江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2015-2016学年高一（上）第二次月考数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高一（上）第二次月考数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知全集U={1，2，3，6}，集合A={1，3}，则 UA=　　．
2．计算sin690°=　　．
3．.函数y=
的定义域是　　．
4．已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点（2，8），则f（3）=　　．
5．计算：lg20+log10025=　　．
6．不等式log3（x﹣2）＞1的解集是　　．
7．若函数f（x）=kx2+（k+1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是　　．
8．
=　　．
9．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为　　．
10．已知函数则f[f（1）]的值是　　．
11．用二分法求函数f（x）=lgx+2x﹣3的一个零点，其参考数据如表：
f（1）=﹣1
f（1.25）=﹣0.4031
f（1.375）=﹣0.1117
f（1.4375）=0.0326
f（1.5）=0.1761
f（2）=1.3010
若精确到0.1，则方程lgx+2x﹣3=0的一个近似解x≈　　．
12．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3]上为减函数，则实数a的取值范围为　　．
13．若函数则不等式的解集为　　．
14．已知f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f
15．已知函数f（x）=lgx的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，集合C=（﹣∞，a]．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若A∩C= ，求实数a的取值范围．
16．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=|x|；
（2）f（x）=（x+1）；
（3）f（x）=+．
17．已知α的终边经过点P（﹣4a，3a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值．
18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
19．某上市股票在30天内每股交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上，该股票在30填内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如表所示：
第t天
4
10
16
22
Q（万股）
36
30
24
18
（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；
（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
20．已知函数是奇函数（a∈R）．
（1）求实数a的值；
（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣（m+1）t）+f（t2﹣m﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
　
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高一（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知全集U={1，2，3，6}，集合A={1，3}，则 UA=　{2，6}　．
【考点】补集及其运算．
【分析】根据补集的定义求得 UA．
【解答】解：全集U={1，2，3，6}，集合A={1，3}，则 UA={2，6}．
故答案为：{2，6}．
　
2．计算sin690°=　﹣　．
【考点】诱导公式的作用．
【分析】根据所给的角度，首先把角度转化到0度左右，写出2×360°﹣30形式，利用诱导公式写成负39度的角的正弦，再利用诱导公式，得到结果．
【解答】解：sin690°=sin（2×360°﹣30）=sin（﹣30°）=﹣sin30°=﹣
故答案为：﹣
　
3．.函数y=
的定义域是　（，+∞）　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，由被开方数大于等于0和分母不等0，构造自变量x的不等式，解不等式可得函数的定义域．
【解答】解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足
3x﹣2＞0
即x＞
故函数y=
的定义域是（，+∞）
故答案为：（，+∞）
　
4．已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点（2，8），则f（3）=　27　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点（2，8），可求出α的值，然后将3代入解析式可求出f（3）的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点（2，8），
∴f（2）=2α=8=23，即a=3，
∴f（x）=x3，
∴f（3）=33=27，
故答案为：27．
　
5．计算：lg20+log10025=　2　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】由log10025==lg5，知lg20+log10025=lg20+lg5=lg100，由此能求出其结果．
【解答】解：lg20+log10025
=lg20+
=lg20+lg5
=lg100
=2．
故答案为：2．
　
6．不等式log3（x﹣2）＞1的解集是　（5，+∞）　．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】由对数函数的单调性转化为一次不等式求解．
【解答】解：由log3（x﹣2）＞1，得log3（x﹣2）＞log33，
即x﹣2＞3，得x＞5．
∴不等式log3（x﹣2）＞1的解集是（5，+∞）．
故答案为：（5，+∞）．
　
7．若函数f（x）=kx2+（k+1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是　[0，+∞）　．
【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．
【分析】令奇次项系数为0求出k的值，求出对称轴及开口方向，求出单调递减区间．
【解答】解：函数f（x）=kx2+（k+1）x+3是偶函数
所以k+1=0
解得k=﹣1
所以f（x）=﹣x2+3
此二次函数的对称轴为x=0，开口向下
所以f（x）的递减区间是[0，+∞）
故答案为[0，+∞）
　
8．
=　　．
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】本题考查的知识点是向量加法的几何意义，根据向量加法的三角形法则，两个向量相加，即“首尾相接”，据此逐步对进行运算，可得结果．
【解答】解：
=
=
==
故答案为：
　
9．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为　　．
【考点】任意角的概念．
【分析】任意角的三角函数的定义，求出cos（）的值和sin（）
的值，即得Q的坐标．
【解答】解：由题意可得Q的横坐标为
cos（）=，Q的纵坐标为
sin（）=﹣sin=，
故Q的坐标为，
故答案为：．
　
10．已知函数则f[f（1）]的值是　　．
【考点】函数的值．
【分析】由已知先求出f（1）=﹣1，f[f（1）]=f（﹣1），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（1）=1﹣2=﹣1，
f[f（1）]=f（﹣1）=2﹣1=．
故答案为：．
　
11．用二分法求函数f（x）=lgx+2x﹣3的一个零点，其参考数据如表：
f（1）=﹣1
f（1.25）=﹣0.4031
f（1.375）=﹣0.1117
f（1.4375）=0.0326
f（1.5）=0.1761
f（2）=1.3010
若精确到0.1，则方程lgx+2x﹣3=0的一个近似解x≈　1.4　．
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】由函数零点的判定定理即可判断出答案．
【解答】解：由表格可以看出：f（1.375）=﹣0.1117，f（1.4375）=0.0326．
∴f（1.375）f（1.4375）＜0．
∴方程lgx+2x﹣3=0的一个近似解（精确到0.1）为1.4．
故答案为：1.4．
　
12．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3]上为减函数，则实数a的取值范围为　（﹣∞，﹣2]　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=1﹣a为对称轴的抛物线，此时在对称轴左侧的区间为函数的递减区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口方向朝上，以x=1﹣a为对称轴的抛物线
