上海理工大附中2015-2016学年高一（下）3月月考数学试卷（解析版）

2015-2016学年上海理工大附中高一（下）3月月考数学试卷
　
一、填空题：（每题4分）
1．地球赤道的半径为6370km，则赤道上1弧度角所对的圆弧长为　　．
2．函数y=的定义域为：　　．
3．已知f（x）=，则=　　．
4．和﹣终边相同的角为　　．
5．函数的值域是　　．
6．已知f（x）=|log3x|，若f（a）＞f（2），则a的取值范围是　　．
7．已知cosα=且﹣＜α＜0，则的值为　　．
8．设α是第二象限角，且，则是第　　象限角．
9．已知函数y=logax（a＞0且a≠1），当x∈[3，9]时，函数的最小值比最大值小1，则a=　　．
10．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值是　　．
11．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A坐标为　　．
12．函数y=log（﹣x2+6x﹣5）的单调递减区间为　　．
13．方程：log2（x2﹣3）=log2（6x﹣10）﹣1的解为　　．
14．方程（）x=|x2﹣4x+3|的解的个数为　　．
　
二、解答题：（8分+8分+8分+8分+12分）
15．解方程：log（9x﹣1﹣5）=log（3x﹣1﹣2）﹣2．
16．证明：
=cscα﹣secα．
17．已知tanα=3，求下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α+sinαcosα+3cos2α
18．函数f（x）=loga（ax﹣1）（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解方程f（2x）=f﹣1（x）．
19．已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．
　
2015-2016学年上海理工大附中高一（下）3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：（每题4分）
1．地球赤道的半径为6370km，则赤道上1弧度角所对的圆弧长为　6370km　．
【考点】弧长公式．
【分析】直接利用弧长公式得答案．
【解答】解：由题意，R=6370，α=1rad，
由弧长公式可得，赤道上1弧度角所对的圆弧长为Rα=6370×1=6370（km）．
故答案为：6370km．
　
2．函数y=的定义域为：　[1，+∞）　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，且对数的真数大于0，列出不等式求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=，
∴lg（2x﹣1）≥0，
即2x﹣1≥1，
解得x≥1，
∴函数y的定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
　
3．已知f（x）=，则=　﹣1　．
【考点】反函数．
【分析】欲求则，根据互为反函数的两个函数之间的关系知，只要求出使得f（x）=，成立的x的值即可．
【解答】解：设f（x）=，
即
得：x=﹣1，
则=﹣1，
故答案为：﹣1．
　
4．和﹣终边相同的角为　　．
【考点】终边相同的角．
【分析】直接写出与﹣终边相同的角得答案．
【解答】解：与﹣终边相同的角为：．
故答案为：．
　
5．函数的值域是　{﹣1，3}　．
【考点】三角函数值的符号；函数的值域．
【分析】本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，
当角x在第一象限时，y=1+1+1=3，
当角在第二象限时，y=1﹣1﹣1=﹣1，
当角在第三象限时，y=﹣1﹣1+1=﹣1，
当角在第四象限时，y=﹣1+1﹣1=﹣1．
故答案为：{﹣1，3}
　
6．已知f（x）=|log3x|，若f（a）＞f（2），则a的取值范围是　　．
【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由已知中函数f（x）=|log3x|，我们可以判断出函数的单调性，进而根据对数的性质，解不等式f（a）＞f（2），得到a的取值范围即可得到答案．
【解答】解：∵f（x）=|log3x|，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
若f（a）＞f（2），则0＜a＜，或a＞2，
∴满足条件的a的取值范围为
故答案为：
　
7．已知cosα=且﹣＜α＜0，则的值为　﹣　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数关系，求出sinα=﹣，利用诱导公式化简，再代入计算，可得结论．
【解答】解：∵cosα=且﹣＜α＜0，
∴sinα=﹣，
∴===﹣．
故答案为﹣．
　
8．设α是第二象限角，且，则是第　三　象限角．
【考点】三角函数值的符号．
【分析】由α的范围判断的范围，再由进一步确定所在的象限．
【解答】解：∵α是第二象限角，∴是第一或三象限角，
∵，∴，即是第三象限角．
故答案为：三．
　
9．已知函数y=logax（a＞0且a≠1），当x∈[3，9]时，函数的最小值比最大值小1，则a=　3或　．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用对数函数的图象和性质可知，对数函数的单调性与底数a有关，分类讨论即可解决问题．
【解答】解：当a＞1时，函数y=logax（a＞0且a≠1）是增函数，f（3）是最小值，
即f（3）=loga3，f（9）是最大值，即f（9）=loga9．
由题意，最小值比最大值小1，
∴
解得：a=3
当1＞a＞0时，函数y=logax（a＞0且a≠1）是减函数，
f（9）是最小值，即f（3）=loga9，f（3）是最大值，即f（3）=loga3．
由题意，最小值比最大值小1，
∴
解得：a=
故填：3或．
　
10．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值是　﹣　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】求出（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=，再判断cosα＜sinα，得出答案．
【解答】解：∵sinαcosα=，
∴（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα
=，
∵＜α＜，
∴cosα＜sinα，
∴cosα﹣sinα=﹣．
　
11．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A坐标为　（﹣2，﹣1）　．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由题意令x+3=1，解得x=﹣2，再代入函数解析式求出y的值为﹣1，故所求的定点是（﹣2，﹣1）．
