七年级数学下册人教版 第十章《二元一次方程组》单元测试卷（含答案）

第十章《二元一次方程组》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程，用含的式子表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
5．若点满足方程组，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若，是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
7．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ．
12．若，则的立方根为 ．
13．如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ．
14．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ．
15．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ．
16．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解方程组：
(1)； (2)
18．如图，，且和的度数满足方程组.

(1)求和的度数；
(2)求证：.
19．已知是关于、的二元一次方程组．
(1)①当时，该方程组的解为_____；
②该方程组的解为_______（用含的式子表示）．
(2)若方程组的解也满足方程，求的值．
20．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少？
(2)图（）正方形的边长是多少？
21．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，，
(1)当，时，，，求，的值；
(2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值．
22．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．
(1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关．则m的值应为多少？
23．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标．
24．随着交通安全意识的增强，甘州区居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
(1)求A，B两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？
(3)销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？
25．规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组．
【初步探究】
（1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值；
【深入探究】
（2）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
的解为_____：的解为_____：
【延伸发现】
（3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、中方程只含一个未知数，则不是二元一次方程；
B、中方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，则不是二元一次方程；
C、中方程含有分式，不是整式方程，则不是二元一次方程；
D、中方程含有两个未知数且次数均为1，是整式方程，则是二元一次方程；
故选：D．
2．D
解：∵
∴
∴
∴
故选：D．
3．A
解：∵方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组；
方程组中，第一个方程不是整式方程，未知数次数不为1，不是二元一次方程组；
方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组；
方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组；
方程组中，第一个方程为二次方程，不是一次方程，不是二元一次方程组；
∴二元一次方程组有2个．
故选：A．
4．C
解：、，系数为，不能消去，不符合题意；
、，系数为，不能消去，不符合题意；
、，系数为，能消去，符合题意；
、，系数为，不能消去，不符合题意；
故选：．
5．A
解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴方程组的解为，
∴点的坐标为，
故点在第一象限；
故选：A．
6．A
解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
7．C
解：设共有x人，y辆车，
由题意得：，
故选：C．
8．A
解：由题意得：是方程的解，是方程的解，
∴，
解得：，
∴一元一次方程可化为，
解得：．
故选：A．
9．C
解：设，
∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组，
∵方程组的解是，
∴方程组的解是，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
解：①.当时，关于，的方程组为，
解得，
，
当时，，
当时，方程组的解也是的解，正确；
②.，
得，，
解得，
把代入得，，
，
无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确；
③.由②得，
原方程组的非负整数解是，，，，共4对，错误；
④.得，，
，
，
解得，正确；
正确的有①②④，
故选：C．
二、填空题
11．
解：由二元一次方程的定义，得，，
解得或，且．
综上所述，．
故答案为：．
12．
解：因为且，且它们的和为零，
所以且，即和．
解方程组：，得，
所以，
∵，
∴的立方根为．
故答案为：．
13．
解：∵二元一次方程的解互为相反数，
∴，
得，
即，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．
解：由题意，得，解方程组得．
∴，
∴，
故答案为：17．
15．0
解：由题意得：，
．
故答案为：0．
16．16
解：根据题意，得，
解得，
∵，，
∴
，
故答案为：16．
三、解答题
17．（1）解：，
将①代入②可得，解得：，
将代入①可得，
故方程组的解为：．
（2）解：，
整理①得：③，
得：，解得：，
把代入②得，，
∴方程组的解为．
18．（1）解：由题意知，，
由②式得：，
将③式代入①式得：，
解得：，
∴．
（2）证明：由（1）知，，
∴，
又∵，
∴．
19．（1）解：①当时，该方程组为，
由可得：，
解得，
将代入②可得，
解得，
∴当时，该方程组的解为；
②，
由可得：，
解得，
将代入②可得，
∴，
∴原方程组的解为；
（2）解：∵方程组的解也满足方程，
∴，
解得．
20．（1）解：设每个长方形的长为，宽为，
由题意得，，
解得，
答：每个小长方形的长为，宽为；
（2）解：∵，
∴图（）正方形的边长为．
21．（1）解：由题意可得方程组，
得，
解得，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由题意可得方程组
可得，
，
，
，
，
，
，
∴，
的值为．
22.（1）解：设甲型号微波炉每台进价为元，乙型号微波炉每台进价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元；
（2）解：设全部售出购进的微波炉所获得的利润为元，
则
，
由题意得，与a无关，
∴，
解得，
∴m的值应为100．
23．（1）解：由题意知，，或，
而，
∴点的“倾斜系数”k的值为3；
（2）解：①或，理由如下：
∵点的“倾斜系数”，
∴或，
即或，
∴a和b的数量关系为：或；
②由①知，或，
∵，
∴或，
∴或，
∴或．
24．（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
即A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元；
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个；
（3）解：①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
25．（1）解方程组为共轭二元一次方程组，
，
解得；
（2）对于方程组，
方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得；
把代入，得，解得；
的解为；
对于方程组，
将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得；
把代入，得，解得；
的解为；
（3）共轭二元方程组的解是，
，
，
，
，
，
．