 x1 x2 xm 7 ，且
| f (x1) f (x2 ) | | f (x2 ) f (x3 ) | | f (xm 1) f (x
*
m ) | 14(m 2，m N )，则m的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得
6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分

9 ．已知非零平面向量 a，b， c，下列结论中正确的是（ ）
a b a

A．若 a c b c，则 a b； B．若 b a ，则 ∥b；

C．若 a b a b ，则 a b； D．若 a b a b 0 a ，则 b或 a b．
π
10.已知 f x 3tan 2x ，则下列说法正确的是（ ）
3
π kπ
A． f x 图像对称中心为 ,0
, k Z
6 2
B． f x π的最小正周期为
2
f x 5π kπ π kπ C． 的单调递增区间为 , , k Z
12 2 12 2
f x 1 x π kπ , π kπ D．若 ，则 , k Z 12 2 12 2
11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在
涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港
口水深 f (t)（单位：m）与时间 t（单位： h）从0~24时的关系可近

似地用函数 f (t) Asin( t φ) b (A 0, 0, φ )来表示，函数
2
f (t)的图象如图所示，则（ ）

A． f (t) 3sin t 5(0 t 24)
6
B．函数 f (t)的图象关于点 (12,0)对称
C．当 t 5时，水深度达到6.5m
π
D．已知函数 g(t)的定义域为[0,6]， g(2t) f (2t) n有 2个零点 t1, t2，则 tan 3t1 t2
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分

12 ．已知 | a | 1， | b | 2， a与 b的夹角为 60
， c a b 与 d a 2 b的夹角为锐角，则 的取值范围
1
13．已知 e1 和e2 是夹角为30 的两个单位向量，且 a e1 2 0, b e2 ，则 a b 的最小值为 .2
f (x) π π π14．已知函数 sin( x )( 0,0 )图象的一个对称中心是 ( ,0)，一条对称轴是直线 x ，且 f (x)
2 8 8
π
在区间 (0, )上有且仅有两个零点，则 .
8
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）
2sin sin 5
1 tan 2 2 （ ）已知 ，求 3 的值；cos 3 3cos
2
1
（2）已知0 ，且 sin cos ，求 sin cos 的值.
3
16．（15分）

已知向量 a (3, 2),b (x, 1)．
(1)当 (a 2b) (2a b) 且 x 0时，求 a b ；(2) 当 c ( 8, 1),a ∥ (b c ) ，求向量 a与 b的夹角 ．
17.（15分）
f x Acos x A 0, 0, π已知函数
1
的部分图象如图所示，直线 x 是 f x
2 3
图象的一条对称轴．
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 的单调递减区间；
(3)若方程 f x 1在 0, 内恰有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
试卷第 3页，共 4页
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18．（17分）某小区南门有条长 100米、宽 6米的道路（如图 1所示的矩形 ABCD），路的一侧划有 20个长 5米、
宽 2.5米的停车位（如矩形 AEFG）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：
在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停
π
车位．记绿化带被压缩的宽度 AM d（米），停车位相对道路倾斜的角度 E A M ，其中 ,
π
．
6 3
3
(1)若 cos ，求 EE 和 E M 的长；
5
(2)求d关于 的函数表达式 d ；
(3)若d 3，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
19．（17分）
“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何
意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所
在角的余弦和正弦,这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单
位圆上一个点的坐标,通过几何意义来解决相关问题.例如要求 cos 2sin 的取值范围,只需设
t=2cos sin 2x y ,即 y 2x t ,使该条直线与单位圆的有公共点时在 y轴截距的取值范围即可.
(1)当设 0, π 时，利用上述内容求 cos sin 的取值范围
1
(2) 2 2 3利用恒等式 sin cos2 1 2和 tan 1 2 ，求函数 y1 x 1 x
2 和 y2 2 tan
2 4tan 4的
cos cos cos
最小值.
(3)已知：若 A B C π, A,B,C 0, π 则有 cos2A cos2B cos2C 2cosAcosBcosC 1 .
现有实数 x, y x2 y2 2xy
1
满足 ，求二元函数
2 f x, y x
2 4 2x 9 2 2y 2 2x 2 2 2xy 1 x 的最大值.
试卷第 4页，共 4页
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