江苏省淮安市涟水一中2016届高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省淮安市涟水一中高三（上）12月月考数学试卷
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≤2}，那么A∪B=　　．
2．设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则z1 z2=　　．
3．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为　　．
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为　　．
5．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为　　．
6．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．
7．已知等差数列{an}的公差不为零，a1+a2+a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为　　．
8．已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为　　．
9．若函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，则函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值　　．
10．关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=12，则实数a的值等于　　．
11．若函数f（x）=x3+ax2+bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y=3x﹣4，则b的值为　　．
12．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，
=2，设∥，若=+λ（λ∈R），则λ的值为　　．
13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为　　．
14．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知△ABC的面积为S，且．
（1）求tan2A的值；
（2）若，，求△ABC的面积S．
16．如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥BE，点M，N分别是AE，CD的中点．
（1）求证：MN∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面ADE．
17．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：AP⊥OM；
（3）试问 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19．已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0），数列{bn}满足bn=anan+1（n∈N
）
（Ⅰ）若{an}是等差数列，且b3=12，求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）若{an}是等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅲ）若{bn}是公比为a﹣1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
20．已知函数，其中m∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f′（x1）﹣f′（x2）|≤4，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）的零点个数．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．
　
[选修4-2：矩阵与变换]
22．（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．
25．甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
（1）求甲同学至少有4次投中的概率；
（2）求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．
26．已知，其中n∈N
．
（1）若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成（s∈N
）的形式．
　
2015-2016学年江苏省淮安市涟水一中高三（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≤2}，那么A∪B=　R　．
【考点】并集及其运算．
【分析】直接利用并集运算得答案．
【解答】解：由A={x|x＞﹣1}，B={x|x≤2}，
得A∪B={x|x＞﹣1}∪{x|x≤2}=R．
故答案为：R．
　
2．设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则z1 z2=　﹣5　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，
∴z2=﹣2+i．
∴z1 z2=﹣（2+i）（2﹣i）=﹣5．
故答案为：﹣5．
　
3．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为　13　．
【考点】伪代码．
【分析】这是一个“当型循环”，第一次运行时，i=1+2=3，S=2×3+3=9，第二次运行时，由i=3＜5，得i=3+2=5，S=2×5+3=13．此时，i=5，输出S的值．
【解答】解：由伪代码，知：
这是一个“当型循环”，将1赋给i，则i＜5成立，
从而将i+2即为3赋给i，S=2×3+3=9；
再判断i=3＜5成立，从而将i+2即为5赋给i，S=2×5+3=13；
再判断i＜5不成立，从而输出的S值应为：13．
故答案为：13．
　
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．
【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，
则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）
（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，
则事件A包括：
（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，
即P（A）=，
故答案为：．
　
5．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为　76　．
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号成等差数列，公差为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号，从而得出结论．