若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3]上是减函数，
则1﹣a≥3，
解得a≤﹣2．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
　
13．若函数则不等式的解集为　[﹣3，1]　．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．
【解答】解：①由．
②由．
∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，
故答案为：[﹣3，1]．
　
14．已知f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=，求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），推出周期，计算一个周期的函数值，计算2011含有多少个周期，然后求解即可．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（1）=1+cos=1，
f（2）=1+cosπ=0，f（3）=1+cos=1，
f（4）=1+cos（2π）=2，
f（5）=1+cos（2π+）=1，
…
可以看出f（x）每4个单位以循环，即函数值呈周期性变化，周期为4．
并且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，
2011=502×4+3
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f+f（2）+f（3）=2008+2=2010．
故答案为：2010．
　
二、解答题：（15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分）
15．已知函数f（x）=lgx的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，集合C=（﹣∞，a]．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若A∩C= ，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的定义域确定出B，找出A与B的交集即可；
（Ⅱ）由A与C的交集为空集，确定出实数a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=lgx，得到x＞0，即A=（0，+∞），
由g（x）=，得到4﹣x≥0，
解得：x≤4，即B=（﹣∞，4]，
则A∩B=（0，4]；
（Ⅱ）∵A=（0，+∞），C=（﹣∞，a]，且A∩C= ，
∴实数a的范围为a≤0．
　
16．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=|x|；
（2）f（x）=（x+1）；
（3）f（x）=+．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】先求出三个函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，进而判断f（﹣x）与f（x）是相等还是相反，进而根据函数奇偶性的定义，可判断出三个函数的奇偶性．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=|x|的定义域为R，
且f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x），
∴f（x）为偶函数…
（2）要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：≥0，
解得：﹣1＜x≤1，
∴f（x）定义域（﹣1，1]不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数…
（3）要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：
解得x∈{3，﹣3}，定义域关于原点对称，
且f（x）=0
∴f（x）为既是奇函数又是偶函数…
　
17．已知α的终边经过点P（﹣4a，3a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．
【分析】依题意，可求得r=5|a|，对a分类讨论，利用任意角的三角函数的定义即可求得sinα，cosα，tanα的值．
【解答】解：∵α的终边经过点P（﹣4a，3a）（a≠0），
∴r==5|a|，
若a＞0，则r=5a，角α在第二象限，
sinα===，cos
α===﹣，
tan
α===﹣．
若a＜0，则r=﹣5a，角α在第四象限，
sin
α===﹣，cos
α===，
tan
α===﹣．
　
18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【分析】（1）由sinα+cosα=，得cosα=﹣sinα，由α是三角形的内角，得到，由此能求出tanα．
（2）由三角函数恒等式得=．再由tanα=﹣，能求出结果．
【解答】解　（1）∵sinα+cosα=，∴cosα=﹣sinα，
∵sin2α+cos2α=1，
∴25sin2α﹣5sin
α﹣12=0．
∵α是三角形的内角，∴，
∴tanα=﹣．
（2）=
=
=．
∵tanα=﹣，
∴==﹣．
　
19．某上市股票在30天内每股交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上，该股票在30填内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如表所示：
第t天
4
10
16
22
Q（万股）
36
30
24
18
（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；
（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【分析】（1）根据图象可知此函数为分段函数，在（0，20]和（20，30]两个区间利用待定系数法分别求出一次函数关系式联立可得P的解析式；
（2）因为Q与t成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出Q的解析式；
（3）根据股票日交易额=交易量×每股较易价格可知y=PQ，可得y的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可．
【解答】解：（1）P=
（2）设Q=at+b（a，b为常数），将（4，36）与（10，30）的坐标代入，
得．
日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q=40﹣t，0＜t≤30，t∈N
．
（3）由（1）（2）可得y=PQ
即y=
当0＜t＜20时，当t=15时，ymax=125；
当20≤t≤30时，当t=20时，ymax=120；
所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．
　
20．已知函数是奇函数（a∈R）．
（1）求实数a的值；
（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣（m+1）t）+f（t2﹣m﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据f（x）为奇函数，并且在原点有定义，从而f（0）=0，求出a=1；
（2）容易判断为增函数，根据增函数定义，设任意的x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性便可证明f（x1）＜f（x2），从而得出f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
（3）根据f（x）为奇函数，以及在R上单调递增便可根据不等式f（t2﹣（m+1）t）+f（t2﹣m﹣1）＞0恒成立得出不等式2t2﹣（m+1）t﹣（m+1）＞0对任意t∈R恒成立，从而得出判别式△=m2+10m+9＜0，解该不等式便可得出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数在原点有定义；
∴f（0）=a﹣1=0
∴a=1；
（2）在（﹣∞，+∞）上单调递增，证明如下：
设x1＜x2，则：
f（x1）﹣f（x2）==；
∵x1＜x2；
∴，；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数；
（3）由（1）、（2）知，f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，且是奇函数；
∵f（t2﹣（m+1）t）+f（t2﹣m﹣1）＞0；
∴f（t2﹣（m+1）t）＞﹣f（t2﹣m﹣1）=f（﹣t2+m+1）；
∴t2﹣（m+1）t＞﹣t2+m+1；
即2t2﹣（m+1）t﹣（m+1）＞0对任意t∈R恒成立；
只需△=（m+1）2+4 2（m+1）=m2+10m+9＜0；
解之得﹣9＜x＜﹣1；
∴实数m的取值范围为（﹣9，﹣1）．
　
2016年11月4日