【解答】解：令x+3=1，解得x=﹣2，
则当x=﹣2时，函数y=loga（x+3）﹣1=﹣1，
即函数图象恒过一个定点（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）
　
12．函数y=log（﹣x2+6x﹣5）的单调递减区间为　（﹣1，3]　．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2+6x﹣5＞0，解得x∈（1，5），
设t=﹣x2+6x﹣5，则函数在（﹣1，3]上单调递增，在[3，5）上单调递减．
因为函数logt在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是（﹣1，3]．
故答案为：（﹣1，3]．
　
13．方程：log2（x2﹣3）=log2（6x﹣10）﹣1的解为　2　．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用对数函数的基本运算法则直接求解，但要注意：对数的真数要大于0．
【解答】解：由log2（x2﹣3）=log2（6x﹣10）﹣1
log2（x2﹣3）﹣log2（6x﹣10）=﹣1

∴x2﹣3=3x﹣5
解得：x=1或x=2
∵x2﹣3＞0，6x﹣10＞0
∴x=2
故答案为：2．
　
14．方程（）x=|x2﹣4x+3|的解的个数为　5　．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】做出y=（）x和y=|x2﹣4x+3|的函数图象，根据函数图象的交点个数判断．
【解答】解：作出y=（）x和y=|x2﹣4x+3|的函数图象如图所示：
∴y=（）x和y=|x2﹣4x+3|的函数图象在（0，+∞）上有4个交点，
在（﹣∞，0）上有1个交点，
∴方程（）x=|x2﹣4x+3|有5个解．
故答案为：5．
　
二、解答题：（8分+8分+8分+8分+12分）
15．解方程：log（9x﹣1﹣5）=log（3x﹣1﹣2）﹣2．
【考点】对数的运算性质．
【分析】先根据对数的运算性质化简，再设3x﹣1=t，利用换元法即可求出方程的解．
【解答】解：log（9x﹣1﹣5）=log（3x﹣1﹣2）﹣2=log（3x﹣1﹣2）﹣log=log4（3x﹣1﹣2），
∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），
设3x﹣1=t，
则t2﹣4t+3=0，
解得t=1或t=3，
即3x﹣1=1，由于3x﹣1=t＞，故舍去，
或3x﹣1=3，
解x=2
　
16．证明：
=cscα﹣secα．
【考点】三角函数恒等式的证明．
【分析】已知等式左右两边利用同角三角函数间基本关系化简，即可得证．
【解答】证明：左边===，
右边=﹣=，
左边=右边，
所以=cscα﹣secα．
　
17．已知tanα=3，求下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α+sinαcosα+3cos2α
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值；
（2）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵tanα=3，
∴原式===；
（2）∵tanα=3，
∴原式====．
　
18．函数f（x）=loga（ax﹣1）（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解方程f（2x）=f﹣1（x）．
【考点】对数函数的图象与性质；反函数．
【分析】（1）对数函数的真数大于0，根据a的范围解不等式即可．
（2）利用复合函数的单调性证明即可得答案．
（3）求出反函数f﹣1（x），在求解方程．
【解答】解：（1）由题意：ax﹣1＞0，故而：ax＞a0，
∵0＜a＜1，
∴x＜0
故f（x）的定义域为（﹣∞，0）；
（2）由（1）可知定义域为（﹣∞，0），∵0＜a＜1，
∴f（x）=logau是减函数．
令u=ax﹣1，0＜a＜1，
可知u=ax﹣1在区间（﹣∞，0）也是减函数，
由复合函数的单调性可得：
f（x）=loga（ax﹣1）在区间（﹣∞，0）是增函数，
（3）由题意：f﹣1（x）=loga（ax+1）
那么：f（2x）=f﹣1（x），即loga（a2x﹣1）=loga（ax+1）
可得：a2x﹣1=ax+1
化简：（ax）2﹣ax﹣2=0
因式分解：（ax+1）（ax﹣2）=0
解得：ax=2，ax=﹣1（舍去）
故而方程的解为x=loga2．
　
19．已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．
【考点】指数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；
（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；
（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；
（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．
【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，
∴，
经验证，f（x）
为奇函数，∴a=1．
（2）减函数
证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，
f（x2）﹣f（x1）=﹣=，
∵x1＜x2
∴0＜＜；
∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＜0
∴该函数在定义域R
上是减函数．
（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），
∵f（x）
是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），
由（2）知，f（x）
是减函数
∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0
对任意t∈R
恒成立，
∴△=4+12k＜0，得即为所求．
（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0
由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1
有解
∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）
时函数存在零点．
　
2016年11月4日