【解答】解：根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号成等差数列，公差为16，
再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号为：12，28，44，60，76，
故该样本中产品的最大编号为
76，
故答案为：76．
　
6．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．
【考点】三角方程；函数的零点．
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，
∴=．
∵0≤φ＜π，∴，
∴+φ=，
解得φ=．
故答案为：．
　
7．已知等差数列{an}的公差不为零，a1+a2+a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为　（1，+∞）　．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意a1，a2，a5成等比数列可得（a2）2=a1a5，利用等差数列的通项公式化简后得到d=0或d=2a1，又根据a1+a2+a5＞13，再利用等差数列的通项公式化简后，将d=2a1代入即可求出a1的取值范围．
【解答】解：因为a1，a2，a5成等比数列得到（a2）2=a1a5，
即（a1+d）2=a1（a1+4d），化简得d（d﹣2a1）=0，解得d=0（舍去），d=2a1
又因为a1+a2+a5＞13，所以3a1+5d＞13，
把d=2a1代入解得a1＞1，
故答案为：（1，+∞）．
　
8．已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】首先，根据直角三角形的性质，得到AD⊥平面BCD，然后，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解答】解：∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=C，
∴AD⊥平面BCD，
∵△BCD是正三角形，且边长为2，
∴S=×2×=
∴三棱锥C﹣ABD的体积
V=×AD×S△BCD
=×2×
=
∴三棱锥c﹣ABD的体积为：．
故答案为：．
　
9．若函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，则函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值　1　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先对原函数求导数，然后再将F（x）表示出来，利用三角变换化成一个角、一种三角函数、一次的形式，再利用正弦函数的性质求最大值．
【解答】解：由已知得f′（x）=cosx﹣sinx，所以F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）
=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）+（sinx+cosx）2．
=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx+1
=cos2x+sin2x+1
=．
因为，
所以F（x）的最大值为1．
故答案为1+．
　
10．关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=12，则实数a的值等于　﹣3　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．
【解答】解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
所以x1+x2=2a，x1 x2=﹣3a2，
又x2﹣x1=12
因为（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1 x2，
所以144=4a2+12a2=16a2，
解得a=±3，
因为a＜0，所以a=﹣3
故答案为：﹣3
　
11．若函数f（x）=x3+ax2+bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y=3x﹣4，则b的值为　﹣3　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质．
【分析】利用f（x）=x3+ax2+bx为奇函数，可得a=0，求导数，利用图象的一条切线方程为y=3x﹣4，建立方程，即可求出b的值．
【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣x3+ax2﹣bx=﹣（x3+ax2+bx），
∴a=0，
∴f（x）=x3+bx，
∴f′（x）=3x2+b
设切点为（m，n），则
∵图象的一条切线方程为y=3x﹣4，
∴3m2+b=3，n=3m﹣4
∵n=m3+bm，
∴m=，n=﹣，b=﹣3．
故答案为：﹣3．
　
12．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，
=2，设∥，若=+λ（λ∈R），则λ的值为　　．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】先求出=（+），利用∥，因此设=k=（+），可得=+= +（+1） ，结合=+λ（λ∈R），即可得出结论．
【解答】解：由已知得G是三角形的重心，因此=（+），
由于∥，因此设=k=（+），
那么可得=+= +（+1） ，
∵=+λ（λ∈R），
∴k=，∴λ=1+=．
故答案为：．
　
13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为　　．
【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．
【分析】求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．
【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1，
圆心到直线的距离d=，半弦长为：
=，
∴△CPQ的面积S===，
当a2=时10a2﹣4a4取得最大值，最大值为：，
∴△CPQ的面积S的最大值为：
=．
此时a=
故答案为：．
　
14．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=　　．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】利用斜率公式，表示出，，利用离心率化简椭圆方程，再根据和差的余弦公式，即可求得结论．
【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，
∴=
∵椭圆的离心率，
∴
∴a2=4b2
∴
∴
∴=﹣
∴
∴====
故答案为：
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知△ABC的面积为S，且．
（1）求tan2A的值；
