福建省宁德市2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（扫描版，含答案）

宁德市 2025-2026 学年度第一学期期末高二质量检测
数学参考答案及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度
决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C D A C B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9 10 11
ABD ACD ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 20 13. 3 14. 11
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.
15.解：（1）当 n = 7 时， (1+ x) 7= a0 + a
2
1x + a2x + ...+ a
7
7x ，…………………………….1 分
令 x =1，则 (1+1) 7= a + a + a + ...+ a = 270 1 2 7 =128 ，…………………………………….2 分
令 x = 0 ，则 (1+ 0)7 = a0 =1……………………………………………..…………………….3 分
所以 a1 + a2 + ...+ a7 =128 1=127 ……………………………………..……………………..5 分
（2） (1+ x)n的展开式的通项为T r r rr+1 =Cn x ，系数 ar =Cn …………..……………………..6 分
（给出通项公式或写出系数都得分）
由 a1,a2 ,a3 依次成等差数列，得 2a2 = a + a
2 1 3
1 3 ，即 2Cn =Cn +Cn ……..…………………….7 分
n(n 1) n(n 1)(n 2)
代入组合数公式化简，得 2 = n + ……..…………………………..8 分
2 6
（未列式不扣分）
整理得 n2 9n +14 = 0 ……..…………………………………………………...…………..10 分
n = 2或 n = 7 ……..…………………………………………………………...………..……..11 分
又 n 4,n N *
所以 n = 7 ……..……………………………………….…………………………......………..12 分
3 ……………………………..…………….…………………………….....……..13 a 分3 =C7 = 35
y = x +1
16. 解法一；将 l : y = x +1与圆 C 的方程联立，
x2 + y
2 mx my +1= 0
化简得： 2x2 + (2 2m)x + (2 m) = 0 ………………………………………………………..2 分
参考答案 第1页
= (2 2m)2 8(2 m) = 4(m2 3)
由 0解得m 3 或m 3 .……………………………………………………………3 分
设直线与圆两交点分别为M (x1, y1),N (x2 , y2 )，
2 m
由韦达定理得， x1 + x2 = m 1 , x1x2 = ，………..……………………………….……5 分
2
2 2 2MN = 1+ k x x = 1+ k 21 2 (x1 + x2 ) 4x1x2 = 2 (m 1) 2(2 m) = 2 m
2 3 = 2
………..…………………………………………....……7 分
解得m = 2或m = 2 .………….....……………………………………………………………8 分
（2）OM ON = x x + y y ，…………………………………………………………………9 分 1 2 1 2
其中 y1y2 = (x1 +1)(x2 +1) = x1x2 + x1 + x2 +1，
即OM ON = 2x1x2 + x + x +1…………………………………………………..…………12 分 1 2
2 m
代入韦达定理结果：OM ON = 2 +m 1+1= 2 .
2
所以OM ON的值 2. ……………………………………………………………….…...……15 分
解法二：
m m m2
（1）圆 x2 + y2 mx my +1= 0的标准方程为 (x )2 + (y )2 = 1，
2 2 2
m m m2
则圆心为C( , ) ，半径 r = 1且m2 2 .……………………………..………….…3 分
2 2 2
（m2 2未写不扣分）
直线 l : y = x +1即 x y +1= 0，
m m
+1
则圆心C到直线 l的距离 2 2 2d = = ………………………………………..……5 分
12 + ( 1)2 2
根据垂径定理可得： MN = 2 r2 d 2 = 2
2
m2 2
即 2 = 2 1
…………………………………………………………..…………7 分
2 2
所以m = 2或m = 2 ……………………………………………………………………………8 分
（2）设点 P为MN 的中点，由向量的坐标运算可得
1 1 2 1 2
OM ON = (PM PO) (PN PO) = MN PO MN PO = PO MN ，
2 2 4
……………………………………………………………………………………………….…9 分
MN = 2 r2 d 2
2
2
m2 2
MN = 4 1 = 2(m2 3 )，…………………………………………………11 分 2

2
2
2 m2 22 2 2 m +1
OP = CP + CO = + = ，……………………………………………13 分
2

2 2
参考答案 第2页
m2 +1 1
所以OM ON = 2(m2 3) = 2 .……………………………………......…………15 分
2 4
17.解：（1）设一轮比赛中，A=“甲投中”，B=“乙投中”，C=“‘闪电队’至少投中 1
次”．由于两人投篮的结果互不影响，所以 A与 B相互独立．由已知可得，
2 1
P(A) = ，P(B) = ．………………………………………………………………………2 分
3 2
（设事件 1 分，事件关系 1 分）
因为 AB,AB,AB两两互斥
P(C) = P(AB AB AB) = P(AB) + P(AB) + P(AB)
2 1 2 1 2 1 5
= + (1 ) + (1 ) = ．…………………………………………………6 分
3 2 3 2 3 2 6
（公式 2 分，带入计算 2 分）
5
因此，“闪电队”在一轮比赛中投中篮球的至少有 1 次的概率是 ．
6
（2）设 A1, A2 分别表示甲两轮投篮投中 1 次，2 次的事件， B1,B2 分别表示乙两轮投篮投
中 1 次，2 次的事件，根据事件独立性，得………………………………………………7 分
2
2 1 1 2 4 2 4
P(A1) = + = ,P(A2 ) = = ,…………………………………………………9 分
3 3 3 3 9 3 9
2
1 1 1 1 1 1 1
P(B1) = + = ,P(B2 ) = = ,………………………………………………11 分
2 2 2 2 2 2 4
设 D表示“闪电队”在两轮活动中投中篮球的总数不少于 3 次， A = A1B2 A2B1 A2B2 ，
D = A1B2 A2B1 A2B2 且 A1B2 , A2B1, A2B2 两两互斥， A1与 B2 ， A2 与 B1， A2 与 B2 分别相互
独立.
