高二数学诊断性试卷
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高二数学诊断性试卷
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题中只有一项符合题意的。）
1．下列表述正确的是（ ）www.ks5u.com
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理www.ks5u.com
A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤
2、曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）www.ks5u.com
A. y=3x－4 B. y=－3x+2 C. y=－4x+3 D. y=4x－5
3、函数y=x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（ ）www.ks5u.com
A. 极大值5，极小值－27 B. 极大值5，极小值－11
C. 极大值5，无极小值 D. 极小值－27，无极大值
4、y=esinxcos(sinx)，则yˊ(0)等于（ ）www.ks5u.com
A. 0 B. 1 C. －1 D. 2
5、已知n为正偶数，用数学归纳法证明（ ）www.ks5u.com
1-时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）www.ks5u.com
A. n=k+1时等式成立 B. n=k+2时等式成立
C. n=2k+2时等式成立 D. n=2(k+2)时等式成立
6、数列中，a1=1， 表示前n项和，且，，2成等差数列，通过计算s1，s2，s3，猜想当n≥1时，= （ ）
A. B. C. D.
7、已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc＞0，则的值.( ) www.ks5u.com
A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 可能为0 D. 正、负不能确定
8、定义运算：□：a□b=a(1－b)，若不等式（x－a）□（x+a）≥1对任何实数x都不成立，则实数a的取值范围是 （ ）www.ks5u.com
A. －1＜a＜1 B. 0＜a＜2 C. ＜a＜ D. ＜a＜
9、设a＞b＞0，x=，y=，则x、y的大小关系为（ ）
A. x＞y B. x＜y C. x＝y D. x、y大小关系不定
10、如图所示为二次函数的图象，若函数=，（ 是的导函数），则的图象是（ ）www.ks5u.com
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）www.ks5u.com
11、若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 。
12、设点P是曲线y=x3－上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。www.ks5u.com
13、由①矩形的对角线互相平分；②平行四边形的对角线互相平分；③矩形是平行四边形；根据三段论推理出一个结论，则这个三段论中的大前提的序号是
14、将函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，
则这个封闭的平面图形的面积是 。
15．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第个图有个树枝，则= ．
三、解答题：（6道小题，共75分）www.ks5u.com
16、（12分）若a、b、c均为正数，求证：。
17、（12分）设函数．
（I）证明：是函数在区间上递增的充分而不必要的条件；
（II）若时，满足恒成立，求实数的取值范围．
18、（12分）已知函数f(x)=ax3－bx2 +(2－b)x+1，在处取得极大值，在处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2。
（1）证明：a＞0；www.ks5u.com
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。W
ww.ks5u.com
19、如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=·；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？并证明。
20、（13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S。www.ks5u.com
（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积S的最大值。
21、 （本题满分14分）已知= ,数列满足:
，
（1）求在上的最大值和最小值;
（2）证明：;
（3）判断与的大小，并说明理由.
答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
B
B
B
C
B
A
二、填空题
11、[，+∞）； 12、[0，﹚[，）；
13、② ；www.ks5u.c14、 15、（）
三、解答题
16、证明：欲证，
只要证，
只要证，
只要证（a+b+c）（）≥。
∵（a+b+c）（）www.ks5u.com
=[（b+c）+（a+c）+（a+b）]·（）
≥×3·3=，故原不等式成立。
17、解（I）对函数求导，得 ，
先证充分性：若，，，
函数在区间上递增.
再说明非必要性:在区间上递增， ∴对1由得，，而，所以，即
所以，是函数在区间上递增的充分而不必要的条件。
（II） ，令，得
显然，时不符合题意.
当时，函数在（）上递增，在上递减，
若时，恒成立，需=6
，得.
当时，函数在（）上递增，在上递减，
此时，，如满足恒成立，
需得
故若时，满足恒成立，实数
18、解：求函数f′(x)的导数f′(x)=ax2－2bx+2－b
（1）由函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f’(x)=0的两个根。www.ks5u.com
所以f’(x)=a(x－x1)(x－x2)
当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0
（2）在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于即
化简得此不等式组表示的区域为平面aob上三条直线：2－b=0，a－3b+2=0，4a－5b+2=0，所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为：A. www.ks5u.com
在这三点的值依次为，所以z的取值范围为
19、解 类似的结论为：=··.
这个结论是正确的，证明如下：
如图，过R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，连OM2.
过R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，
则R1M1⊥平面P2OQ2.
由=·R1M1
=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1
=OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，
同理，=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.
所以=.
由平面几何知识可得=.
所以=.所以结论正确.
20、解析：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O－xy（如图），则点C的横坐标为x。www.ks5u.com
点C的纵坐标y满足方程+=1（y≥0），解得y=2（0＜x＜r）
S=·2=2（x+r）·，其定义域为{x|0＜x＜r}
（2）记f(x)=4(x+r) 2(r2－x2)，0＜x＜r，
则f’(x)=8(x+r)2(r－2x) www.ks5u.com
令f’(x)=0，得x=
因为当0＜x＜时，f’(x)＞0；www.ks5u.com
当＜x＜r时，f’(x)＜0，所以f()是f(x)的最大值
因此，当x=时，S也取得最大值，最大值为=
即梯形面积S的最大值为 www.ks5u.com
21、【解】 (1)
当时，
在上是增函数
………………6分
（2）（数学归纳法证明）
①当时，由已知成立；
②假设当时命题成立，即成立，
那么当时，由①得
，这就是说时命题成立.