（2）若，，求△ABC的面积S．
【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．
【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；
（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．
【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
∵，∴，…
∴，∴tanA=2．…
∴．…
（2），即，…
∵tanA=2，∴…，
∴，
解得．…
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…
由正弦定理知：，可推得…
∴．…
　
16．如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥BE，点M，N分别是AE，CD的中点．
（1）求证：MN∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取BE中点F，连接CF，MF．欲证明MN∥平面BCE，只需推知MN∥CF，所以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质得到：平行四边形MNCF的对边平行﹣MN∥CF；
（2）根据“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”证得结论．
【解答】证明：（1）取BE中点F，连接CF，MF，
又∵M是AE中点，
∴，
又∵N是矩形ABCD边CD中点，
∴MF∥NC，MF=NC，
∴四边形MNCF是平行四边形，
∴MN∥CF，
又∵MN 平面BCE，CF 面BCE，
∴MN∥平面BCE；
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE 平面ABE，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，而AE 平面ADE，
∴平面BCE⊥平面ADE．
　
17．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）作AN⊥CD于N，问题转化为求△ACD边CD上的高．设AN=x，只要建立起关于x的方程，则问题可解．
（2）利用（1）设出BP为t，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB的正切值，利用基本不等式求解表达式的最小值，推出BP是值即可．
【解答】解：（1）如图作AN⊥CD于N．
∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，NC=9．
设AN=x，∠DAN=θ，
∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°﹣θ．
在Rt△ANC和Rt△AND中，
∵tanθ=，tan（45°﹣θ）=
∴=tan（45°﹣θ）=
∴=，化简整理得x2﹣15x﹣54=0，
解得x1=18，x2=﹣3（舍去）．
BC的长度是18
m．
（2）设BP=t，所以PC=18﹣t，
tanα=，tanβ=，
所以tan（α+β）=
=
=﹣
=﹣
≥
当且仅当t+27=，即t=时，α+β最小．
P在距离B时，α+β最小．
　
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：AP⊥OM；
（3）试问 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）椭圆的离心率为，且经过点（1，），可得，解得a，c，b，即可得出椭圆C的方程；
（2）设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x﹣2），设P（x1，y2），与椭圆方程联立可得（2k2+1）x2﹣4k2x+8k2﹣4=0，解得x1，x2．可得P坐标，由y=k（x﹣2），令x=﹣2，解得M（﹣2，﹣4k），只要证明=0，即可得出．
（3）利用数量积运算即可得出是否为定值．
【解答】（1）解：∵椭圆的离心率为，且经过点（1，），
∴，解得a=2，c==b，
∴椭圆C的方程为；
（2）证明：设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x﹣2），设P（x1，y2），
联立，化为（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣4=0，
解得x1=，x2=2．
∴y1=k（x1﹣2）=，
∴P，
由y=k（x﹣2），令x=﹣2，解得y=﹣4k，
∴M（﹣2，﹣4k），=（﹣2，﹣4k），
又=．
∴==0，
∴．
即AP⊥OM．
（3）===4．
∴=4为定值．
　
19．已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0），数列{bn}满足bn=anan+1（n∈N
）
（Ⅰ）若{an}是等差数列，且b3=12，求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）若{an}是等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅲ）若{bn}是公比为a﹣1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）在bn表达式中取n=3，结合等差数列的通项公式解出公差d，从而得出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式求出数列{an}的通项公式，再代入bn=anan+1
，得出数列{bn}的通项公式，最后用等比数列求和公式算出结果；
（Ⅲ）先假设命题正确，再利用数列{an}的前3项得出矛盾，从而说明，数列{an}不能为等比数列．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列a1=1，a2=a，bn=anan+1，b3=12
∴b3=a3a4=（a1+2d）（（a1+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=
又因a=a1+d=1+d＞0得d＞﹣1
∴d=1
∴an=n
（Ⅱ）{an}是等比数列，首项a1=1，a2=a，故公比，
所以an=an﹣1，代入{bn}的表达式得
bn=anan+1=a2n﹣1，可得
∴数列{bn}是以a为首项，公比为
a2的等比数列
故Sn=
（Ⅲ）{an}不能为等比数列，理由如下：
∵bn=anan+1，{bn}是公比为a﹣1的等比数列
∴
∴n=1时，有=a3=a﹣1
假设{an}为等比数列，由a1=1，a2=a得a3=a2，所以a2=a﹣1
因此此方程无解，所以数列一定不能等比数列．
　
20．已知函数，其中m∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f′（x1）﹣f′（x2）|≤4，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）的零点个数．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导数f （x），解不等式f （x）≥0，f （x）≤0即得函数的单调区间；