P(D) = P(A1B2 ) + P(A2B1) + P(A2B2 ) = P(A1)P(B2 ) + P(A2 )P(B1) + P(A2 )P(B2 )
4 1 4 1 4 1 4
= + + =
9 4 9 2 9 4 9
4
因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是 ………………………………………………15 分
9
（事件关系 2 分，公式与计算 2 分）
解法二：（1）设一轮比赛中， A = “甲投中”， B = “乙投中”，C = “‘闪电队’投中篮
球至少有 1 次”．由于两人投篮的结果互不影响，所以 A,B相互独立．由已知可得，
2 1
P(A) = ，P(B) = ．………………………………………………………………………2 分
3 2
“至少投中 1 次” 的对立事件是 “甲、乙都没投中”．…………………………3 分
2 1 5
P(C) =1 P(AB) =1 P(A)P(B) =1 (1 )(1 ) = ．………………………………6 分
3 2 6
5
因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中 1 次的概率是 ．
6
（2）“投中总数不少于 3 次” 包含投中 3 次和投中 4 次两种情况：投中 3 次包含第一轮
投中 1 次且第二轮投中 2 次，或第一轮投中 2 次且第二轮投中 1 次；投中 4 次意味着两轮
都投中 2 次．…………………………………………………………………………………8 分
参考答案 第3页
设D1 = ”一轮投中 1 次”， D2 = ”一轮投中 2 次”，则D1 = AB AB，D2 = AB．
AB与 AB互斥
2 1 2 1 1
P(D1) = P(AB AB) = P(AB) + P(AB) = (1 ) + (1 ) = ,
3 2 3 2 2
2 1 1
P(D2 ) = P(AB) = = ，………………………………………………………11 分
3 2 3
设 E = “投中总数不少于 3 次”,则 E = D1D2 D2D1 D2D2 ,且D1D2 ,D2D1,D2D2 两两互
斥，第一轮与第二轮投篮结果互不影响．
P(E) = P(D1D2 ) + P(D2D1) + P(D2D2 )
1 1 1 1 1 1 4
= + + =
2 3 3 2 3 3 9
4
因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是 ……………………………………………15 分
9
18. 解：（1）由 a = 2a nn n 1 + 2 (n 2)
an a得 = n 1 +1n n 1 …………………………………………………………………………………1 分 2 2
即bn = bn 1 +1……………………………………………………………………………………2
分
a
又b 11 = = 2 ……………………………………………………………………………………3 分
2
所以 bn 是以 2为首项，1为公差的等差数列………………………………………………4 分
（2）由（1）得，bn = b1 + (n 1) 1= n +1
a
且bn =
n ，
2n
b2n bn n +1
所以 = =n n ……………………………………………………………………………5 分 an 2 2
2 3 4 n +1
则 Sn = + + +...+1 2 3 n ①………………………………………………………………6 分 2 2 2 2
1 2 3 4 n n +1
Sn = + + +...+ + ②…………………………………………………………7 分
2 22 23 24 2n 2n+1
1 1 1 1 n +1
① ②得 Sn =1+ ( + + ...+ ) 2 3 n n+1 …………………………………………………8 分 2 2 2 2 2
1 1 n +1
=1+
2 2n 2n+1
3 n + 3
=
n+1 ………………………………………………………………………9 分 2 2
n + 3
所以 Sn = 3 n ……………………………………………………………………………10 分 2
4 4 4 b
（3） (1+ )(1+ ) + + (1+ ) 2 n+1 b1 b2 b ，2 2 2 n
1 1 1 n+2
即 (1+ )(1+ ) (1+ ) 2
0 n 1
2 2 2
参考答案 第4页
1 1 1
(1+ )(1+ ) (1+ )
0 n 1 对任意正整数n都成立，………………………………11 分
2 2 2
n+2
2
1 1 1
(1+ )(1+ ) (1+ )
令 0 n 12 2 2 ，……………………………………………………12 分 f (n) =
n+2
2
1 1 1
(1+ )(1+ ) (1+ )
0 n
f (n +1) = 2 2 2
，
n+3
2
1 1
1+ n 1+
则 f (n +1) n n2 n+2 2 +1 = 2 …………………………………………
13 分
= 2 =
f (n) n+3 n2 2 2 2
f (n +1)
y = 单调递减
f (n)
f (2) 3
当 n =1时， = 1，所以 f (2) f (1)
f (1) 2 2
f (n +1) f (3) 5 2
当 n 2 时， = 1
f (n) f (2) 8
当 n 2 时， f (x)单调递减…………………………………………………………………15 分
3
所以 f (n) f (2) = …………………………………………………………………………16 分
4
3
即
4
3
