第19章 二次根式 单元复习卷（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第19章《二次根式》单元复习卷
一、选择题
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是整数，且有意义，则的值是（ ）
A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或
3．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．已知为整数，且满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
9．下列变形错误的有（ ）
．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．对于正整数，定义，例如：．则的值为()
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数 的自变量x的取值范围是 ．
12．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ．
13．若，则化简 ．
14．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）．
15．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ．
16．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ．
17．若，则______．
18．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ．
三、解答题
19．计算：
(1) (2)．
20．已知：，，且，求的值．
21．计算：
(1)； (2)．
22．观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
，验证：；
(1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明．
23．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：
设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，
∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：
______，______；
(2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值；
(3)①填空：______；
②化简：．
24．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）．
(2)猜想和之间的大小，并说明理由．
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：
，，，．
(3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程．
参考答案
一、选择题
1．A
解：、，是最简二次根式，符合题意；
、不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
2．C
解：∵ 和有意义，
∴ 且 ，
即 ．
又∵ 是整数，
∴ 可取1，2，3．
当时，；
当时，；
当时，．
∴ 的值为或2，
故选：C．
3．B
解：∵
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
4．C
解：∵，且最简二次根式与可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．D
解：∵m，n，k为连续整数，且，
∴，（）．
∴，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵为整数，
∴的最大值为；
故选：C
7．C
解：∵， ，，
∴原方程化为，
∴，
两边平方得，
∴
故选：C．
8．D
解：中间正方形纸片的面积为，
中间正方形的边长为，
最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．
故选：D．
9．C
解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误；
②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误；
③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误；
④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确；
综上，错误的变形有3个，
故选：C．
10．B
解：∵
∴
，
故选：B．
二、填空题
11．且
解：∵，
解得：，
∵，
解得：，
故自变量的取值范围是且.
12．
解：由三角形三边关系，得，即，
∴
，
．
故答案为．
13．
，
，
故答案为：．
14．②⑤
解：=，被开方数为；
①=，被开方数为，可合并；
②=，被开方数为，不可合并；
③==，被开方数为，可合并；
④，被开方数为，可合并；
⑤=，被开方数为，不可合并．
故答案为：②⑤．
15．
解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2．
设（k为正整数），则．
由，得，，为正整数，
故，，．
当时，；
时，
时，．
综上所述：的最小值为．
故答案为：．
16．
【详解】解：如图，
∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角，
∴线段线段，
∴，
由图可知，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．15
解：，
所以，两边平方，得，
则，即，
∴，
∴，
，
∴：
，
故答案为：15．
18．（）
解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为，
验证：左边，
右边，
左右相等，故规律成立，
因此，用含自然数的等式表示为（）．
故答案为：（）．
三、解答题
19．
（1）解：
；
（2）
.
20．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
21．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．
（1）解：，验证如下：
；
（2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）．
证明：．
23．
（1）解：，
∴，；
（2）解：，
∴，，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴当时，，
此时，；
当时，；
此时，；
∴或；
（3）解：①；
②
．
24．
（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴
∵，，
∴；
（2）∵，，
∴， ，
∵
∴，
即：，
∵，，
∴；
（3）∵，
，
又∵，
∴，
∴．