（2）“对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f′（x1）﹣f′（x2）|≤4”等价于“函数y=f （x），x∈[﹣1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”，根据二次函数的性质，对m进行分类讨论即可求得f′（x）的最大值、最小值；
（3）易判断y=f（x）既有极大值也有极小值，设f （x0）=0，即x02﹣2mx0﹣1=0，由此对f
（x0）化简得f
（x0）=﹣x0（m2+1），由（1）得到f（x）的极大值、极小值，根据极值的符号借助图象可判断函数f（x）零点的个数；
【解答】解：（1）f （x）=x2﹣2mx﹣1，
由f （x）≥0，得x≤m﹣，或x≥m+；
故函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，m﹣），（m+，+∞），减区间（m﹣，m+）．
（2）“对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f′（x1）﹣f′（x2）|≤4”等价于“函数y=f （x），x∈[﹣1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”．
对于f （x）=x2﹣2mx﹣1，对称轴x=m．
①当m＜﹣1时，f （x）的最大值为f （1），最小值为f （﹣1），由
f （1）﹣f （﹣1）≤4，即﹣4m≤4，解得m≥﹣1，舍去；
②当﹣1≤m≤1时，f （x）的最大值为f （1）或f （﹣1），最小值为f （m），由，即，解得﹣1≤m≤1；
③当m＞1时，f （x）的最大值为f （﹣1），最小值为f （1），由
f （﹣1）﹣f （1）≤4，即4m≤4，解得m≤1，舍去；
综上，实数m的取值范围是[﹣1，1]．
（3）由f （x）=0，得x2﹣2mx﹣1=0，
因为△=4m2+4＞0，所以y=f（x）既有极大值也有极小值．
设f （x0）=0，即x02﹣2mx0﹣1=0，
则f
（x0）=x03﹣mx02﹣x0+m=﹣mx02﹣x0+m=﹣x0（m2+1），
由（1）知：极大值f（m﹣）=﹣（m﹣）（m2+1）＞0，
极小值f（m+）=﹣（m+）（m2+1）＜0，
故函数f（x）有三个零点．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】利用平行线的性质、相似三角形的判定定理即可得出．
【解答】证明：∵EF∥CB，
∴∠BCD=∠FED，
又∠BAD与∠BCD是所对应的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD
∴∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，
∴△DEF∽△EAF．
　
[选修4-2：矩阵与变换]
22．（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
【考点】特征值与特征向量的计算．
【分析】根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=﹣1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．
【解答】解：矩阵M的特征多项式为=（λ﹣1）（λ﹣x）﹣4…
因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…
由（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=0得λ2=﹣1，…
设λ2=﹣1对应的一个特征向量为，
则得x=﹣y…
令x=1则y=﹣1，
所以矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为…
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
【考点】简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．
【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化成直角坐标方程，再消去参数t将直线l的参数方程化成普通方程，最后利用设点M的坐标的参数形式，结合点到直线的距离公式求解即得．
【解答】解：曲线C的普通方程是．
直线l的普通方程是．
设点M的坐标是的距离是．
，
d取得最大值．
．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．
【考点】一般形式的柯西不等式．
【分析】利用柯西不等式，即可证明结论．
【解答】证明：因a＞b＞c＞d，故a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣d＞0．
故，…6分
所以，．…10分．
　
25．甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
（1）求甲同学至少有4次投中的概率；
（2）求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
【分析】（1）甲同学至少有4次投中的概率P=P（x=4）+P（x=5）；
（2）由题意知x=1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解答】解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，则
P=P（x=4）+P（x=5）==．
…
（2）由题意ξ=1，2，3，4，5．
P（ξ=1）=，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=×=，P（ξ=4）=××=，P（ξ=5）==．
ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
…
ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．
…
　
26．已知，其中n∈N
．
（1）若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成（s∈N
）的形式．
【考点】二项式定理．
【分析】（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3的项，再根据展开式中含x3项的系数为14，求n的值．
（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若
=，a、b∈N
，则=．再由
（）（）=1，令
a=s，s∈N
，则必有
b=s﹣1，从而证得结论．
【解答】解：（1）由二项式定理可知，二项展开式的通项公式为
Tr+1= 2n﹣r ，
令
=3，解得r=6，展开式中含x3项的系数为 2n﹣6=14，解得
n=7．
（2）当x=3时，f（x）== 2n ++
+…+．
设=x+y=+，由于
=，a、b∈N
，
则=．
…
∵（）（）= =1，
∴令
a=s，s∈N
，则必有
b=s﹣1，…
∴必可表示成
的形式，其中
s∈N
．
…
　
2016年11月4日