所以实数 的最小值为 ……………………………………………………………………17 分
4
c 1 1
19.解：（1）由离心率得 e = = ，即 c = a①….…….………………………….…...…1 分
a 2 2
2 2 2 3 2
b = a c = a ….………….………..…………………………………..……….…2 分
4
3 3 3
椭圆经过点Q( 3, ) ，所以 + =1 ……………….……………..………...….……3
a2 2
② 分
2 4b
联立①②解得 a2 = 4,b2 = 3 ………………..……………………….…………………….……4 分
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1 ………………………………………………….…………5 分
4 3
（2）（i）直线 l 过点 P(1,0)n 且斜率 kn = n，
则直线 l 的方程为 y = nx nn …………………………………………..………..…...………6 分
设M n (x1, y1),Nn (x2 , y2 ),
y = nx n

联立 x2 y2
+ =1
4 3
整理得 (3+4n2 )x2 8n2x + 4n2 12 = 0, 0
参考答案 第5页
8n2 4n2 12
所以 x1 + x2 = ， x x = …………………1 2 …………….………..…….………7 分
3+4n2 3+4n2
y1
直线 AM 的方程为 y = (x + 2)n x1 + 2
6y1
令 x = 4 ，解得 yS = ， n x1 + 2
6y
S (4, 1即 n )
x1 + 2
6y
同理，Tn (4,
2 ) ……………………………..……………..………………....……...……8 分
x2 + 2
3y1 3y2
线段 SnTn的中点 Rn 的坐标为 (4, + ) x1 + 2 x2 + 2
M ,N y = nx nn n在直线 上
所以 y1 = nx1 n, y2 = nx2 n
3n(x1 1)(x2 + 2) + 3n(x2 1)(x1 + 2)
yR = ………..………………….………..……9 分 n (x1 + 2)(x2 + 2)
2x
= 3n 1
x2 + x1 + x2 4
x1x2 + 2(x1 + x2 ) + 4
4n2 12 8n2
2( ) + 4
3+4n2= 3n 3+4n
2
4n2 12 8n2
+ 2( ) + 4
3+4n2 3+4n2
3
=
n
3
所以 Rn (4, )
n
3
则 Rn+1 (4, ) …………………….……..……………………….…………..….………10 分
n +1
3 3
kOR = ,kOR = ………………………………………….…….........……11 分 n 4n n+1 4(n +1)
1 1 4n 4(n +1) 4
所以 = + = ……………………..……….…………..….………12 分
kOR kOR 3 3 3n n+1
3 3
（ii）线段ORn的中点坐标为 (2, ) ,又 kOR =
2n n 4n
3 4n
线段ORn的中垂线方程为 y + = (x 2)
2n 3
6n 3
线段 RnRn+1 的中垂线方程为 y = ……………………..…………….………….…13 分 2n(n +1)
3 4n
y + = (x 2) 2n 3
联立
6n 3
y =
2n(n +1)
参考答案 第6页
9
解得 x0 = 2 ……….…………………………….……………………..….…14 分
8n(n +1)
9
f (n) = 2 在 (0,+ )上单调递增………………………..……..………..….…15 分
8n(n +1)
又 n N *
23
当 n =1时， f (1) = ………………………………………………………………….…16 分
16
23
所以 x0 的取值范围是[ ,2) ………………………………..……………….……..….…17 分
16
解法二（1）同解法一
（2）（i）设M (x , y )， N (x , y ) ， S (4, s) ，T (4,t)， A( 2,0)n 1 1 n 2 2 n n ,
s y1 6y 6y
由 A、M n、
1 2
Sn三点共线， = 即 s = ，同理可得 t = 4 ( 2) x1 ( 2) x1 + 2 x2 + 2
3y1 3y2
所以 Rn (4, + ) ..………………………………………………………………….…6 分
x1 + 2 x2 + 2
设直线 ln :m(x + 2) + ry =1，
1 m 1
将点 (1,0)代入 ln 方程可得m= ，由 ln 的斜率为 n可得 = n即 r = .
3 r 3n
1 1
则直线 ln : (x + 2) y =1 .……………………..…………………………….……..….…7 分
3 3n
2
(x + 2 2) y2 2
椭圆 C方程： 2+ =1，化简得3(x + 2) 12(x + 2) + 4y = 0 .…..…. . . . .…8 分
4 3
2 1 1 2 4
则3(x + 2) 12(x + 2) (x + 2) y + 4y
2 = 0 即 (x + 2) + (x + 2) y + 4y2 = 0 .
3 3n n
2
4 y y y1 y2 1
则 1+ + 4 = 0 ，则 + = ，……………………..….………9 分
n x + 2 x + 2 x1 + 2 x2 + 2 n
3
所以 Rn (4, ) .
n
3
则 Rn+1 (4, ) …………………….……..……………………….…………..….………10 分
n +1
下同解法一
参考答案 第7页