由①、②知，命题对于都成立 …………9分
（3） 由
记得 ……10分
当时，故
所以 <0 得g(x)在是减函数，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 ∴>0,即>0
得>
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题中只有一项符合题意的。）
1．下列表述正确的是（ ）www.ks5u.com
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理www.ks5u.com
A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤
2、曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）www.ks5u.com
A. y=3x－4 B. y=－3x+2 C. y=－4x+3 D. y=4x－5
3、函数y=x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（ ）www.ks5u.com
A. 极大值5，极小值－27 B. 极大值5，极小值－11
C. 极大值5，无极小值 D. 极小值－27，无极大值
4、y=esinxcos(sinx)，则yˊ(0)等于（ ）www.ks5u.com
A. 0 B. 1 C. －1 D. 2
5、已知n为正偶数，用数学归纳法证明（ ）www.ks5u.com
1-时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）www.ks5u.com
A. n=k+1时等式成立 B. n=k+2时等式成立
C. n=2k+2时等式成立 D. n=2(k+2)时等式成立
6、数列中，a1=1， 表示前n项和，且，，2成等差数列，通过计算s1，s2，s3，猜想当n≥1时，= （ ）
A. B. C. D.
7、已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc＞0，则的值.( ) www.ks5u.com
A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 可能为0 D. 正、负不能确定
8、定义运算：□：a□b=a(1－b)，若不等式（x－a）□（x+a）≥1对任何实数x都不成立，则实数a的取值范围是 （ ）www.ks5u.com
A. －1＜a＜1 B. 0＜a＜2 C. ＜a＜ D. ＜a＜
9、设a＞b＞0，x=，y=，则x、y的大小关系为（ ）
A. x＞y B. x＜y C. x＝y D. x、y大小关系不定
10、如图所示为二次函数的图象，若函数=，（ 是的导函数），则的图象是（ ）www.ks5u.com
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）www.ks5u.com
11、若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 。
12、设点P是曲线y=x3－上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。www.ks5u.com
13、由①矩形的对角线互相平分；②平行四边形的对角线互相平分；③矩形是平行四边形；根据三段论推理出一个结论，则这个三段论中的大前提的序号是
14、将函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，
则这个封闭的平面图形的面积是 。
15．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第个图有个树枝，则= ．
三、解答题：（6道小题，共75分）www.ks5u.com
16、（12分）若a、b、c均为正数，求证：。
17、（12分）设函数．
（I）证明：是函数在区间上递增的充分而不必要的条件；
（II）若时，满足恒成立，求实数的取值范围．
18、（12分）已知函数f(x)=ax3－bx2 +(2－b)x+1，在处取得极大值，在处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2。
（1）证明：a＞0；www.ks5u.com
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。W
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19、如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=·；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？并证明。
20、（13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S。www.ks5u.com
（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积S的最大值。
21、 （本题满分14分）已知= ,数列满足:
，
（1）求在上的最大值和最小值;
（2）证明：;
（3）判断与的大小，并说明理由.
答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
B
B
B
C
B
A
二、填空题
11、[，+∞）； 12、[0，﹚[，）；
13、② ；www.ks5u.c14、 15、（）
三、解答题
16、证明：欲证，
只要证，
只要证，
只要证（a+b+c）（）≥。
∵（a+b+c）（）www.ks5u.com
=[（b+c）+（a+c）+（a+b）]·（）
≥×3·3=，故原不等式成立。
17、解（I）对函数求导，得 ，
先证充分性：若，，，
函数在区间上递增.
再说明非必要性:在区间上递增， ∴对1
所以，是函数在区间上递增的充分而不必要的条件。
（II） ，令，得
显然，时不符合题意.
当时，函数在（）上递增，在上递减，
若时，恒成立，需=6
，得.
当时，函数在（）上递增，在上递减，
此时，，如满足恒成立，
需得
故若时，满足恒成立，实数
18、解：求函数f′(x)的导数f′(x)=ax2－2bx+2－b
（1）由函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f’(x)=0的两个根。www.ks5u.com
所以f’(x)=a(x－x1)(x－x2)
当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0
（2）在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于即
化简得此不等式组表示的区域为平面aob上三条直线：2－b=0，a－3b+2=0，4a－5b+2=0，所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为：A. www.ks5u.com
在这三点的值依次为，所以z的取值范围为
19、解 类似的结论为：=··.
这个结论是正确的，证明如下：
如图，过R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，连OM2.
过R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，
则R1M1⊥平面P2OQ2.
由=·R1M1
=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1
=OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，
同理，=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.
所以=.
由平面几何知识可得=.
所以=.所以结论正确.
20、解析：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O－xy（如图），则点C的横坐标为x。www.ks5u.com
点C的纵坐标y满足方程+=1（y≥0），解得y=2（0＜x＜r）
S=·2=2（x+r）·，其定义域为{x|0＜x＜r}
（2）记f(x)=4(x+r) 2(r2－x2)，0＜x＜r，
则f’(x)=8(x+r)2(r－2x) www.ks5u.com
令f’(x)=0，得x=
因为当0＜x＜时，f’(x)＞0；www.ks5u.com
当＜x＜r时，f’(x)＜0，所以f()是f(x)的最大值
因此，当x=时，S也取得最大值，最大值为=
即梯形面积S的最大值为 www.ks5u.com
21、【解】 (1)
当时，
在上是增函数
………………6分
（2）（数学归纳法证明）
①当时，由已知成立；
②假设当时命题成立，即成立，
那么当时，由①得
，这就是说时命题成立.
由①、②知，命题对于都成立 …………9分
（3） 由
记得 ……10分
当时，故
所以 <0 得g(x)在是减函数，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 ∴>0,即>0
得>